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搜索 A15980-ID:A1529 80
显示1-10的49个结果。 第1页
     排序:相关关系推荐信γγ被改进的γ创建      格式:〈隆〉〉γ数据
A15300 A1529 80当书写成三角形时,收敛到这个序列。 + 20
4, 7, 9,10, 15, 22,21, 14, 15,23, 28, 35,52, 64, 49,22, 15, 23,28, 35, 52,65, 56, 43,53, 74, 91,122, 168, 176,113, 38, 15,23, 28, 35,23, 28, 35,γ,y,γ,y,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0,1

链接

n,a(n)n=0…64的表。

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

交叉裁判

囊性纤维变性。A139250A139251A15968A1529 78A1529 80A15300.

关键词

诺恩

作者

奥玛尔·E·波尔,12月16日2008,12月21日2008

扩展

被编辑斯隆,军07 2009,7月18日2009

地位

经核准的

A168131 角形牙签结构中第n阶段创建的正方形和矩形的数目(参见A1529 80A15300 + 20
0, 0, 1、2, 1, 1、5, 7, 3、1, 4, 5、3, 7, 18、19, 7, 1、4, 5, 3、7, 17, 17、7, 6, 13、13, 13, 32、56, 47, 15、1, 4, 5、1, 4, 5、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

本质上的第一个差异A170926. -奥玛尔·E·波尔2月16日2013

链接

n,a(n)n=0…81的表。

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4×3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

公式

见枫叶计划复发。

例子

如果写成三角形:

0,

0,

1,2,

1,1,5/7

3、1、4、5、3、7、18、19

7、1、4、5、3、7、17、17、7、6、13、13、13、32、56、47

15、1、4、5、3、7、17、17、7、6、13、13、32、55、45、15、6、13、13、13、31、51、41、20、…

行(省略第一项)收敛到A170929.

枫树

W:= PROC(n)选项记忆;

如果(n=0)然后返回(0)

ELIF(n<=3)然后返回(n-1)

其他的

K:=楼层(log(n)/log(2));

I:=N-2^ k;

如果(i=0)则返回(2 ^(k-1)- 1)

ELIF(i<2 ^ k-2),然后返回(2×w(i)+w(i+1));

ELIF(i=2 ^ k-2)然后返回(2×w(i)+w(i+1)+1);

否则返回(2×W(i)+W(i + 1)+ 2);

FI;

FI;

结束;

[SEQ(w(n),n=0…256)];

交叉裁判

囊性纤维变性。A1529 80A15300A170926A160124A160125A139250.

关键词

诺恩改变

作者

奥玛尔·E·波尔1月18日2010

扩展

通过编辑和扩展斯隆,01月2日2010

地位

经核准的

A1597 85 A(n)=A1529 80(n)* 3。 + 20
3, 6, 9、9, 12, 21、24, 15, 12 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,1

链接

n,a(n)n=1…9的表。

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

交叉裁判

牙签序列:A139250.

囊性纤维变性。A139251A14764A15968A1529 78A1529 80A15300A15300.

关键词

更多诺恩

作者

奥玛尔·E·波尔02五月2009

地位

经核准的

A139250 Toothpick序列(见注释行定义)。 + 10
四百六十六
0, 1, 3,7, 11, 15,23, 35, 43,47, 55, 67,79, 95, 123,155, 171, 175,183, 195, 207,223, 251, 283,303, 319, 347,383, 423, 483,571, 651, 683,687, 695, 707,687, 695, 707,γ,γ,γ,γ, 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

牙签是闭区间[-1,1]的一个副本。(在本文中,我们把它看作单位区间[-1/2,1/2 ]的拷贝。)

我们从第0阶段开始,没有牙签。

在第1阶段,我们在垂直方向上放置牙签,在飞机的任何地方。

一般来说,在平面上给定牙签的配置,在下一阶段,我们可以在一定条件下添加尽可能多的牙签:

-每个新牙签必须位于水平或垂直方向。

两个牙签可能永远不会交叉。

每个新牙签的中点必须与一根现有牙签的端点相接触。

该序列给出了N个阶段后牙签的数量。A139251(第一个差异)给出了在第N个阶段添加的数字。

如果牙签没有接触任何其他牙签,请将牙签的端点称为“暴露”。生长规律可以表示如下:在每个阶段,放置新的牙签,使它们的中点接触每个暴露的端点。

这相当于一个二维元胞自动机。动画显示分形样行为。

在2°K—1步之后,有2个K暴露端点,它们都位于垂直于初始牙签的两条线上。在下一步骤中,将2 ^ K牙签放在这些线上,只留下4个暴露端点,它们位于一个正方形的拐角处,其长度为牙签的长度2 ^(K-1)倍。-哈斯勒,4月14日2009和其他。为了证明,请参阅ApPigTePL斯隆纸。

如果定义中的第三个条件变为“-每个新牙签必须有一个端点接触现有牙签的中点”,则得到相同的序列。牙签的配置当然不同于当前序列中的牙签。但是,如果我们从当前序列的配置开始,旋转每个牙签四分之一圈,然后旋转整个配置四分之一圈,我们得到另一种配置。

如果定义中的第三个条件变为“-每个新牙签必须至少有一个端点接触现有牙签的中点”,则获得序列n ^ 2 -n+ 1,因为网格中没有空洞。

长度为2的“牙签”可以被看作是一个具有2个成分的多棱,都在同一行上。在阶段N,牙签结构是具有2×A(n)成分的多棱。

猜想:考虑筛子中的矩形(包括方块)。每个矩形的面积(a=b*c)和边(b和c)是2的幂,但至少一个边(b或c)是<=2。

在牙签结构中,如果n>>1,我们可以看到一些看起来像“运河”和“衍射图案”的图案。例如,请参见Apple Gead链接A139250电影版本“,然后输入n=1008,点击“更新”。也请参阅链接部分中的“T方(分形)”。-奥玛尔·E·波尔,5月19日2009,10月01日2011

班诺特巨宾,5月20日2009:克里斯·莫里的网页“画廊”(见链接)有一些漂亮的图片,有点类似于当前序列的图片。它们对应的序列是什么?

