搜索： a160573-编号：a160573
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1, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 5, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 20, 9, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52, 64, 48, 17, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52, 64, 49, 22, 15, 23, 28, 35, 52, 65, 56, 43, 53, 74, 91, 122, 168, 176, 112, 33, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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配方奶粉
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通用公式：（1+x）*Prod_{n>=1}（1+x^（2^n-1）+2*x^-N.J.A.斯隆，2009年5月20日，2009年05月21日更正
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例子
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三角形开始：
.1;
.2;
.3,3;
.4,7,8,5;
.4,7,9,10,15,22,20,9;
.4,7,9,10,15,22,21,14,15,23,28,35,52,64,48,17;
....
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MAPLE公司
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Maple代码来自N.J.A.斯隆，2009年5月18日。首先定义偏移量为1的旧版本：
S： =proc（n）选项记忆；局部i，j；
如果n<=0，则返回（0）；fi；
如果n<=2，则返回（2^（n-1））；fi；
i： =地板（对数（n）/对数（2））；
j： =n-2^i；
如果j=0，则返回（n/2+1）；fi；
如果j<2^i-1，则返回（2*S（j）+S（j+1））；fi；
如果j=2^i-1，则返回（2*S（j）+S（j+1）-1）；fi；
-1；
结束；
#现在更改偏移：
T： =n->S（n+1）；
G:=（1+x）*mul（1+x^（2^k-1）+2*x^；
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数学
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nmax=78；
G=x*（（1+x）/（1-x））*乘积[（1+x^（2^n-1）+2*x^；
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交叉参考
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对于（a，b，c）的下列值，有关形式为Prod_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）的生成函数，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
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关键词
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作者
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奥马尔·波尔，2008年12月16日，2008年11月19日，2009年1月2日
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扩展
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状态
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经核准的
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A118977号
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| a（0）=0，a（1）=1；对于0<=j<2^i，a（2^i+j）=a（j）+a（j+1）。 |
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+10个
19
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0, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 4, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 5, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 5, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 7, 8, 11, 12, 14, 19, 21, 15, 6, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 5, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 7, 8, 11, 12, 14, 19, 21, 15
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,4
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评论
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原始定义来自加里·亚当森：二项式变换操作生成的2^n子集中的迭代序列。设S=一个字符串S（1）到S（2^n）；B=附加字符串。比如S=（1，1，2，1）。将S作为向量执行二项式变换运算：[1，1，2，1，0，0，…]=1，2，5，11，21，36。。。然后，对B执行类似的操作，得到前面序列的截断版本：（2、5、11、21…）。给定子集s（1）到s（2^n），例如s（1。。。，s（4）=（a、b、c、d）。使用运算（（a+b）、（b+c）、（c+d）、d）并将结果追加到前一个字符串的右侧。对s（1）到s（2^（n+1））执行下一个运算。s（1）。。。，s（4）=（1，1，2，1）。运算给出了（（1+1），（1+2），（2+1）。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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配方奶粉
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a（0）=0；a（2^i）=1。对于n>=3，设n=2^i+j，其中1<=j<2^i。然后a（n）=Sum_{k>=0}二项式（wt（j+k），k），其中wt（）=A000120号(). -N.J.A.斯隆2009年6月1日
通用公式：（x+x^2*Product_{n>=0}（1+x^（2^n-1）+x^（2^n）））/（1+x）-N.J.A.斯隆，2009年6月8日
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例子
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具有三角形的自然结构：
0,
1,
1,2,
1,2,3,3,
1,2,3,3,3,5,6,4,
1,2,3,3,3,5,6,4,3,5,6,6,8,11,10,5,
1,2,3,3,3,5,6,4,3,5,6,6,8,11,10,5,3,5,6,6,8,11,10,7,8,11,12,14,19,21,15,6,
1,2,3,3,3,5,6,4,3,5,...
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MAPLE公司
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三角形行的Maple代码（PP（n）是（n+1）-st行的g.f.）：
g： =n->1+x^（2^n-1）+x^（2^n）；
c： =n->x^（2^n-1）*（1-x^）（2^n））；
PP:=proc（n）选项记忆；全球g，c；
如果n=1，则1+2*x其他级数（g（n-1）*PP（n-1；fi；结束#N.J.A.斯隆2009年6月1日
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数学
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交叉参考
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对于递归a（2^i+j）=C*a（j）+D*a（j+1），a（0）=a，a（1）=B，关于（a B C D）的下列值，请参见：（0 1 1）A118977号, (1 0 1 1)A151702号, (1 1 1 1)A151570美元, (1 2 1 1)A151571号，（0 1 1 2）A151572号, (1 0 1 2)A151703号, (1 1 1 2)A151573号, (1 2 1 2)A151574号, (0 1 2 1)16052年, (1 0 2 1)A151704号, (1 1 2 1)A151568号, (1 2 2 1)A151569号, (0 1 2 2)A151705号, (1 0 2 2)A151706号, (1 1 2 2)A151707号, (1 2 2 2)A151708号.
