搜索： a234513-编号：a23452013
|
| |
| |
|
|
|
1, 5, 40, 385, 4095, 46376, 548340, 6690585, 83615350, 1064887395, 13770292256, 180320238280, 2386316821325, 31864803599700, 428798445360120, 5809228810425801, 79168272296871450, 1084567603590147950
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
广义加泰罗尼亚数C（k，n）：=二项式（k*n+1，n）/（k*n+1）变为负k=-|k|，其中|k|>=2，（-1）^（n-1））*二项式。
k族{c（k，n+1）}_{n>=0}，k>=1的普通生成函数是G（k，x）=超几何（Aseq（k+1），Bseq（k），（（k+1）^（k+1）/k^k）*x），其中Aseq（k+1）=[a（k）_1，…，a（k）_{k+1}]，其中a（k）_j=（2*k-（j-1））/（k+1），Bseq（k）=[b（k）_1，…，b（k）_k]，其中b（k）_j=（2*k-（j-1））/k。例如，f在b部分有一个额外的1，这导致取消a-section 1条款。感谢Dixon J.Jones询问通用公式-Wolfdieter Lang公司，2024年2月4日
{C（k，n）}_{n>=0}的o.g.f.在Graham-Knuth-Patashnik的书中，在第200、349页用B_k（z）表示（1994年第二版，第200、363页）-Wolfdieter Lang公司2024年3月7日
|
|
|
参考文献
|
罗纳德·格雷厄姆（Ronald L.Graham）、唐纳德·科努特（Donald E.Knuth）和奥伦·帕塔什尼克（Oren Patashnik），《混凝土数学》（Concrete Mathematics），艾迪森·韦斯利（Addison-Wesley），马萨诸塞州雷丁（Reading），第二版，1994年，第200、363页。
|
|
|
链接
|
K.Kobayashi、H.Morita和M.Hoshi，有序树的编码《IEEE信息理论国际研讨会论文集》，ISIT 2000，意大利索伦托，2000年6月25日。
Elżbieta Liszewska，Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
|
|
|
配方奶粉
|
a（n）=二项式（（k+1）*n-2，n）/（k*n-1），其中k=5。
G.f.：y*（1-y）^5的逆级数。
a（n）=（5/6）*二项式（6*n，n）/（6*n-1）。[布鲁诺·贝塞利，2014年1月17日]
G.f.：（5/6）*（1-浅层（[-1，1，2，3，4]/6，[1，2，3,4]/5，（6^6/5^5）*x））。
例如：（5/6）*（1-hypergeom（[-1,1,2,3,4]/6，[1,2,3,1,5]/5，（6^6/5^5）*x））。（结束）
带递归的D-有限5*n*（5*n-4）*（5xn-3）*（5*n-2）*（5-n-1）*a（n）-72*（6*n-7）*（3*n-1）*（2*n-1-R.J.马塔尔2021年5月7日
|
|
|
数学
|
Rest@系数列表[Inverse Series[y（1-y）^5，{y，0，18}]，x]，x](*迈克尔·德弗利格2019年10月13日*）
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000012号,A000108号,A001764号,A002293号,A002294号,A002295号,A002296号,A006013号,A062994号,A006632号,A007556号,A118971号,A130565型,A234466号,A234513型,A234573型,A235340型。
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 4, 26, 204, 1771, 16380, 158224, 1577532, 16112057, 167710664, 1772645420, 18974357220, 205263418941, 2240623268512, 24648785802336, 272994644359580, 3041495503591365, 34064252968167180, 383302465665133014
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
对于n>=1，a（n-1）是仅使用步长（1,0）和（0,1）从（0,0）到（4n，n）的晶格路径数，它们严格位于直线y=x/4以下，路径端点除外-卢卡斯·布朗2020年8月21日
|
|
|
链接
|
Elżbieta Liszewska和Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲缘关系，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.：如果y*（1-y）^4的逆级数是G（x），则A（x）=G（x。
具有递归的D-有限8*（4*n+1）*（2*n+1，）*（4*n+3）*（n+1）*a（n）-5*（5*n+1-R.J.马塔尔2012年11月26日
a（n）=（4/5）*二项式（5*（n+1），n+1）/（5*-布鲁诺·贝塞利2014年1月17日
例如：4F4（4/5,6/5,7/5,8/5；5/4,3/2,7/4,2；3125*x/256）-伊利亚·古特科夫斯基2018年1月23日
镀锌：5F4（[4,5,6,7,8]/5，[5,6,1,8]/4；（5^5/4^4）*x）=（4/（5*x））*（1-4F3（[-1,1,2,3]/5、[1,2,3]/4-Wolfdieter Lang公司2024年2月15日
|
|
|
数学
|
表[4*二项式[5n+3，n]/（4n+4），{n，0，30}](*哈维·P·戴尔2012年4月9日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
容易的,非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A232265型
|