关于Sielpi-Ski-S三角形和古尔德序列的连接A131316看左边的牙签三角形A151566.

埃里克·罗兰3月15日2010评论说,这种牙签结构可以表示为5状态CA在方格网格上。2010 3月18日,戴维阿普盖特表明三个州已经足够了。参见链接。

等于三角形的行和A160570从偏移1开始;等效于卷积A16055(1, 1, 3,1, 3, 5,7,…)用(1, 2, 2,2,…)。等于A160762(1, 0, 2,-2, 2, 2,2,-6,…)用2×N-1卷积:(1, 3, 5,7,…)。从偏移量1开始A151548(1, 3, 5,7, 5, 11,17, 15,…)卷积A07800签署的(A151575):(1, 0, 2,-2, 6,-10, 22,-42, 86,-170, 342,……)。-加里·W·亚当森,5月19日2009,5月25日2009

对于牙签结构的三维版本,请参阅A160160. -奥玛尔·E·波尔,十二月06日2009

奥玛尔·E·波尔,5月20日2010:(开始)

矩形排列的观察

似乎有一个很好的模式形成由不同的模块化的子结构:一个中心交叉包围不对称交叉(或“隐藏的十字架”)的不同大小,也由“核”的十字架。

Conjectures:在2 ^ k阶段之后,对于k>=2,对于m=1到k- 1,有大小为s= k- m的4 ^(M-1)子结构,其中每个子结构都有4×s矩形。子结构的总数等于(4 ^(k-1)- 1)/ 3=A000 2450(K-1)。例如:如果k=5(在32个阶段之后),我们可以看到:

a)有一个中心十字,大小为4,有16个矩形。

b)有四个隐藏的十字架,大小3,其中每个十字架有12个长方形。

C)有16个隐藏的十字架,大小2,其中每个十字架有8个长方形。

d)有64个杂交核,大小为1个,每个核有4个长方形。

因此,在32个阶段之后的子结构的总数等于85。注意,在每个子结构的每一个臂中,在潜在的生长方向上,矩形的长度是2的幂。(参见链接中的插图)。也见A160124)(结束)

在牙签结构的第n阶段,假设牙签的长度为2×k,网格点的数量似乎等于(2×k-2)*a(n)+。A147614(n),K>0。见公式A160420A160422. -奥玛尔·E·波尔11月13日2010

版本“Gull Win”:在半无限方格网格上,在第1阶段,我们在其(- 1, 2),(0, 1),(1, 2)]处放置一个水平的“鸥”,其顶点位于其顶点。在第2阶段,我们放置两个垂直海鸥。在第3阶段,我们放置四个水平海鸥。A(n)也是第n阶段后的海鸥数量。有关海鸥生长的更多信息A187220. -奥玛尔·E·波尔3月10日2011

奥玛尔·E·波尔,3月12日2011:(开始)

版本“I牙签”:我们定义一个“I牙签”,包括两个相连的牙签,作为一个长度为2条。长度为2的I型牙签由长度为1的两个牙签构成。I牙签的中点被它的两个牙签碰触。A(n)也是I牙签结构中第n阶段后的I牙签的数目。I牙签结构本质上是原来的牙签结构,其中每个牙签被I牙签代替。注意,在原始牙签结构的物理模型中,新一代木制牙签的中点被叠加在老一代木制牙签的端点上。然而,在I型牙签结构的物理模型中,木牙签不是重叠的,因为所有木制牙签都由端点连接。牙签结构中的牙签数量见A160164它还提供了鸥翼结构中鸥翼的数量,因为鸥翼结构A160164相当于I牙签结构。它也出现了Gulle翼序列。A187220是原始牙签序列的超序列A139250(这个序列)。

对于与Ulam Warburton元胞自动机的连接,请参见ApPGEATE POL SLANE论文,并参见A160164A187220.

(结束)

牙签由它们的端点连接的一个版本:在半无限方格网格上,在第1阶段,我们放置一个长度为1的垂直牙签(0, 0)。在第2阶段,我们将两个水平牙签从(0,1),等等。排列看起来像是I牙签结构的一半。A(n)也是第n次之后的牙签数量。-奥玛尔·E·波尔3月13日2011

版本“四分圆”(或Q-牙签):A(n)也是Q象牙签的数量在第九阶段在Q-牙签结构在第一象限。我们从(0,1)开始以第一Q-牙签为中心(1, 1)。该结构是不对称的。对于相似的结构,但从(0, 0)开始A187212. A187210A187220欲了解更多信息。-奥玛尔·E·波尔3月22日2011

版本“树”:A(n)也是牙签结构中的第n阶段后牙签的数量,按照特殊规则构造:新一代的牙签在放置在无限方格网格上时具有长度4(注意每个牙签有长度为1的四个部件),但在每一阶段之后,如果新的一代牙签中的四个部件包含牙签的端点,并且如果这样的端点接触另一个牙签的中点或端点,则一个(或两个)被移除。牙签的截断端点永远暴露出来。请注意,在结构中有三种牙签大小:长度为4, 3和2的牙签。A1597 95给出了第n阶段之后的结构中的组件总数。A15300(原始版本的角序列)给出了第n阶段之后的结构中的总成分的1/4。-奥玛尔·E·波尔10月24日2011

