0、2

行A1529 78当书写成三角形时，收敛到这个序列。-奥玛尔·E·波尔7月19日2009

斯隆，n，a（n）n＝0…16384的表

David Applegate电影版

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

牙签序列相关的索引条目

G.f.：（1±x）*Pordy{{n>＝1 }（1±x^（2 ^ n-1）+2×x^（2 ^ n））。-斯隆5月20日2009修正5月21日2009

公式见A14764（或者，最好看下面的枫树代码）。

三角形开始：

1；

2；

3、3；

4、7、8、5；

4、7、9、10、15、22、20、9；

4、7、9、10、15、22、21、14、15、23、28、35、52、64、48、17；

…

行收敛到A15300. -斯隆，军07 2009

来自枫树代码斯隆，5月18日2009。首先用偏移1定义旧版本：

s=：PROC（n）选项记忆；

如果n＜0，则返回（0）；

如果n＜2，则返回（2 ^（n-1））；

I:=楼层（log（n）/log（2））；

J=：N-2 ^ I；

如果j＝0，则返回（n／2＋1）；

如果J＜2 ^ I-1则返回（2×S（j）+S（j＋1））；

如果j＝2 ^ I-1，则返回（2×S（j）+S（j＋1）- 1）；

- 1；

结束；

现在改变偏移量：

t＝n-＞S（n＋1）；

G=＝（1＋x）*MUL（1±x ^（2 ^ k-1）＋2×x ^（2 ^ k），k＝1…20）；

等于A151688除以2。-斯隆，军03 2009

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691.

等于A147644。-斯隆01五月2009

囊性纤维变性。A139250，A139251，A15968，A1529 78，A15300，A15300，A1597 85，A15300.

诺恩，看

奥玛尔·E·波尔，12月16日2008，12月19日2008，02日2009

更多的术语（基于A14764从斯隆01五月2009

偏移改变斯隆5月18日2009

经核准的

0，5

斯隆，n，a（n）n＝0…16383的表

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

A（n）＝1，对于0 <n=n＝3；此后写n＝2 ^ i+j，具有0 <=j＜2 ^ i，然后a（n）=a（j）+a（j+1），除a（2 ^（i+1）-2）＝a（2 ^（i+1）-1）＝α。

A（n）＝SuMu{{K>＝1，n+k-偶}二项式A000 0120（n+k），k）；和可进一步限制于k<=A000 0523（n＋1）。[来自哈根·冯艾辛5月20日2009

写成三角形：

1，

1，

1,1，

2，2，1，

2，2，2，3，4，3，1，

2，2，2，3，4，3，2，3，4，4，5，7，7，4，1，1，

2、2、2、3、4、3、2、3、4、4、5、7、7、4、2、3、4、4、5、7、7、5、7、8、9、12、14、11、5、1、1

2、2、2、3、4、3、4、4、5、7、7、4、2、3、4、4、5、7、7、5、7、8、9、12、14、11、5、2、3、4、4、5、7、7、5、5，…

行收敛到A151714.

Gu=MUL（1±x^（2 ^ n-1）+x^（2 ^ n），n＝1…20）；

WT:＝Pro（n）局部W，m，i；w：＝0；m＝n；而m＞0 i：＝m mod 2；w：＝W+i；m＝（m i）/2；OD；w；端：

F=＝Pro（n）局部T1，k；全局Wt；T1：＝0；对于k从0到20，如果n+k mod 2＝0，则t1:＝t1+二项式（Wt（n+k），k）；Fi；OD；T1；结束；

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

囊性纤维变性。A139250，A151550，A151551，A16057，A151702，A151714.

