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第页1
1, 1, 2, 1, 1, 6, 12, 10, 3, 1, 14, 61, 124, 131, 70, 15, 1, 30, 240, 890, 1830, 2226, 1600, 630, 105, 1, 62, 841, 5060, 16990, 35216, 47062, 40796, 22225, 6930, 945, 1, 126, 2772, 25410, 127953, 401436, 836976, 1196532, 1182195, 795718, 349020, 90090, 10395
评论
这个序列的原始名称是“三角形，按行读取，给出生成各种S2（n，k）（第二类斯特林数）的公式的系数。第p行（p>=1）包含T（i，p），i=1到2*p-1，其中T（i、p）满足和{i=1..2*p-1}T（i）*C（n-p，i-1）”。
第二类Stirling数三角形的第n对角序列的项A008277号即（Stirling2（N+N-1，N）），N>=1，由N次多项式2*N-2给出。该多项式可以表示为下降阶乘多项式二项式（N-N，0）、二项式，二项式（N-N，2*N-2）。下表给出了这些展开式中的系数。
链接
M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。
Milton Abramowitz和Irene A.Stegun，编辑。，数学函数手册（包括公式、图形和数学表），美国商务部，国家标准局，应用数学。系列5519641046页（第9次印刷：1970年11月）-组合分析，表24.4，第二类斯特林数（作者：弗朗西斯·米克萨），第835页。
J.Fernando Barbero G.、Jesüs Salas、Eduardo J.s.Villaseñor、，广义斯特林排列与森林：高阶欧拉数和沃德数，《组合数学电子杂志》22（3）（2015），#P3.37。
M.Kazarian，霍奇积分的KP层次，第2页，arxiv：0809.3263[math.AG]，2008年9月18日。[来自汤姆·科普兰2015年6月12日]
配方奶粉
显然，具有这些系数的二元多项式P（n，u，z）的一个提升算子是R=（u+z）^2*z*d/dz，其中P（0，u，z）=z。例如，R P（1，u，z=R^2P（0、u、z）=R^2 z=u^4 z+6 u^3 z^2+12 u^2 z^3+10 uz^4+3 z^5=P（2，u，zi）。请参阅Kazarian链接-汤姆·科普兰2015年6月12日
反向多项式似乎是由1+exp[t*（x+1+z）^2*（1+z）d/dz]z在z=0时计算得到的-汤姆·科普兰2015年6月13日
T（n，k）=k*T（n、k）+2*（k-1）*T（n，k-1）+（k-2）*T。
第n对角线A008277号：Stirling2（N+N-1，N）=和{k=1..2*N-1}T（N，k）*二项式（N-N，k-1），对于N=1,2,3，。。。。
行多项式R（n，z）=Sum_{k>=1}k^（n+k-1）*（z/（1+z）*exp（-z/（l+z））^k/k！，n=1,2，。。。，根据中给出的公式A008277号对于第二类斯特林数对角线的o.g.f。
因此，正如科普兰（Copeland）在上文中推测的那样，对于n>=1，R（n+1，z）=（1+z）^2*z*d/dz（R（n，z））。
R（n，z）=（1+z）^（2*n+1）*B（n，z/（1+z）），其中B（n、z）是二阶欧拉数三角形的行多项式A008517号（见Barbero等人，第6节，方程式27）。（结束）
根据Bala的注释，行多项式具有显式形式R（n，z）=（1+z）^（n+1）*Sum{k=0..n}（z^k*Sum_{m=0..k}（（-1）^（m+k）*二项式（n+k，n+m）*Stirling2（n+m，m））-彼得·卢什尼2016年6月15日
例子
第5行包含1,30240890183022261600630105，因此生成Stirling2（n+4，n）数的公式(A001298号)将如下所示：1+30*（n-5）+240*C（n-5,2）+890*C。例如，n=9表示Stirling2（13,9）=359502。
三角形开始：
1;
1, 2, 1;
1, 6, 12, 10, 3;
1, 14, 61, 124, 131, 70, 15;
1, 30, 240, 890, 1830, 2226, 1600, 630, 105;
...