奥玛尔·E·波尔,9月16日2012:(开始)

看来A(n)/A147614(n)收敛到3/4。

看来A(n)/A160124(n)收敛到3/2。

看来A(n)/A139252(n)收敛到3。

也:

看来A147614(n)/A160124(n)收敛到2。

看来A160124(n)/A139252(n)收敛到2。

看来A147614(n)/A139252(n)收敛到4。

(结束)

a(n)也是细胞自动机结构的象限中的第n阶段后的总细胞数。A169707加上在上述结构的象限中N + 1级后的ON细胞总数,而没有其中心细胞。参见NW-NE-SE-SW版本的插图A169707. 也见两者之间的联系A160164A169707. -奥玛尔·E·波尔7月26日2015

在无限开罗五边形平铺上,考虑由两个非相邻五边形所形成的对称图形,所述两个非相邻五边形由连接两个三价节点的线段连接。在第1阶段,我们从这些数字中的一个开始。下一阶段的规则是,新一代人物的凹面部分必须与旧一代人物的互补凸起部分相邻。A(n)给出了第n阶段后结构中的图形的数目。A160164(n)给出第n阶段后结构中的ON细胞数目。-奥玛尔·E·波尔3月29日2018

奥玛尔·E·波尔,MAR 06 2019:(开始)

这个词的“词”是“ab”。有关细胞自动机单词的进一步信息,请参见A961212.

版本“三角形网格”:A(n)也是在无限三角形网格上的牙签结构的第n阶段之后的长度为2的牙签的总数,如果我们只使用三个轴中的两个。否则,如果我们使用三个轴,那么我们就有了序列。A961510它有单词“ABC”。

正常牙签结构可以认为是ULAM沃伯顿细胞自动机的超结构。A1475(n)等于4×N级之后的“隐藏交叉”总数,包括中心交叉(当它们的“核”完全由4个四边形完全形成时开始计数交叉)。请注意,结构中的每一个四边形都属于“隐藏交叉”。

此外,N期后的“隐性杂交”数量与“第六阶段花期”中的“花瓣”的总数相同。A323 650,这似乎是一个“缺失环节”之间的序列和A1475.

注意“隐藏十字架的核”的位置与“花瓣六花”的位置在结构上非常相似(基本相同)。A323 650在ULAM沃伯顿元胞自动机的“一步主教”的版本中的“on”单元的位置。A1475. (结束)

推荐信

D. Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,牙签序列和来自细胞自动机的其他序列,国会议员,第206卷(2010),157—191

L. D. Pryor,桉树花序性状的遗传,新南威尔士林奈学会学报,第79期,(1954),第81, 83页。

Richard P. Stanley,列举组合数学,第1卷,第二版,第1章,练习95,图1.28,剑桥大学出版社(2012),第120, 166页。

链接

斯隆,n,a(n)n=0…65535的表

David Applegate电影版

David Applegate前32个阶段动画

David Applegate前64个阶段动画

David Applegate前128个阶段动画

David Applegate前256个阶段动画

David Applegate生成这些动画的C++程序-为特定的N创建PASScript

David Applegate生成许多后记,将它们转换成GIFS,并将GIF合并成动画。

David Applegate生成A139250、A139251、A147614的B文件

David ApplegateA139250、A139251、A147614并列的B文件

David Applegate牙签结构的三状态CA

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。ARXIV: 1004.3036V2

Joe Champion终极牙签图案照片1照片2照片3照片4,博伊西数学圈,博伊西州立大学。[链接更新]米迦勒哈钦斯,03年3月2018日

Barry Cipra接下来会发生什么?,科学(AAAS)327:943。

Steven R. Finch牙签和活细胞2015年7月21日。[经作者许可的高速缓存副本]

Ulrich Gehmann,Martin Reiche,世界山地机器,柏林,(2014),第一版,第205, 238, 253页。

Mats Granvik附加说明号码块,每一个数字告诉多少点在方格上的点交叉或连接到一个牙签,6月21日2009。

Gordon Hamilton娱乐数学中的三个整数序列视频(2013?).

M. F. Hasler初始条款说明

M. F. Hasler插图(三张幻灯片)

Brian HayesJoshua Trees和牙签

Brian Hayes理想化约书亚树一个来自“Joshua Trees和牙签”的图片(见前面的链接)

Brian Hayes牙签序列钻头播放器

Benoit Jubin初始条款说明

克里斯·莫里相册请参阅David Griffeath细胞自动机的章节。

Omar E. Pol初始条款说明

Omar E. Pol使用“鸥”(或G牙签)的初始术语说明

Omar E. Pol使用Qualter圆(或Q-牙签)的初始术语说明

Omar E. Pol牙签结构示意图(23步后)

Omar E. Pol牙签结构中的图案说明(32步后)

Omar E. Pol牙签结构中的图案说明(32步后)[带许可的缓存副本]

Omar E. PolA139250、A160120、A14762(重叠图形)的初始术语说明

Omar E. PolA160120、A1606、A161328、A161330(三角形网格和牙签结构)的初始术语说明

Omar E. Pol32个阶段的第一象限(如拼图)的子结构的图解

Omar E. Pol32个阶段后子结构的臂的潜在生长方向的说明

编程拼图和代码高尔夫球堆栈交换,生成牙签序列

L. D. Pryor初始术语说明(图2A)

L. D. Pryor桉树花序性状的遗传《新南威尔士林奈学会学报》,第79卷,(1954),第79—99页。

罗兰基于网格自动机的牙签序列

罗兰从方格网格上的细胞自动机的牙签序列的初始阶段(包括Mathematica代码)