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A151552号
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| G.f.：产品{k>=1}（1+x^（2^k-1）+x^（2^k））。 |
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+10个
18
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 5, 7, 8, 9, 12, 14, 11, 5, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 5, 7, 8, 9, 12, 14, 11, 5, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 5
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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配方奶粉
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对于0≤n≤3，a（n）=1；然后写n=2^i+j，其中0<=j<2^i，然后写a（n）=a（j）+a（j+1），除了a（2^（i+1）-2）=a。
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例子
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写为三角形：
1;
1;
1,1;
2,2,1,1;
2,2,2,3,4,3,1,1;
2,2,2,3,4,3,2,3,4,4,5,7,7,4,1,1;
2,2,2,3,4,3,2,3,4,4,5,7,7,4,2,3,4,4,5,7,7,5,5,7,8,9,12,14,11,5,1,1;
2,2,2,3,4,3,2,3,4,4,5,7,7,4,2,3,4,4,5,7,7,5,5,7,8,9,12,14,11,5,2,3,4,4,5,7,7,5,5,...
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MAPLE公司
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G:=mul（1+x^（2^n-1）+x^（2^n），n=1..20）；
wt:=proc（n）局部w，m，i；w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w：=w+i；m：=（m-i）/2；od；w；结束时间：
f： =proc（n）局部t1，k；全局wt；t1:=0；对于从0到20的k，如果n+k模2=0，则t1:=t1+二项式（wt（n+k），k）；fi；od；t1；结束；
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数学
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a[n_]：=总和[If[EvenQ[n+k]，二项式[DigitCount[n+k，2，1]，k]，0]，{k，0，Floor[Log2[n+1]]}]；数组[a，100，0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月29日*）
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A151550号
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| g.f.Product_{n>=1}（1+x^（2^n-1）+2*x^。 |
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+10个
16
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1, 1, 2, 1, 3, 4, 4, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 8, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 9, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 32, 16, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 9, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 32, 17, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 33, 23, 20, 33, 41, 50, 72, 96, 80, 32, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 9, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 32, 17, 5, 10, 13
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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这个序列和亚当森的评论都在Applegate-Pol-Sloane文章中提到，参见第8章“生成函数”-奥马尔·波尔2011年9月20日
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参考文献
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D.Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，《细胞自动机中的牙签序列和其他序列》，国会数值，第206卷（2010年），第157-191页
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]arXiv:1004.3036v2，[math.CO]，2010年。
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配方奶粉
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要获得良好的重现性，请将偏移量更改为0，然后将g.f.乘以x，就像示例行中的三角形一样。那么我们有：a（0）=0；a（2^i）=1；当i>=1时，a（2^i-1）=2^（i-1）；否则写n=2^i+j，其中1<=j<=2^i-2，则a（n）=a（2^i+j）=2*a（j）+a（j+1）。
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例子
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可以写为三角形：
0;
1;
1,2;
1,3,4,4;
1,3,4,5,5,10,12,8;
1,3,4,5,5,10,12,9,5,10,15,13,15,20,32,32,16；
1,3,4,5,5,10,12,9,5,10,13,15,20,32,32,17,5,10,13,15,20,32,33,23,20,33,41,...
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数学
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术语=100；
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A151688号
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| G.f.：产品{n>=0}（1+x^（2^n-1）+2*x^。 |
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+10个
14
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2, 4, 6, 6, 8, 14, 16, 10, 8, 14, 18, 20, 30, 44, 40, 18, 8, 14, 18, 20, 30, 44, 42, 28, 30, 46, 56, 70, 104, 128, 96, 34, 8, 14, 18, 20, 30, 44, 42, 28, 30, 46, 56, 70, 104, 128, 98, 44, 30, 46, 56, 70, 104, 130, 112, 86, 106, 148, 182, 244, 336, 352, 224, 66, 8, 14, 18, 20, 30, 44
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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配方奶粉
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a（n）=和{k>=0}2^（wt（n+k）-k）*二项式。
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例子
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如果写为三角形，则开始：
2;
4;
6、6；
8, 14, 16, 10;
8, 14, 18, 20, 30, 44, 40, 18;
8, 14, 18, 20, 30, 44, 42, 28, 30, 46, 56, 70, 104, 128, 96, 34;
...
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
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|
关键词
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非n,标签
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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3, 7, 5, 7, 17, 17, 7, 7, 17, 17, 19, 41, 51, 31, 9, 7, 17, 17, 19, 41, 51, 31, 21, 41, 51, 55, 101, 143, 113, 49, 11, 7, 17, 17, 19, 41, 51, 31, 21, 41, 51, 55, 101, 143, 113, 49, 23, 41, 51, 55, 101, 143, 113, 73, 103, 143, 161, 257, 387, 369, 211, 71, 13, 7, 17, 17, 19, 41, 51
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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或者，a（n）=和{k>=0}2^wt（k）*二项式（wt（n+k），k）。
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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配方奶粉
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G.f.：产品{k>=0}（1+2*x^（2^k-1）+x^。
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例子
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三角形开始：
.3;
.7,5;
.7,17,17,7;
.7,17,17,19,41,51,31,9;
.7,17,17,19,41,51,31,21,41,51,55,101,143,113,49,11;
.7,17,17,19,41,51,31,21,41,51,55,101,143,113,49,23,41,51,55,101,143,113,...