诺恩

斯隆，5月19日2009，12月26日2009

经核准的

0、3

当用[1, 2, 2，2，…]卷积得到牙签序列时A15300（1, 3, 6，9，…）。[加里·W·亚当森5月25日2009

这个序列和亚当森的评论都在ApPGEATE PL SLAN文章中提到，见第8章“生成函数”。-奥玛尔·E·波尔9月20日2011

D. Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，牙签序列和来自细胞自动机的其他序列，国会议员，第206卷（2010），157—191

斯隆，n，a（n）n＝0…16383的表

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。ARXIV: 1004.3036V2，[数学.CO]，2010。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

为了获得良好的递归，将偏移量更改为0，并将x乘以G.F.如示例行中的三角形。然后，我们得到：A（0）＝0；A（2 ^ i）＝1；A（2 ^ I-1）＝2 ^（i-1）为i>＝1；否则写n＝2 ^ i+j，1＜j＜2＝2，然后A（n）＝A（2 ^ i+j）＝2＊a（j）+a（j+1）。

从奥玛尔·E·波尔，09军2009，编辑斯隆6月17日2009：

可以写成三角形：

0；

1；

1,2；

1，3，4，4；

1，3，4，5，5，10，12，8；

1、3、4、5、5、10、12、9、5、10、13、15、20、32、32、16；

1，3，4，5，5，10，12，9，5，10，13，15，20，32，32，17，5，10，13，15，20，32，33，23，20，33，41，…

三角形的行收敛到A151555.

术语＝100；

系数[乘积〔1＋x^（2 ^ n-1）＋2 x^（2 ^ n）〕，{n，1，log [ 2，项] / /上限}[+] [x] ^项，x]（*）让弗兰，八月05日2018日）

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

囊性纤维变性。A139250，A151551，A151552，A151553，A151554，A151555，A1529 80，A15300，A151688.

囊性纤维变性。A000 0 79. [奥玛尔·E·波尔，军09 2009

诺恩

斯隆，5月19日2009，6月17日2009

经核准的

0,1

在ApPGEATE PL SLAN文章中提到的序列；参见第9节，“显式公式”。奥玛尔·E·波尔9月20日2011

D. Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，牙签序列和来自细胞自动机的其他序列，国会议员，第206卷（2010），157—191

n，a（n）n＝0…79的表。

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。ARXIV: 1004.3036V2

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

A（n）＝SUMY{{I>＝0 }二项式A000 0120（n+i），i）。

对于k>＝1，a（2 ^ k-2）＝k+ 1和a（2 ^ k-1）＝3；否则，如果n＝2 ^ i+j，0 <=j＜2 ^ i -3，A（n）＝a（j）+a（j+1）。

A（n）＝2A151552（n）+A151552（n-1）。

A（5）=二项式（2,0）+二项式（2,1）+二项式（3，2）+二项式（1,3）+二项式（2,4）+二项式（2,5）+…＝1＋2＋3＋0＋0＋0＋…= 6

从奥玛尔·E·波尔，军09 2009：（开始）

三角形开始：

2；

3；3；

3，5，6，4；

3、5、6、6、8、11、10、5；

3、5、6、6、8、11、10、7、8、11、12、14、19、21、15、6；

3，5，6，6，8，11，10，7，8，11，12，14，19，21，15，8，8，11，12，14，19，21，17，15，19，23，26，…

（结束）

见A118997用于枫树编码。

max＝80；乘积[1 +x^（2 ^ k- 1）+x^（2 ^ k），{k，0，天花板] [log [2，max ] }[o] [x] ^ max //系数列表[A]，X]和（*）让弗兰11月10日2016＊）

为了生成形式积{{k>＝c}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

行和A151683A. 见A15168另一个版本。

囊性纤维变性。A151552（G.F.减少了一个因素）。

行的极限形式A118997当该序列被写为三角形并且省略初始1时。-斯隆，军01 2009

囊性纤维变性。A139250，A139251. -奥玛尔·E·波尔9月20日2011

诺恩

哈根·冯艾辛5月20日2009

经核准的

0,1

这基本上是相同的。A151550但n＝0项包括在内。

n，a（n）n＝0…69的表。

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

A（n）＝SuMu{{K>＝0 } 2 ^（Wt（n+k）-k）*二项式（Wt（n+k），k）。

如果写成三角形，开始：

2；

4；

6、6；

8、14、16、10

8、14、18、20、30、44、40、18

8、14、18、20、30、44、42、28、30、46、56、70、104、128、96、34

…

等于2A1529 80=A147642。

等于三角形中的行的极限A15968.

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

囊性纤维变性。A151550，A139251，A139250.