K. Ryde牙刷树.

Daniel Shiffman编码挑战126:牙签编码列车视频(2018)

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

斯隆和Brady Haran,棒牙签图案数字视频(2018)

亚历克斯范登布兰霍夫和Paul Levrie,坦登斯多克尔里,毕达哥拉斯,Viskundetijdschrift voor Jongeren,55 STE JaGangon,NuMME 6,Juni 2016(见封面,第1, 18, 19页和后盖)。

维基百科开罗五边形瓷砖

维基百科H树

维基百科Toothpick序列

维基百科T方(分形)

牙签序列相关的索引条目

与元胞自动机相关的序列索引条目

公式

A(2 ^ k)=A000 785(k),如果k>=0。

A(2 ^ k-1)=A000 6095(k+1),如果k>=1。

A(A000 0225(k))-(a)A000 0225(k)- 1)/ 2)A000 616(k),如果k>=1。

A(A000 0668(k))-(a)A000 0668(k)- 1)/ 2)A000 039(k),如果k>=1。

G.f.:(x/((1-x)*(1+2×x))*(1+2×x*乘积(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x^(2 ^ k),k=0……))。-斯隆5月20日2009,六月05日2009

一个可以证明Lim-Sup a(n)/n ^ 2=2/3,并且LIM INF A(n)/n ^ 2是0.451…-班诺特巨宾4月15日2009和1月29日2010,斯隆1月29日2010

观察:A(n)mod 4=3,n>=2。-奥利弗·拉芬特,05月2日2009

A(2 ^ k-1)=A000 0959(2 ^ k-2),如果k>=1。-奥玛尔·E·波尔2月13日2010

看来A(n)=(A187220(n+1)- 1)/ 2。-奥玛尔·E·波尔08三月2011

A(n)=4A153000(n-2)+ 3,如果n>=2。-奥玛尔·E·波尔,10月01日2011

看来A(n)=A16055(n)+A169707(n)- 1/2,n>=1。-奥玛尔·E·波尔2月15日2015

看来A(n)=A25577(n)+A25577(n-1),n>=1。-奥玛尔·E·波尔3月16日2015

设n=MSB(n)+j,其中MSB(n)=A053644(n)并设A(0)=0。然后A(n)=(2×MSB(n)^ 2+1)/3+2*a(j)+a(j+1)-1。-戴维A角3月26日2015

看来A(n)=(A169707(n)- 1)/4 +(A169707(n+1)- 1/4,n>=1。-奥玛尔·E·波尔7月24日2015

例子

A(10 ^ 10)=5201059427 206081063-戴维A角3月26日2015

枫树

g=(x/((1-x)*(1+2×x))*(1+2×x*MUL(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x^(2 ^ k),k=0…20));斯隆5月20日2009,六月05日2009

来自于斯隆12月25日2009:A139250是,A139251是A

A:=〔0, 1, 2,4〕;t==〔0, 1, 3,7〕;m=10;

对于k从1到m

A: = [OP(a),2 ^(k+1)];

T=:[OP(t),t[NOP[t ] ] +a[NOP[a(])];

对于j从1到2 ^(k+ 1)-1做

A:=[OP(a),2 *a[j+2] +a[j+2] ];

T=:[OP(t),t[NOP[t ] ] +a[NOP[a(])];

OD:OD:A;T;

Mathematica

系数列表[(x/((1×x)*(1 +2x)))(1 +2x*乘积[ 1 +x^(2 ^ k- 1)+2×x^(2 ^ k),{k,0, 20 }]),{x,0, 53 },x](*)Robert G. Wilson五世,十二月06日2010日)

a〔0〕=0;a [n]:=a[n]=模[{m,k},m=2 ^(长度[整数=n,2 ] ] - 1;k=(2m ^ 2+1)/3;如果[n=m,k,k+2 a[n-M] +a[n-M+1 ] -1 ];表[a[n],{n,0, 100 }](*)让弗兰,OCT 06 2018后戴维A角*)

黄体脂酮素

(帕里)A139250(n,PrrtPyALL=0)={My(p=[]]*)“使用”点集合。点被写为复数,C=X+Y。牙签的长度为2×/英寸,

EE = [(0, 1)] /*(暴露)端点列表。暴露端点被列为[c,d],其中c=x+y是端点的位置,d(unimod)是方向*/

C,D,NE,CNT=1);PrimtTyALL & Prrt1(“0, 1”);n<2 & &返回(n);

对于(i=2,n,p=集并集(p,集合(Mat(EE~)),1));/*从最后移动到“使用”点添加端点(丢弃方向)*/

NE=[];/*新的(暴露的)端点*/

对于(k=1,αee ee,/*)添加新牙签的端点,如果不在使用点*中/

集搜索(P,C=EE[K]〔1〕+D=EE[K]〔2〕* i)Ne=集并集(NE,SET([C,D]));

集搜索(p,c-2*d)nne=集并(NE,SET)[[C[2-*D,-D] ];

/*使用SET(),我们有点排序,所以很容易去除那些最后没有暴露,因为他们碰到一个新牙签* /

Fo步法(K=αee ee=EVE(NE),2,-1,EE[k]〔1〕=EE[K-1 ]〔1〕& & K & & EE=VECDEXE(EE,Str(“^”k)..,k+1))

CNT+=γEE;/*每个暴露的端点将得到一个新的牙签*/PrrtPyALL& & PrPt1(“,”CNT));CNT}哈斯勒4月14日2009

(帕里)