（结束）
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MAPLE公司
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bin2:=proc（n，k）选项记忆；如果k<0或k>n，则为0
elif k=0，然后1，另外2*bin2（n-1，k-1）+bin2（n-1，k）；fi；结束；
wt:=proc（n）局部w，m，i；
w:=0；m：=n；当m>0时，i：=m mod 2；w：=w+i；m：=（m-i）/2；od；w；结束时间：
f： =n->添加（bin2（wt（n+k），k），k=0..120）；
#或：
f:=n->加（2^k*二项式（wt（n+k），k），k=0..20）；
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数学
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最大值=70；（*术语数量*）
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A151691号
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| G.f.：产品{k>=1}（1+2*x^（2^k-1）+x^。 |
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+10个
11
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1, 2, 1, 2, 5, 4, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 8, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 8, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 16, 29, 38, 41, 72, 105, 88, 41, 10, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 8, 5, 12, 13, 14, 29
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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例子
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三角形开始：
1;
2,1；
2,5,4,1;
2,5,4,5,12,13,6,1;
2,5,4,5,12,13,6,5,12,13,14,29,38,25,8,1;
2,5,4,5,12,13,6,5,12,13,14,29,38,25,8,5,12,13,14,29,38,25,16,29,38,41,72,...
（结束）
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A151692号
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| G.f.：产品{k>=2}（1+x^（2^k-1）+x^（2^k））。 |
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+10个
10
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1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 4, 6, 4, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 4, 6, 4, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,12
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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例子
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三角形开始：
1;
0,0;
1,1,0,0;
1,1,0,1,2,1,0,0;
1,1,0,1,2,1,0,1,2,1,1,3,3,1,0,0;
1,1,0,1,2,1,0,1,2,1,1,3,3,1,0,1,2,1,1,3,3,1,1,3,3,2,4,6,4,1,0,0;
1,1,0,1,2,1,0,1,2,1,1,3,3,1,0,1,2,1,1,3,3,1,1,3,3,2,4,6,4,1,0,1,2,1,1,3,3,...
（结束）
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A151693号
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| G.f.：产品{k>=0}（1+2*x^（2^k-1）+2*x ^（2 ^k））。 |
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+10个
10
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3, 8, 10, 10, 22, 36, 28, 14, 22, 36, 40, 64, 116, 128, 72, 22, 22, 36, 40, 64, 116, 128, 84, 72, 116, 152, 208, 360, 488, 400, 176, 38, 22, 36, 40, 64, 116, 128, 84, 72, 116, 152, 208, 360, 488, 400, 188, 88, 116, 152, 208, 360, 488, 424, 312, 376, 536, 720, 1136, 1696, 1776
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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例子
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三角形开始：
三；
8，10；
10,22,36,28;
14,22,36,40,64,116,128,72;
22,22,36,40,64,116,128,84,72,116,152,208,360,488,400,176;
38,22,36,40,64,116,128,84,72,116,152,208,360,488,400,188,88,116,152,208,...
（结束）
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
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关键词
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非n
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作者
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状态
|
经核准的
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A151694号
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| G.f.：产品{k>=1}（1+2*x^（2^k-1）+2*x ^（2 ^k））。 |
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+10个
10
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1、2、2、2、6、8、4、2、6、8、8、16、28、24、8、2、6、8、16、28、24、12、16、28、32、48、88、104、64、16、2、6、8、8、16、28、24、12、16、28、32、48、88、104、64、20、16、28、32、48、88、104、72、56、88、120、160、272、384、336、160、32、2、6、8、16、28、24、12、16、28、32、48，88
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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链接
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David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个错误：对于n>=2，（13）应为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]
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例子
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三角形开始：
1;
2,2;
2,6,8,4;
2,6,8,8,16,28,24,8;
2,6,8,8,16,28,24,12,16,28,32,48,88,104,64,16;
2,6,8,8,16,28,24,12,16,28,32,48,88,104,64,20,16,28,32,48,88,104,72,56,88,...
（结束）
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|
数学
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系数列表[系列[积[1+2x^（2^k-1）+2x^2^k，{k，10}]，{x，0，80}]，x](*哈维·P·戴尔2020年10月7日*）
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交叉参考
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对于Product_{k>=c}（1+a*x^（2^k-1）+b*x^2^k）形式的生成函数（a，b，c）的以下值，请参见：（1,1,0）A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号，（2,1,1）A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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