| a（n）=10*二项式（9*n+10，n）/（9*n+10）。 |
|
+10
14
|
|
|
|
1, 10, 135, 2100, 35475, 632502, 11714745, 223198440, 4346520750, 86128357150, 1731030945644, 35202562937100, 723029038312230, 14976976398326250, 312522428615310000, 6563314391270476752, 138617681440915119975, 2942332729799060033100, 62735156704285184848950
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（n*p+r，n）/（n*p+r），其中p=9，r=10。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足：A（x）={1+x*A（x）^（p/r）}^r，其中p=9，r=10。
发件人：佩特·巴拉，2015年10月16日：（开始）
O.g.f.A（x）=1/x*级数反转（x*C（-x）^10），其中C（x）＝（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数字的O.g.fA000108号参见其他Fuss Catalan序列的交叉参考，其具有o.g.f.1/x*序列反转（x*C（-x）^k），k=3至11。
带递归的D-有限：128*n*（8*n+3）*（4*n+2）*-R.J.马塔尔2020年2月21日
|
|
|
数学
|
表[10二项式[9n+10，n]/（9n+110），{n，0，30}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=10*二项式（9*n+10，n）/（9*n+10）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（9/10））^10+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[10*二项式（9*n+10，n）/（9*n+10）：[0.30]]中的n；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A234510型
|
| a（n）=7*二项式（9*n+7，n）/（9*n+7）。 |
|
+10
13
|
|
|
|
1、7、84、1232、20090、349860、6371764、119877472、2311664355、45448324110、907580289616、18358110017520、375353605696524、7744997102466932、161070300819384000、3372697621463787456、71046594621639707245、1504569659175026591805
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），其中p=9，r=7。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=9，r=7。
|
|
|
数学
|
表[7二项式[9n+7，n]/（9n+七），{n，0，40}](*文森佐·利班迪2013年12月27日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=7*二项式（9*n+7，n）/（9*n+7）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（9/7））^7+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[7*二项式（9*n+7，n）/（9*n+7）：[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2013年12月27日
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000108号,A143554号,A234505型,A234506型,A234507型,A234508型,A234509型,A234513型,322265英镑,A062994号,A069271号,A118970型,A212073型,A233834型,A234465号,A234571型,A235339型。
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A234573型
|
| a（n）=9*二项式（10*n+9，n）/（10*n+9）。 |
|
+10
12
|
|
|
|
1, 9, 126, 2109, 38916, 763686, 15636192, 330237765, 7141879503, 157366449604, 3520256293710, 79735912636302, 1825080422272800, 42148579533938784, 980892581545169496, 22980848343194476245, 541581608172776494554, 12829884648994115426295, 305349921559399354716430
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），其中p=10，r=9。
|
|
|
链接
|
J-C.阿瓦尔，多元保险丝-加泰罗尼亚数，arXiv:0711.0906[math.CO]，2007；离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
Elżbieta Liszewska和Wojciech Młotkowski，加泰罗尼亚序列的一些亲属，arXiv:1907.10725[math.CO]，2019年。
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=10，r=9。
G.f.：表皮（[9，10，…，18]/10，[10，11，…，18]/9，（10^10/9^9）*x）。