为n>0工作

A(n)={My(k=(2×MSB(n)^ 2+1)/3);IF(n=MSB(n),k,k+4*a(n-MSB(n))+a(n-MSB(n)+1)-1)}

MSB(n)=My(t=0);(n>t>0,t++);2 ^(t-1)戴维A角3月26日2015

(蟒蛇)

DEFMSB(n):

t=0

n>>t>0:t+=1

返回2**(t-1)

DEFA(n):

K=(2×MSB(n)** 2+1)/3

如果n==0,则返回0,如果n==MSB(n),否则k+1*a(n-MSB(n))+a(n-MSB(n)+1)-1。

打印[a(n)为n(x-(101))]英德拉尼尔-豪什,JUL 01 2017,之后戴维A角帕里剧本

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0 79A139251A139252A139253A147614A139560A15968A1529 78A1529 80A15998A153000A15300A15300A15300A15300A15300A000 0217A000 785A000 768 3A000 039A000 0225A000 0668A000 616A000 6095A0988A160570A16055A000 0959A131316A151566A160406A160408A160702A07800A151548A000 1045A1475A160120A160160A160170A160172A1606A161328A161330A000 2450A160124A961510A961212A29 947A29 947A323 650.

关键词

诺恩

作者

奥玛尔·E·波尔4月24日2008

扩展

验证和扩展,A(49)-A(53),使用给定的PARI码哈斯勒4月14日2009

被编辑斯隆4月29日2009,纳入评论奥玛尔·E·波尔哈斯勒罗伯·普拉特奥利弗·拉芬特富兰克林·T·亚当斯·沃特斯马塔尔戴维·W·威尔逊戴维阿普盖特班诺特巨宾以及其他。

进一步编辑斯隆1月28日2010

地位

经核准的

A139251 牙签号码的第一个差异A139250. + 10
二百二十九
0, 1, 2、4, 4, 4、8, 12, 8、4, 8, 12、12, 16, 28、32, 16, 4、8, 12, 12、16, 28, 32、20, 16, 28、36, 40, 60、88, 80, 32、4, 8, 12、4, 8, 12、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

在第n步添加到牙签结构中的牙签数量A139250

如果n等于1,加上具有正指数的2的幂,则A(n)=4。(用于查看第二个Apple)链接。

似乎这个序列,甚至超完美数,梅森素数,甚至完美数都有关系。猜想:牙签在牙签结构之间的总和。A061652(k)和阶段A000 0668(k)等于k次偶完全数,对于k>=1。例如:A000 039(1)=2+4=6。A000 039(2)=4+4+8+12=28。A000 039(3)=16+4+8+12+12+16+28+32+20+16+++++++++++=〉。-奥玛尔·E·波尔04五月2009

关于这个猜想,请参见戴维阿普盖特关于猜想的评论A15300. -斯隆5月14日2009

在三角形中(参见示例行),行k的和等于A000 616(k),k>=1。-奥玛尔·E·波尔5月15日2009

等于(1, 2, 2,2,…)卷积A160762(1, 0, 2,-2, 2, 2,2,-6,…)。-加里·W·亚当森5月25日2009

用雅各布斯塔序列卷积A000 1045=A160704(1, 3, 9,19, 41,…)。-加里·W·亚当森5月24日2009

似乎是两个连续项的和。A16055给出这个序列的正项。-奥玛尔·E·波尔2月19日2015

奥玛尔·E·波尔,2月28日2019:(开始)

三角网格上牙签自动机的研究A961510和同一个家族的其他C.A,揭示了一些具有周期性的元胞自动机一般可以用不规则三角形(第一个差异)来表示,它们的行长度是A011782A乘以k,其中k>=1,是一个内部循环的长度。这个内部循环被称为元胞自动机的“字”。例如:A160121有单词“A”,所以K=1。这个序列有单词“ab”,所以k=2。A961511有单词“abc”,所以k=3。A29 947有单词“ABCB”,所以K=4。A29 947有单词“ABCBC”,所以K=5。

非零项的三角形(带单词“ab”和k=2)的结构如下:

甲、乙;

甲、乙;

A、B、A、B;

A、B、A、B、A、B、A、B;

A、B、A、B、A、B、A、B、A、B、A、B、A、B、A、B;

行长度是术语。A011782A乘以2,等于方阵的列2A9612122, 2, 4,8, 16,…

这种布置具有奇数索引列(a)包含平行于初始牙签的牙签的数量的特性,并且偶数索引列(b)包含与初始牙签正交的牙签的数量(参见示例部分中的第三个三角形)。

与动画相关的声音可以是(嘀嗒声,TKOK),(滴答声,TKOK)……,和滴答声一样。

有关细胞自动机“Word”的进一步信息,请参见A961212. (结束)

链接

斯隆,n,a(n)n=0…65535的表

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。],国会议员,第206卷(2010),157—191。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

David Applegate电影版

Omar E. PolA139251、A160121、A14792(重叠图形)的初始术语说明[来自奥玛尔·E·波尔,11月02日2009日

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

公式

复发斯隆,7月20日2009:a(0)=0;a(2 ^ i)=2 ^ i对于所有i;否则写n=2 ^ i+j,0<j<2 ^ i,然后a(n)=2a(j)+a(j+1)。证明:这是对以下递归的简化戴维阿普盖特. QED

复发戴维阿普盖特,4月29日2009:(开始)

写出n=2 ^(i+1)+j,其中0<j<2 ^(i+1)。然后,对于n>3:

对于j=0,A(n)=2*a(n-2 ^ i)(=n=2 ^(i+1))