R（2，z）=（1+z）^2*z
R（3，z）=（1+z）^2*（z+3*z^2）
R（4，z）=（1+z）^4*（z+10*z^2+15*z^3）
R（5，z）=（1+z）^5*（z+25*z^2+105*z^3+105*z^4）。（结束）
MAPLE公司
row_poly:=n->（1+z）^（n+1）*add（z^k*add（（-1）^，（m+k）*二项式（n+k，n+m）*Stirling2（n+m，m），m=0..k），k=0..n）：T_row:=n->seq（系数（row_poliy（n），z，j），j=1..2*n+1）：
seq（T_row（n），n=0..6）#彼得·卢什尼2016年6月15日
数学
清除[T，q，u]；T[0]=q[1]；T[n]：=总和[m*（u^2*q[m]+2*u*q[m+1]+q[m+2]）*D[T[n-1]，q[m]，{m，1，2*n+1}]；row[n_]：=列表@@Expand[T[n-1]]/。{u->1，q[_]->1}；表[行[n]，{n，1，7}]//展平(*Jean-François Alcover公司2015年6月12日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A008277号,A000217号,A001296号,A001297号,A001298号,A094216号,A008275号,A008517号,A134991号,A112494号,A144969号.
1, 63, 1932, 46620, 1020600, 21538440, 451725120, 9574044480, 207048441600, 4595022432000, 105006251750400, 2475732702643200, 60284572969420800, 1516762345722624000, 39433286715863040000, 1059143615076298752000, 29378569022287220736000, 841159994641469927424000
参考文献
R.Austin、R.K.Guy和R.Nowakowski，未出版笔记，约1987年。
R.K.Guy，个人沟通。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Rajesh Kumar Mohapatra和Tzung-Pei Hong，整数序列分析中有限模糊子集的个数《数学》（2022）第10卷，第7期，第1161页。
配方奶粉
a（n）=（n-4）！*箍筋2（n+2，n-3）-阿洛伊斯·海因茨2022年4月27日
MAPLE公司
a： =n->箍筋2（2+n，n-3）*（n-4）！：
数学
表[（n-4）！*搅拌S2[n+2，n-3]，{n，4，35}](*G.C.格鲁贝尔2022年11月22日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[阶乘（n-4）*StirlingSecond（n+2，n-3）：n in[4..35]]//G.C.格鲁贝尔2022年11月22日
（SageMath）[阶乘（n-4）*stirling_number2（n+2，n-3）对于范围（4，36）中的n]#G.C.格鲁贝尔2022年11月22日
a（n）=n^2*（n+1）*（3*n^2+7*n-2）*（n+5）/11520
+10
4
0, 1, 126, 5796, 186480, 5103000, 129230640, 3162075840, 76592355840, 1863435974400, 45950224320000, 1155068769254400, 29708792431718400, 783699448602470400, 21234672840116736000, 591499300737945600000
评论
对于n>=1，a（n）等于从{1,2，…，n+5}到{1,2、…，n}的满射数Aleksandar M.Janjic和米兰Janjic2007年2月24日
参考文献
H.W.Gould《组合恒等式》中的恒等式（1.21），摩根城，1972年；第3页。
配方奶粉
a（n）=（-1）^n*和{j=0..n}（-1）*j*二项式（n，j）*j^（n+5）。
a（n）=n*箍筋S2（n+5，n）。
例如：x*（1+52*x+328*x^2+444*x^3+120*x^4）/（1-x）^11。（结束）
数学
表[n！*StirlingS2[n+5，n]，{n，0，30}](*G.C.格鲁贝尔2022年6月20日*）
黄体脂酮素
（Magma）[阶乘（n）*StirlingSecond（n+5，n）:n在[0.30]]中]//G.C.格鲁贝尔2022年6月20日
（SageMath）[（0..30）中n的阶乘（n）*stirling_number2（n+5，n）]#G.C.格鲁贝尔2022年6月20日
由升序反对偶读取的广义欧拉数三角形数组，其中m>=0，n>=0和0<=k<=n。
+10
三