例如：hypergeom（[9，11，12，…，18]/10，[10，11，…，18]/9，（10^10/9^9）*x）。抄送：伊莉亚·古特科夫斯基A118971号.（结束）
|
|
|
数学
|
表[9二项式[10n+9，n]/（10n+9），{n，0，30}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=9*二项式（10*n+9，n）/（10*n+9）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（10/9））^9+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[9*二项式（10*n+9，n）/（10*n+9）：[0.30]]中的n；
|
|
|
交叉参考
|
囊性纤维变性。A000108号,A059968号,A118971号,A130564型,A234513型,A234525型,A234526号,A234527号,A234528号,234529英镑,A234570型,A234571型,A229963型。
|
|
|
关键词
|
非n,容易的
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 1, 9, 225, 10017, 656289, 57255849, 6262226721, 825067217025, 127305462542913, 22527254639457801, 4498536675388410081, 1000890043482114644769, 245556248365681036646625, 65862976584851401437170217, 19174678419336874098038167329, 6022064808176665662053835550209
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
设G（x）=1+x*G（x）^9为A062994号，则该序列的f.A（x）满足：
（1） A'（x）/A（x）=G（x）^8。
（2） A'（x）=经验（8*x*G（x）^8）。
（3） A（x）=exp（积分G（x）^8 dx）。
（6） A（x）=和{n>=0}A251589型（n） *（x/A（x））^n/n！和
（7） [x^n/n！]A（x）^（n+1）=（n+1*2015年2月（n） ，
哪里A251589型（n） =9^（n-7）*（n+1）^（n-9）*（262144*n^7+2494464*n^6+10470208*n^5+25229505*n^4+37857568*n^3+35537670*n^2+19414368*n+4782969）。
a（n）=和{k=0..n}9^k*n/k！*n>1的二项式（9*n-k-9，n-k）*（k-1）/（n-1）。
递归：128*（2*n-3）*（4*n-7）*（4*n-5）*（8*n-15）*（8*n-13）*（8-n-11）*（8/n-9）*（59049*n^7-1102248*n^6+8858079*n^5-39764115*n^4+107806473*n^3-176772075*n^2+162618742*n-64907105）*a（n） = 81*（282429536481*n ^15-8943601988565*n ^14+132044525265870*n ^13-1206188364304287*n ^12+7627178203628841*n ^11-35382975568258428*n ^10+124478964551078775*n ^9-3384152818307834331*n ^8+717436315214480025*n ^7-1187215577095780764*n ^6+1522794566607803919*n ^5-1488866286016780047*n ^4+107589 89068341959448*n^3-543536112365518695*n^2+172059320987344825*n-257992366848000）*a（n-1）-387420489*（59049*n^7-688905*n^6+3484620*n^5-9940725*n^4+17352558*n^3-18650247*n^2+11527801*n-3203200）*a-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年12月7日
|
|
|
例子
|
例如：A（x）=1+x+9*x^2！+225*x^3/3！+10017*x^4/4！+656289*x^5/5！+。。。
这样A（x）=exp（9*x*G（x）^8）/G（x）*8
G（x）=1+x+9*x^2+117*x^3+1785*x^4+29799*x^5+5270 85*x^6+。。。
请注意
A'（x）=经验（9*x*G（x）^8）=1+9*x+225*x^2/2！+10017*x^3/3！+。。。
逻辑推导。
e.g.f.的对数开始于：
对数（A（x））=x+8*x^2/2+200*x^3/3+8976*x^4/4+592368*x^5/5+。。。
因此A'（x）/A（x）=G（x）^8。
E.G.F.的权力表。
形成系数表x^k/k！在A（x）^n中，如下所示。
n=1:[1、1、9、225、10017、656289、57255849、626226721…]；
n=2:[1、2、20、504、22320、1453248、126104256、13731880320，…]；
n=3:[1，3，33，843，37233，2411667，208241361，22581193851，…]；
n=4:[1、4、48、1248、55104、3554496、305558784、33002857728，…]；
n=5:[1、5、65、1725、76305、4906965、420159825、45211985325，…]；
n=6:[1，6，842280，101232，6496704，554376384，59448214656，…]；
n=7:[1、7、105、2919、130305、8353863、710786601、75977951175，…]；
n=8:[1,812836481639681051123289223321695096756736，…]。。。
[1, 2, 33, 1248, 76305, 6496704, 710786601, 95096756736, ...]