对于1 <=j <=2 ^ I—1,A(n)=A(n-2 ^ i)

对于j=2 ^ i,A(n)=a(n-2 ^ i)+4(=2 ^(i+1)+4)

对于2 ^ i+1 <jj=2 ^(i+1)- 2,a(n)=2*a(n-2 ^ i)+a(n-2 ^ i+1)

对于j=2 ^(i+1)- 1,a(n)=2*a(n-2 ^ i)+a(n-2 ^ i+1)-4。

n=1,2,3的A(n)=2 ^(n-1)。(结束)

G.f.:(x/(1+2×x))*(1+2×x*乘积{{k>=0 }(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x^(2 ^ k)))。-斯隆5月20日2009,六月05日2009

用偏移0(这将是更自然的,但偏移1现在根深蒂固):A(0)=1,A(1)=2;对于i>1,A(2 ^ i)=4;否则写n=2 ^ i+j,0<j<2 ^ i,然后A(n)=* * SuMu{{K>=}} ^(Wt(j+k)-k)*二项式(Wt(j+k),k)。-斯隆,军03 2009

看来A(n)=A187221(n+1)/ 2。-奥玛尔·E·波尔08三月2011

看来A(n)=A16055(n-1)+A16055(n),n>=1。-奥玛尔·E·波尔2月18日2015

例子

奥玛尔·E·波尔,12月16日2008:(开始)

三角形开始:

1;

2;

4、4;

4、8、12、8;

4、8、12、12、16、28、32、16;

4、8、12、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、20、32;

(结束)

戴维阿普盖特,4月29日2009:(开始)

调整三角形的布局,以显示柱子变为常数,如下所示:

. 0;

. 1;

. 2,4;

. 4、4、8、12;

. 8、4、8、12、12、16、28、32;

16、4、8、12、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、80;

32、4、8、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、36、16、28、36、40、60、88、84、56、…

行和给出A000 616.

(结束)

奥玛尔·E·波尔,2月28日2018:(开始)

此外,非零项可以写为不规则三角形,其中行长度是术语。A011782A乘以2,如下所示:

1,2;

4、4;

4、8、12、8;

4、8、12、12、16、28、32、16;

4、8、12、12、16、28、32、20、16、28、36、40、60、88、20、32;

(结束)

枫树

g=(x/(1+2×x))*(1+2×x*MUL(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x^(2 ^ k),k=0…20));斯隆5月20日2009,六月05日2009

γA139250是,A139251是A

A:=〔0, 1, 2,4〕;t==〔0, 1, 3,7〕;m=10;

对于k从1到m

A: = [OP(a),2 ^(k+1)];

T=:[OP(t),t[NOP[t ] ] +a[NOP[a(])];

对于j从1到2 ^(k+ 1)-1做

A:=[OP(a),2 *a[j+2] +a[j+2] ];

T=:[OP(t),t[NOP[t ] ] +a[NOP[a(])];

OD:OD:A;T;

γ斯隆12月25日2009

Mathematica

系数列表[[(x-x^ 2)/((1 -x)(1+2 x))](1 +2 x乘积[1 +x^(2 ^ k- 1)+2 x ^(2 ^ k),{k,0, 20 }]),{x,0, 20 },x](*)文森佐·利布兰迪8月22日2014*)

交叉裁判

等于2A15968和4 *A1529 78(如果我们忽略第一对术语)。

A14764对于行的限制行为。也见A000 616.

行长度A011782A.

囊性纤维变性。A139250A139252A139253A1529 80A153000A15300A000 039A000 0668A061652A15300.

囊性纤维变性。A000 616A15300A1597 90A000 1045A160704A160762A1475A961212.

囊性纤维变性。A160121(单词“A”)A961511(单词“ABC”)A29 947(单词“ABCB”)A29 947(单词“ABCBC”)。

关键词

诺恩塔布

作者

奥玛尔·E·波尔4月24日2008

扩展

部分编辑奥玛尔·E·波尔2月28日2019

地位

经核准的

A15300 牙签序列从一个无限方的外角开始,伸出一个半牙签。 + 10
五十三
0, 1, 3,6, 9, 13,20, 28, 33,37, 44, 53,63, 78, 100,120, 129, 133,140, 149, 159,174, 196, 217,231, 246, 269,297, 332, 384,448, 496, 513,517, 524, 533,517, 524, 533,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

A(n)是N阶后整数牙签的总数。

这个序列与三角数、梅森素数和完美数有关。猜想:AA000 0668(n)=A000 0217A000 0668(n)。猜想:AA000 0668(n)=A000 039(n),假设没有奇完全数。

这个序列的主要条目是A139250. 也见A1529 80(第一个不同点)A14764.

梅森素数猜想是正确的,但实际上并不是关于梅森素数的。A(2 ^ I-1)=2 ^ i(2 ^ I-1)/ 2(I或2 ^ I-1为素数)。这是从公式中得出的。A139250(2 ^ I-1)和A139250(2 ^ i)。-戴维阿普盖特5月11日2009

然后我们可以写一篇文章(A000 0225(k)=A000 616(k),K>0。-奥玛尔·E·波尔5月23日2009

等于A151550用[1, 2, 2,2,…]卷积。(这等价于G.F.是X((1 +x)/(1-x))*乘积{{n>=1 }(1 +x^(2 ^ n-1)+2×x^(2 ^ n))。A151555卷积A151575. -加里·W·亚当森5月25日2009

