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T（n，k）是n元素集的高度k（高度（α）=|Im（α）|）的部分双射数。
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1, 1, 1, 1, 4, 2, 1, 9, 18, 6, 1, 16, 72, 96, 24, 1, 25, 200, 600, 600, 120, 1, 36, 450, 2400, 5400, 4320, 720, 1, 49, 882, 7350, 29400, 52920, 35280, 5040, 1, 64, 1568, 18816, 117600, 376320, 564480, 322560, 40320
评论
T（n，k）也是对称逆幺半群I子n中格林J等价类的元素数。
T（n，k）也是在n X n棋盘上放置k辆非攻击车的方法数。它可以通过对给定k列的n行的每个C（n，k）组合执行n列的P（n，k）置换来获得。该规则也适用于尺寸不等（m X n）的矩形板-Antal Pinter公司2014年11月12日
行还给出了完全二部图K_{n，n}的匹配生成多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年4月24日
行还给出了nXnrook图的独立多项式和nXnRook补图的团多项式的系数-埃里克·韦斯特因2017年6月13日和9月14日
T（n，k）是[n]的所有置换上长度为n-k的递增子序列的数量-杰弗里·克雷策2023年1月8日
参考文献
O.Ganyushkin和V.Mazorchuk，经典有限变换半群，2009年，第61页。
霍伊，《半群理论基础》。牛津：克拉伦登出版社（1995）。
瓦茨拉夫·科特索维奇（Vaclav Kotesovec），《非攻击性国际象棋棋子》，第6版（2013年），第216页，第218页。
链接
W.D.Munn，对称逆半群的特征，程序。剑桥菲洛斯。《社会分类》第53卷（1957年），第13-18页。
配方奶粉
T（n，k）=（C（n，k）^2）*k！。
通用公式：exp（x*t）*I_0（2*sqrt（x））=1+（1+t）*x/1^2+（1+4*t+2*t^2）*x^2^2+（1+9*t+18*t^2+6*t^3）*x^3/3^2 + ..., 其中I_0（x）=和{n>=0}（x/2）^（2*n）/n^2是第一类修正贝塞尔函数。
行多项式R（n，t）满足R（n、t+u）=Sum_{k=0..n}t（n，k）*t^k*R（n-k，u）。
R（n，t）=1+和{k=0..n-1}（-1）^（n-k+1）*n/k*二项式（n，k）*t^（n-k）*R（k，t）。囊性纤维变性。A089231号.（结束）
例如：1/（1-t*x）*exp（x/（1-t**））。
行多项式的递归性：R（n+1，t）=（1+（2*n+1）*t）R（n，t）-n^2*t^2*R（n-1，t），其中R（0，t）=1，R（1，t。
R（n，t）等于有限连分式1+n*t/（1+n*1/（1+（n-1）*t/。分子多项式是A089321号.（结束）
例子
T（3,1）=9，因为（在一个三元集合上）正好有9个高度为1的部分双射，即：（1）->（1），（1）->（2）->（3），（2）->。
三角形T（n，k）开始于：
1;
1, 1;
1, 4, 2;
1, 9, 18, 6;
1, 16, 72, 96, 24;
1, 25, 200, 600, 600, 120;
1, 36, 450, 2400, 5400, 4320, 720;
...
MAPLE公司
T： =（n，k）->（二项式（n，k）^2）*k！：
seq（seq（T（n，k），k=0..n），n=0..10）#阿洛伊斯·海因茨2012年12月4日
数学
表[表[二项式[n，k]^2 k！，{k，0，n}]，{n，0，6}]//展平(*杰弗里·克雷策2012年12月4日*）
表[系数列表[n！*LaguerreL[n，x]，x]//Abs//反向，{n，0，8}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年11月18日*）
系数列表[表[n！x^n LaguerreL[n，-1/x]，{n，0，8}]，x]//展平(*埃里克·韦斯特因2017年4月24日*）
系数列表[表[（-x）^n超几何U[-n，1，-（1/x）]，{n，5}]，
黄体脂酮素
（岩浆）/*作为三角形*/[[（二项式（n，k）^2）*阶乘（k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]//文森佐·利班迪2017年6月13日
（PARI）T（n，k）=k！*二项式（n，k）^2\\安德鲁·霍罗伊德2018年2月13日
行读取的三角形数组。T（n，k）是{1,2，…，n}在一个循环中正好有k个元素的部分置换数（内射部分函数）。k元素不一定在同一个循环中。不动点被视为处于循环中。
+10
6
1, 1, 1, 3, 2, 2, 13, 9, 6, 6, 73, 52, 36, 24, 24, 501, 365, 260, 180, 120, 120, 4051, 3006, 2190, 1560, 1080, 720, 720, 37633, 28357, 21042, 15330, 10920, 7560, 5040, 5040, 394353, 301064, 226856, 168336, 122640, 87360, 60480, 40320, 40320
参考文献
Mohammad K.Azarian，《关于函数的不动点及其复合函数的不动点》，《国际纯粹与应用数学杂志》，第46卷，第1期，2008年，第37-44页。《数学评论》，MR2433713（2009c:65129），2009年3月。Zentralblatt MATH，Zbl 1160.65015。
Mohammad K.Azarian，二次多项式的不动点，问题841，《大学数学杂志》，第38卷，第1期，2007年1月，第60页。解决方案发表于2008年1月第39卷第1期，第66-67页。
链接
菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学剑桥大学出版社，2009年，第132页。
配方奶粉
例如：exp（x/（1-x））/（1-y*x）。
和{k=0..n}（-1）^k*T（n，k）=A331725型（n） ●●●●。（结束）
例子
1;
1, 1;
3, 2, 2;
13, 9, 6, 6;
73, 52, 36, 24, 24;
501, 365, 260, 180, 120, 120;
4051, 3006, 2190, 1560, 1080, 720, 720;
...