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 3, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 1, 10, 0, 7, 1, 0, 1, 15, 0, 25, 4, 0, 0, 1, 21, 0, 65, 10, 0, 1, 0, 1, 28, 0, 140, 20, 0, 15, 4, 0, 1, 36, 0, 266, 35, 0, 90, 30, 1, 0, 1, 45, 0, 462, 56, 0, 350, 120, 5, 0, 0, 1, 55, 0, 750, 84, 0, 1050, 350, 15, 0, 1, 0
配方奶粉
T（m，n，k）=（k+m）*T（m、n-1，k）+（n-k）*T；如果k<0或k>n，T（m，n，k）=0；T（m，0，k）=0^k。
设h（m，n）=x^（-m）*（1-x）^。则T（m，n，k）是0<=k<n时p（m，n）的第k个系数。
例子
阵列启动：
m\j|0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
---|----------------------------------------------------------------------------
m=0|1，0，0，0,0，0。。。
m=1|1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,4,1,01,1,11,1。。。
m=2|1、3、0、7、4、0、15、30、5、0、31、146、91。。。
m=3|1、6、0、25、10、0、90、120、15、0、301、896、406。。。
m=4|1、10、0、65、20、0、350、350、35、0、1701、3696、1316。。。
m=5|1、15、0、140、35、0、1050、840、70、0、6951、11886、3486。。。
m=6|1，21，0，266，56，0，26，46，1764，126，0，22827，32172，8022。。。
m=7|1，28，0，462，84，0，5880，3360，210，0，63987，76692，16632。。。
m=8|1，36，0，750，120，0，11880，5940，330，0，159027，165792，31812。。。
m=9|1，45，0，1155，165，0，22275，9900，495，0，359502，331617，57057。。。
.
m\j|。。。13 14 15 16 17 18 19 20
---|----------------------------------------------------------------
m=0|。。。，0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... [A000007号]
m=1|。。。，1, 0, 1, 26, 66, 26, 1, 0, ... [A173018型]
m=2|。。。，6, 0, 63, 588, 868, 238, 7, 0, ... [A062253号]
m=3|。。。，21, 0, 966, 5376, 5586, 1176, 28, 0, ... [A062254号]
m=4|。。。，56, 0, 7770, 30660, 24570, 4200, 84, 0, ... [A062255号]
m=5|。。。，126, 0, 42525, 129780, 84630, 12180, 210, 0, ...
m=6|。。。，252, 0, 179487, 446292, 245322, 30492, 462, 0, ...
m=7|。。。，462, 0, 627396, 1315776, 625086, 68376, 924, 0, ...
m=8|。。。，792, 0, 1899612, 3444012, 1440582, 140712, 1716, 0, ...
m=9|。。。，1287, 0, 5135130, 8198190, 3063060, 270270, 3003, 0, ...
.
参数m遍历三角形，j通过逐行读取三角形来为其编制索引。设T（m，n）表示行[T（m、n、k）表示0<=k<=n]，T（m）表示三角形[T（n，m）表示n>=0]。例如，T（2）是三角形A062253号，T（4，2）是第2行A062255美元（即[65,20,0]）和T（4,2,1）=20。
MAPLE公司
如果m=0，则m^n elif k<0或k>n，则0 elif n=0，然后1
对于[$0..4]中的m，对[$0..6]中的n，进行打印（seq(A293616型（m，n，k），k=0..n）od；
#示例用途：
#压扁：
a:=程序（n）局部w；w:=过程（k）局部t，s；t:=1；s：=1；
而t＜＝k做s：＝s+1；t:=t+s od；[s-1，s-t+k]结束：
序列(A293616型（n-k，w（k）[1]，w（k）[2]），k=0..n）结束：seq（a（n），n=0..11）；
数学
GenEulerianRow[0，n_]：=表[如果[n==0&&j==0，1，0]，{j，0，n}]；
GenEulerianRow[m_，n_]：=如果[n==0，{1}，连接[系数列表[x^（-m）（1-x）^（n+m）
PolyLog[-n-m，m，x]/。日志[1-x]->0，x]，{0}]]；
（*使用示例：*）
A173018行[n_]：=GenEulerianRow[1，n]；表[A173018行[n]，{n，0，6}]
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