A(n)也是牙签结构的总路径长度的1/4。A139250在第n阶段之后,按照特殊规则构造:新一代的牙签在放置在方形网格上时长度为4(每个牙签具有长度为1的四个部件),但在每一阶段之后,如果新的一代牙签中的四个部件包含牙签的端点,并且如果这样的端点接触另一牙签的中点或端点,则去除一个(或两个)。牙签的截断端点永远暴露出来。请注意,在结构中有三种牙签大小:长度为4, 3和2的牙签。除了结构的中心点以外,A(n)也是第n阶段之后被覆盖的网格点的数目的1/4。A1597 95给出了总路径长度和第n阶段后结构中组件的总数。-奥玛尔·E·波尔10月24日2011

链接

斯隆,n,a(n)n=0…16387的表

David Applegate电影版

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

Omar E. Pol初始条款说明

Omar E. PolA15300(31)=496的插图

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

牙签序列相关的索引条目〔Omar E. Pol,十二月06日2009〕

与元胞自动机相关的序列索引条目〔Omar E. Pol,十二月06日2009〕

公式

G.f.:x*((1±x)/(1 -x))*乘积{{n>=1 }(1 +x^(2 ^ n-1)+2×x^(2 ^ n))。-斯隆5月20日2009

枫树

g=x*((1±x)/(1 -x))*MUL((1±x^(2 ^ n-1)+2×x^(2 ^ n)),n=1…20);斯隆5月20日2009

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 0 79A000 0217A000 039A000 0668A139250A139251A139560A1529 78A1529 79A1529 80A153000A15300A15300.

囊性纤维变性。A000 0225A000 616. -奥玛尔·E·波尔5月23日2009

囊性纤维变性。A15300A07800A151555.

关键词

诺恩

作者

奥玛尔·E·波尔,12月17日2008,12月19日2008,4月28日2009

扩展

被编辑斯隆12月19日2008

地位

经核准的

A16055 A(0)=0,A(1)=1;A(2 ^ I+J)=2*A(j)+A(j+1),0<J<2 ^ I。 + 10
三十八
0, 1, 1、3, 1, 3、5, 7, 1、3, 5, 7、5, 11, 17、15, 1, 3、5, 7, 5、11, 17, 15、5, 11, 17、19, 21, 39、49, 31, 1、3, 5, 7、3, 5, 7、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、4

评论

这种递归是在一个模式之后进行的。A1529 80,但没有特殊情况。

视为三角形的序列:

0,

1,

1,3,

1,3,5,7

1,3,5,7,5,11,17,15,

1、3、5、7、5、11、17、15、5、11、17、19、21、39、49、31

行收敛到A151548.

第k行(k>1)中的项之和是4 ^(k-1)。归纳证明。-斯隆1月21日2010

如果这个序列〔1, 1, 3,1, 3, 5,7, 1, 3,5, 7, 5,11, 17, 15,…〕与[1, 2, 2,2, 2, 2,2,…]卷积,我们得到。A139250牙签序列。例子:A139250(5)=15=(1, 2, 2,2, 2)*(3, 1, 3,1, 1)。-加里·W·亚当森5月19日2009

从1开始,用[1, 2, 0,0, 0,…]卷积=A151548. -加里·W·亚当森,军04 2009

参照A16956对于类似三角形使用n=3。-加里·W·亚当森7月20日2009

似乎两个连续项的和给出了正项。A139251. -奥玛尔·E·波尔2月18日2015

链接

斯隆,n,a(n)n=0…16384的表

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

公式

G.f.:x*(1+2×x)/(1+x)+(4×x ^ 2/(1+2×x)*)(MUL(1+x^(2 ^ k-1)+2×x ^(2 ^ k),k>=1)-1)。-斯隆,5月23日2009,基于加里·W·亚当森上面的评论和已知的G.F.A139250.

看来A(n)=A169708(n)/ 4,n>=1。-奥玛尔·E·波尔2月15日2015

看来A(n)=A139251(n)-a(n-1),n>=1。-奥玛尔·E·波尔2月18日2015

例子

A(2)=A(2 ^ 1+0)=2*A(0)+A(1)=1,A(3)=A(2 ^ 1+1)=1*A(α)+A(α)=**A(α^ i)=**A(α)+A(α)=α。

枫树

S:= PROC(n)选项记住;局部i,j;如果n<1,则返回(n);Fi;i:= Lead(log(n)/log(2));j:= n-2 ^ i;2 *s(j)+s(j+1);结尾;斯隆5月18日2009

H=x*(1+2×x)/(1+x)+(4×x ^ 2 /(1+2×x)*)(MUL(1+x^(2 ^ k-1)+2 *x^(2 ^ k),k= 1…));级数(h,x,γ);斯隆5月23日2009

Mathematica

嵌套[联接],[2,α+ +追加[REST @,1 ] ],{ 0 },7(*)伊凡内瑞汀,FEB 09 2017*)

交叉裁判

对于a(2 ^ i+j)=c*a(j)+d*a(j+1),a(0)=a,a(1)=b(a b c d)的以下值见:(0 1 1 1)A118997,(1 0 0 1)A151702,(1 1 1 1)A151570,(1 2 2 1)A151561,(0 1 1 1)A151572,(1 0 0 1)A151703,(1 1 1 1)A151533,(1 2 2 1)A151574,(0 1 1 2)A16055,(1 0 0 2)A151704,(1 1 1 2)A151568,(1 2 2 2)A15159,(0 1 1 2)A151705,(1 0 0 2)A151706,(1 1 1 2)A151707,(1 2 2 2)A151708.

囊性纤维变性。A1529 80A139250A139251A151548A160570A151568.

囊性纤维变性。A16956A170903.