诺恩，塔布

奥玛尔·E·波尔02五月2009

被编辑斯隆，军03 2009，7月14日2009

经核准的

0,1

或者，A（n）＝SuMu{{K>＝0 } 2 ^ WT（k）*二项式（Wt（n+k），k）。

n，a（n）n＝0…68的表。

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

G.f.：Prd{{K>＝0 }（1＋2×x ^（2 ^ k-1）+x^（2 ^ k））。

贡献来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009：（开始）

三角形开始：

3；

7、5；

7、17、17、7；

7、17、17、19、41、51、31、9；

7、17、17、19、41、51、31、21、41、51、55、101、1431、13、49、11；

7、17、17、19、41、51、31、21、41、51、55、101、1431、13、49、23、41、51、55、101、1431、13、…

（结束）

BI2: = PROC（n，k）选项记住；如果k＜0或k> n，则为0

ELIF K＝0，然后1个另外2×BI2（N-1，K-1）+BI2（N-1，K）；FI；结束；

WT:= PROC（n）局部W，M，I；

w＝0；m＝n；m＞0 i＝m mod 2；w＝W+i；m＝（m i）/2；Od；w；端：

F＝N->加法（Bn2（Wt（n+k），k），k＝0…120）；

或：

F:= N->加法（2 ^ k*二项式（Wt（n+k），k），k＝0…20）；

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

囊性纤维变性。A151689A，A151691.

囊性纤维变性。A000 0 79. [来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009

诺恩

斯隆，军01 2009

经核准的

0、2

n，a（n）n＝0…82的表。

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

贡献来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009：（开始）

三角形开始：

1；

2，1；

2，5，4，1；

2，5，4，5，12，13，6，1；

2，5，4，5，12，13，6，5，12，13，14，29，38，25，8，1；

2，5，4，5，12，13，6，5，12，13，14，29，38，25，8，5，12，13，14，29，38，25，16，29，38，41，72，…

（结束）

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

囊性纤维变性。A151685. 见A151703对于另一个具有更简单递归的版本。

囊性纤维变性。A000 0 79. [来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009

诺恩

斯隆，军04 2009

经核准的

0、12

n，a（n）n＝0…104的表。

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

贡献来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009：（开始）

三角形开始：

1；

0，0；

1，1，0，0；

1，1，0，1，2，1，0，0；

1，1，0，1，2，1，0，1，2，1，1，3，3，1，0，0；

1，1，0，1，2，1，2，1，1，3，3，1，0，1，2，1，1，3，3，1，3，3，2，4，6，4，1，0，0；

1，1，0，1，2，1，2，1，1，3，3，3，1，2，1，1，3，3，1，1，3，3，2，4，6，4，1，2，1，1，3，3，…

（结束）

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

囊性纤维变性。A16057，A151552.

囊性纤维变性。A000 0 79. [来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009

诺恩

斯隆，军04 2009

经核准的

0、2

n，a（n）n＝0…75的表。

David Applegate，Omar E. Pol和N.J.A.斯隆，基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员，第206卷（2010），157—191页。[定理6中有一个类型：（13）应该读取u（n）＝4.3 ^（Wt（n-1）-1），对于n>＝2。

斯隆，OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

贡献来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009：（开始）

三角形开始：

1；

2，2；

2，6，8，4；

2、6、8、8、16、28、24、8；

2、6、8、8、16、28、24、12、16、28、32、48、88、4、64、16；

2、6、8、8、16、28、24、12、16、28、32、48、88、4、64、20、16、28、32、48、88、4、72、56、88、…

（结束）

为了生成形式Pdd{{K>＝C}（1 +a*x^（2 ^ k-1）+b*x^ 2 ^ k）的函数，对于下列值（a，b，c）参见：（1,1,0）A16057，（1,1,1）A151552，（1,1,2）A151692，（2，1，0）A151685，（2，1，1）A151691，（1,2，0）A151688和A1529 80，（1,2，1）A151550，（2，2，0）A151696，（2，2，1）A151691

囊性纤维变性。A000 0 79. [来自奥玛尔·E·波尔，军09 2009

诺恩

斯隆，军04 2009

经核准的