由公式得出：
[x^n/n！]A（x）^（n+1）=9^（n-7）*（n+1，^（n-8）*（262144*n^7+2494464*n^6+10470208*n^5+25229505*n^4+37857568*n^3+35537670*n^2+19414368*n+4782969），对于n>=0。
|
|
|
数学
|
扁平[{1，1，表[Sum[9^k*n！/k！*二项式[9*n-k-9，n-k]*（k-1）/（n-1），{k，0，n}]，{n，2，20}]}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年12月7日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）{a（n）=局部（G=1）；对于（i=1，n，G=1+x*G^9+x*O（x^n））；n！*polcoeff（exp（9*x*G_8）/G^8，n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=如果（n==0|n==1，1，sum（k=0，n，9^k*n！/k！*二项式（9*n-k-9，n-k）*（k-1）/（n-1））}
对于（n=0，20，print1（a（n），“，”）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A234505型
|
| a（n）=2*二项式（9*n+2，n）/（9*n+2）。 |
|
+10
9
|
|
|
|
1, 2, 19, 252, 3885, 65274, 1159587, 21421248, 407337153, 7920326700, 156753610013, 3147328992080, 63951322669065, 1312575792628356, 27172514322677625, 566707337222428800, 11896007334177739113, 251142622845893276190, 5328891499524964282170
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），其中p=9，r=2。
|
|
|
链接
|
J-C.阿瓦尔，多元保险丝-加泰罗尼亚数，arXiv:0711.0906[math.CO]，2007；离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
杨胜良、蒋美阳，混合d树上的模式避免问题兰州理工大学学报，（中国，2023）第49卷，第2期，144-150。（普通话）
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=9，r=2。
对于n>0，a（0）=1，a（n）=2*二项式（9n+1，n-1）/n。[布鲁诺·贝塞利2014年1月19日]
|
|
|
数学
|
表[2二项式[9n+2，n]/（9n+2），{n，0，30}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=2*二项式（9*n+2，n）/（9*n+2）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（9/2））^2+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[2*二项式（9*n+2，n）/（9*n+2）：[0.30]]中的n；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A234506型
|
| a（n）=二项式（9*n+3，n）/（3*n+1）。 |
|
+10
8
|
|
|
|
1, 3, 30, 406, 6327, 107019, 1909908, 35399520, 674842149, 13147742322, 260626484118, 5239783981320, 106585537781775, 2189670831627678, 45366284782209600, 946815917066740800, 19887218367823853937, 420076689292591271325, 8917736795123409615060, 190161017612160607167948, 4071301730663135449185705
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（n*p+r，n）/（n*p+r），其中p=9，r=3。
|
|
|
链接
|
J-C.阿瓦尔，多元保险丝-加泰罗尼亚数，arXiv:0711.0906v1，离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=9，r=3。
|
|
|
数学
|
表[二项式[9n+3，n]/（3n+1），{n，0，30}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=二项式（9*n+3，n）/（3*n+1）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^3）^3+x*O（x^n））；polcoeff（B，n）}
（岩浆）[二项式（9*n+3，n）/（3*n+1）：[0.30]]中的n；
（Sage）[（0..30）中n的二项式（9*n+3，n）/（3*n+1）]#G.C.格鲁贝尔2021年2月9日
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 4, 42, 580, 9139, 155664, 2791404, 51919296, 992414925, 19375620264, 384734333698, 7745767624560, 157746595917027, 3243956787596560, 67267249849483200, 1404952651131292800, 29529506061314207361, 624113938377564174540, 13256095235994257535900, 282803564653982441429256, 6057302574889055180495805
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Fuss-Catalan序列是a（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），其中p=9，r=4。
|
|
|
链接
|
J-C.阿瓦尔，多元保险丝-加泰罗尼亚数，arXiv:0711.0906v1，离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=9，r=4。
|
|
|
数学
|
表[4二项式[9n+4，n]/（9n+4），{n，0，30}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=4*二项式（9*n+4，n）/（9*n+4）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（9/1））^1+x*O（x^n））；polcoeff（B，n）}
（岩浆）[1*二项式（9*n+1，n）/（9*n+1）：[0.30]]中的n；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
| |
|
|
|
1, 5, 55, 775, 12350, 211876, 3818430, 71282640, 1366368375, 26735839650, 531838637759, 10723307329700, 218658647805780, 4501362056183300, 93426735902060000, 1952884185072496992, 41074876852203972645, 868669222741822476975, 18460669540059117038250, 394033629095915025876750, 8443512680148379948569910
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,2
|
|
|
评论
|
Fuss-Catalan序列是一个（n，p，r）=r*二项式（np+r，n）/（np+r），其中p=9，r=5。
|
|
|
链接
|
J-C.阿瓦尔，多元保险丝-加泰罗尼亚数，arXiv:0711.0906v1，离散数学。，308 (2008), 4660-4669.
|
|
|
配方奶粉
|
G.f.满足：B（x）={1+x*B（x）^（p/r）}^r，其中p=9，r=5。
|
|
|
数学
|
表[5二项式[9n+5，n]/（9n+5），{n，0，30}]
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=5*二项式（9*n+5，n）/（9*n+5）；
（PARI）{a（n）=局部（B=1）；对于（i=0，n，B=（1+x*B^（9/5））^5+x*O（x^n））；波尔科夫（B，n）}
（岩浆）[5*二项式（9*n+5，n）/（9*n+5）：[0.30]]中的n；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.013秒内完成
|