关键词

诺恩

作者

戴维阿普盖特5月18日2009

地位

经核准的

A160406 牙签序列从无限90度楔的顶点开始。 + 10
三十二
0, 1, 2,4, 6, 8,10, 14, 18,20, 22, 26,30, 34, 40,50, 58, 60,62, 66, 70,74, 80, 90,98, 102, 108,118, 128, 140,160, 186, 202,204, 206, 210,204, 206, 210,γ,γ,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

0、3

评论

考虑由点(x,y)定义的平面的楔形,y==x x,初始牙签从(0,0)延伸到(0,2);然后按相同的规则扩展。A139250永远呆在楔子里。

在N轮后结构中牙签的数量。

牙签序列A139250是这个序列的主要入口。也见A153000. 第一差异:A160407.

链接

n,a(n)n=0…61的表。

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

Omar Pol初始条款说明

公式

A139250(n)=2a(n)+2a(n+1)-4n- 1,n>0。-斯隆5月25日2009

设g=(x+ 2×x^ 2+4×x^ 2 *(1 +x)*((乘积{{k>=1 }(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x ^(2 ^ k))-1)/(1 +占卜x))/(1-x)(=g.f)。A139250然后,对于本序列的G.F.是(G+ 2 +x*(5-x)/(1-x)^ 2)*x/(2 *(1 +x))。-斯隆5月25日2009

枫树

g=:(x+ 2×x ^ 2+4×x ^ 2 *(1+x)*(MUL(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x^(2 ^ k),k= 1…20)-1)/((+)+(x)x)/(1-x);p=(g+α+x*(5-x)/(1-x)^ ^)*x/(α*(α+x));级数(p,x,γ);级数(%);斯隆5月25日2009

Mathematica

术语=62;

g=(x+2x^ 2 +4x^ 2(1+x))(乘积[1 +x^(2 ^ k-1)+2x^(2 ^ k),{k,1,天花板[log ],2,项] } -1)/(1 +2x)//(1-x);

p=(g+ 2+x(5-x)/(1-x)^ 2)x/(2(1+x));

系数列表[P+O[x] ^项,x](*)让弗兰,03月2018日,来自枫树*)

交叉裁判

囊性纤维变性。A139250A139251A153000A15300A1529 80A160407A160408A160409.

囊性纤维变性。A17088-A170895.

关键词

诺恩

作者

奥玛尔·E·波尔5月23日2009

扩展

更多条款斯隆5月25日2009

修订定义斯隆,02月1日2010

地位

经核准的

A1529 78 A(n)=A139251(n+1)/ 4=2A15968(n+1)/ 2。 + 10
二十三
1, 1, 1、2, 3, 2、1, 2, 3、3, 4, 7、8, 4, 1、2, 3, 3、4, 7, 8、5, 4, 7、9, 10, 15、22, 20, 8、1, 2, 3、3, 4, 7、3, 4, 7、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、y、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,4

评论

牙签号码的第一个差异A153000.

链接

n,a(n)n=1…88的表。

David Applegate电影版

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

公式

G.f.:(1±x)*(PROD(1 +x^(2 ^ k-1)+2×x ^(2 ^ k),k=1…o)-1)/(1 + 2×x)。-斯隆5月20日2009

例子

如果写成三角形,开始:

1,1;

1,2,3,2;

1,2,3,3,4,7,8,4;

1、2、3、3、4、7、8、5、4、7、9、10、15、22、20、8;

行收敛到A1529 80.

看来行和给出A000 4171. [来自奥玛尔·E·波尔5月25日2010

交叉裁判

Cf. toothpick序列A139250.

囊性纤维变性。A139251A139252A139560A15968A1529.

囊性纤维变性。A1529 80A15998A153000A15300A15300A15300A15300.

囊性纤维变性。A000 4171. [来自奥玛尔·E·波尔5月25日2010

关键词

诺恩容易

作者

奥玛尔·E·波尔,12月16日2008,12月20日2008

扩展

更多条款奥玛尔·E·波尔7月26日2009

地位

经核准的

A160407 牙签号码的第一差异A160406. + 10
二十
1, 1, 2,2, 2, 2,4, 4, 2,2, 4, 4,4, 6, 10,8, 2, 2,4, 4, 4,6, 10, 8,4, 6, 10,10, 12, 20,26, 16, 2,2, 4, 4,2, 4, 4,γ,γ,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,3

评论

牙签结构中第n阶段添加的牙签数量A160406.

链接

n,a(n)n=1…61的表。

David Applegate,Omar E. Pol和N.J.A.斯隆,基于细胞自动机的牙签序列及其他序列国会议员,第206卷(2010),157—191页。[定理6中有一个类型:(13)应该读取u(n)=4.3 ^(Wt(n-1)-1),对于n>=2。

斯隆,OEIS中的Toothpick目录和元胞自动机序列

例子

贡献来自奥玛尔·E·波尔,7月18日2009:(开始)

如果写成三角形:

1;

1;

2,2;

2,2,4,4;

2,2,4,4,4,6,10,8;

2,2,4,4,4,6,10,8,4,6,10,10,12,20,26,16;

2,2,4,4,4,6,10,8,4,6,10,12,20,26,16,4,6,10,12,20,26,18,12,20,28,30,42;…

(结束)

交叉裁判

囊性纤维变性。A139250A139251A153000A15300A1529 80A160406A161830A161831.

关键词

诺恩

作者

奥玛尔·E·波尔5月23日2009

扩展

更多条款斯隆7月17日2009

地位

经核准的

第1页

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最后修改了10月16日23时50分EDT 2019。包含328103个序列。(在OEIS4上运行)