MAPLE公司
b： =proc（n）选项记忆`如果`（n=0，1，加上（（p->p+x^j*
系数（p，x，0））（b（n-j）*二项式（n-1，j-1）*j！），j=1..n））
结束：
T： =n->（p->seq（系数（p，x，i），i=0..n））（b（n））：
数学
nn=7；a=1/（1-x）；ay=1/（1-yx）；f[list_]：=选择[list，#>0&]；地图[f，范围[0，nn]！系数列表[级数[Exp[ax]ay，{x，0，nn}]，{x、y}]//展平
行读取的三角形T（n，k）：和{k=0..二项式（n，2）}T（n、k）*q^k=n*求和{pi}常见问题（n，q）/产品{i=1..n}e（i）*faq（i，q）^e（i），其中pi遍历e（1）+2*e（2）+…+的所有非负整数解n*e（n）=n和faq（i，q）=产品{j=1..i}（q^j-1）/（q-1），i=1..n。
+10
三
1, 1, 3, 1, 13, 8, 8, 1, 73, 63, 89, 78, 41, 15, 1, 501, 544, 909, 1095, 1200, 842, 680, 315, 129, 24, 1, 4051, 5225, 9734, 13799, 18709, 20441, 20520, 18101, 14831, 10200, 5891, 3199, 1109, 314, 35, 1, 37633, 55656, 112370, 177457, 270746, 352969, 442897
评论
Sum_{k=0..二项式（n，2）}T（n，k）*exp（2*Pi*I*k/n））=n-弗拉德塔·乔沃维奇2008年12月5日
配方奶粉
例如：A（x，q）=exp（E_q（x，q）-1）=和{n>=0}和{k=0..n（n-1）/2}T（n，k）*q^k*x^n/（n！*faq（n，q）），其中E_q。
例子
三角形T（n，k）开始于：
1;
1;
3, 1;
13, 8, 8, 1;
73, 63, 89, 78, 41, 15, 1;
501, 544, 909, 1095, 1200, 842, 680, 315, 129, 24, 1;
...
黄体脂酮素
（PARI）{T（n，k）=局部（e_q=和（j=0，n，x^j/prod（i=1，j，（q^i-1）/（q-1））+x*O（x^n））\\保罗·D·汉纳2008年12月15日
正方形数组T（n，k），n>=0，k>=0由反对偶读取，其中T（n、k）=Sum_{j=0..n}j^k*（n-j）！*二项式（n，j）^2。
+10
2
1, 0, 2, 0, 1, 7, 0, 1, 6, 34, 0, 1, 8, 39, 209, 0, 1, 12, 63, 292, 1546, 0, 1, 20, 117, 544, 2505, 13327, 0, 1, 36, 243, 1168, 5225, 24306, 130922, 0, 1, 68, 549, 2800, 12525, 55656, 263431, 1441729, 0, 1, 132, 1323, 7312, 33425, 145836, 653023, 3154824, 17572114
例子
方形数组开始：
1, 0, 0, 0, 0, 0, ...
2, 1, 1, 1, 1, 1, ...
7, 6, 8, 12, 20, 36, ...
34, 39, 63, 117, 243, 549, ...
209, 292, 544, 1168, 2800, 7312, ...
1546, 2505, 5225, 12525, 33425, 97125, ...
数学
T[n_，k_]：=总和[如果[j==k==0，1，j^k]*（n-j）！*二项式[n，j]^2，{j，0，n}]；表[T[k，n-k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2021年2月6日*）
黄体脂酮素
（PARI）T（n，k）=和（j=0，n，j^k*（n-j）*二项式（n，j）^2）；
a（n）=和{k=0..n}E1（n，k）*k^2，其中E1是欧拉数A173018型.
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0
0, 0, 1, 8, 64, 540, 4920, 48720, 524160, 6108480, 76809600, 1037836800, 15008716800, 231437606400, 3792255667200, 65819609856000, 1206547550208000, 23297526540288000, 472708591939584000, 10055994967130112000, 223826984752250880000, 5202760944485744640000, 126075414965721661440000, 3179798058882852126720000, 83346901966165164687360000, 2267221868000212451328000000
配方奶粉
a（n）=n！*[x^n]x^2*（-x^2+x-3）/（6*（x-1）^3）。
a（n）=和{k=0..n}和{j=0..k}（-1）^j*二项式（n+1，j）*k^2*（k+1-j）^n。
a（n）=（（n-3）*（n-1）*（23*n-44）*a（n-2）+（159-7*n）*n-286）*a。
MAPLE公司
a:=n->加（组合[eulerian1]（n，k）*k^2，k=0..n）：
#重复周期：
a:=proc（n）选项记忆；如果n<2，则0 elif n=2，然后1 else
（（n-3）*（n-1）*（23*n-44）*a（n-2）+（159-7*n）*n-286）*a
seq（a（n），n=0..29）；
数学
a[n]：=和[Sum[（-1）^j二项式[n+1，j]k^2（k+1-j）^n，{j，0，k}]，{k，0，n}]；a[0]：=0；表[a[n]，｛n，0，25｝]
黄体脂酮素
（SageMath）
定义aList（长度）：
R.<x>=PowerSeriesRing（QQ，default_prec=len+2）
f=x^2*（-x^2+x-3）/（6*（x-1）^3）
返回f.egf_to_ogf（）.list（）[：len]
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