搜索： a084416-编号：a0844十六
|
| |
|
|
A052875号
|
| 例如：（扩展（x）-1）^2/（2-exp（x））。 |
|
+10
10
|
|
|
|
0, 0, 2, 12, 74, 540, 4682, 47292, 545834, 7087260, 102247562, 1622632572, 28091567594, 526858348380, 10641342970442, 230283190977852, 5315654681981354, 130370767029135900, 3385534663256845322, 92801587319328411132, 2677687796244384203114, 81124824998504073881820
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
以前的名字是：一个简单的语法。
-（-1）^n的斯特林变换*A052566号（n-1）=[1，-1,4，-6,48，…]是一个（n-1）=[1,0,2,12,74，…]-迈克尔·索莫斯2004年3月4日
a（n）是{1,2，…，n}幂集中不包含空集且不包含{1,2…，n{的链数。等价地，a（n）是{1,2，…，n}分成至少两个类的有序集分区数-杰弗里·克雷策2014年9月1日
|
|
|
链接
|
R.B.Nelsen和H.Schmidt，Jr。，发电机组中的链条，数学。Mag.，64（1991），23-31。
|
|
|
公式
|
例如：（exp（x）-1）^2/（2-exp（x））。
|
|
|
例子
|
a（3）=12，因为我们有：{{1}}、{{2}}，{{3}}和{1,2}、}1,3}、2,3}和}1,3{1}、1,2}}、{1}、{3}，、{2}，2,2}-杰弗里·克雷策2014年9月1日
|
|
|
MAPLE公司
|
规范：=[S，{B=集合（Z，1<=卡），C=序列（B，1<=卡），S=生产（B，C）}，标记]：seq（组合结构[计数]（规范，大小=n），n=0..20）；
|
|
|
数学
|
系数列表[级数[（E^x-1）^2/（2-E^x），{x，0，20}]，x]*范围[0，20]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年2月25日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）a（n）=如果（n<0，0，n！*polceoff（subst（y^2/（1-y），y，exp（x+x*O（x^n））
（鼠尾草）
返回范围（n+1）中j的加法（（-1）^（j-i）*二项式（j，i）*i^n
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
容易的,非n
|
|
|
作者
|
百科全书（AT）pommard.inia.fr，2000年1月25日
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A341091型
|
| 按行读取三角形：计算从零阶到k阶的所有有限差之和的系数sum_{n=0..k}T（n，k）*b（n）=b（0）+b（1）+…+b（k）+（b（1）-b（0））+…+（b（k）-b（k-1））+（b（2）-b。 |
|
+10
三
|
|
|
|
1, 0, 2, 1, -1, 3, 0, 3, -3, 4, 1, -2, 7, -6, 5, 0, 4, -8, 14, -10, 6, 1, -3, 13, -21, 25, -15, 7, 0, 5, -15, 35, -45, 41, -21, 8, 1, -4, 21, -49, 81, -85, 63, -28, 9, 0, 6, -24, 71, -129, 167, -147, 92, -36, 10, 1, -5, 31, -94, 201, -295, 315, -238, 129, -45, 11
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,3
|
|
|
评论
|
如果我们想计算序列b（n）的有限差分之和：
b（0）*T（0，n）+…+b（n）*T（n，n）=b（0）+b（1）+…+b（n）+（b（1）-b（0））+…+（b（n）-b（n-1））+（b（2）-b。。。这个和包括序列b（n）本身。这定义了一个可逆线性序列变换，它与伯努利数和其他有趣的有理数序列有着深刻的联系。
这是由递归定义的多项式的系数：P（k，x）=P（k-1，x）+（x^2-x）*P（k-2，x）+1，其中P（-1，x）=0，P（0，x）=1。这也可以表示为P（k，x）=Sum_{m=1..k+1}二项式（k+2-m，m）*（x^2-x）^（m-1）=Sum_{n=0..k}T（n，k）*x^（k-n）。如果我们将P（k，t）作为固定t的序列进行求值，那么我们得到1/（（1-x）*（1+（t-1）*x）*。
我们可以将（x^2-x）替换为（x^（-2）-x^。如果我们将F（k，t）作为固定t的序列进行求值，那么我们得到1/（（1-x）*（1-（t-1）*x）*。（完）
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
b（0）*T（0，m）+b（1）*Tb（m）*T（m，m）
=和{j=0..m}和{n=0..m-j}和_{k=0..n}（-1）^k*二项式（n，k）*b（j+n-k）
=和{n=0..m}b（n）*和{j=n..m}（-1）^（j+n）*二项式（j+1，n）。
T（n，k）=和{m=n.k}（-1）^（m+n）*二项式（m+1，n）。
T（n，k）=（1/2）*（-1）^n*（2*（-1-托马斯·谢伊尔2024年4月29日
T（0，k*2）=1。
T（0，k*2+1）=0。
T（1，k*2+1）=k+2。
T（1，k*2+2）=-（k+1）。
T（n，k）具有常数n和变量k，与特征多项式（x-1）*（x+1）^（n+1）的线性递推关系。
求和{n=0..k}T（n，k）*B_n=1。B_n是第n个伯努利数，B_1=1/2。B_n（B_n）=A164555号（n）/A027642号（n） ●●●●。
求和{n=0..k}T（n，k）*（1-B_n）=k。
Sum_｛n=0..k｝T（n，k）*（2*n-3+3*B_n）=k^2。
求和{n=0..k}T（n，k）*（1/（1+n））=H（1+楼层（k/2）），其中H（k）是调和数A001008号（k）/A002805号（k） ●●●●。（完）
求和{n=0..k}T（n，k）*c（n）=c（k）。C（k）={-1，0，1/2，1/8，-7/20，…}这个有理数序列可以递归定义：C（0）=-1，C（m）=（-C（m-1）+和{k=0..m-1}A130595型（m+1，k）*c（k））/m。
c（m）是这个变换的本征序列，所有本征序列都是c（m）乘以任何因子。
此序列充当单项式n^w上的运算符：
求和{n=0..k}T（n，k）*n^w=（1/（w+1））*k^（w+1）+求和{v=1..w}（（v+B_v）*（w）_v/v！）*k^（宽+1-v）-A052875号（w） +O_k（w）（w）_v是下降阶乘。如果k＞w-1，则O_ k（w）＝0。如果k<=w-1，则O_k（w）为A084416号（w，2+k），具有指数生成函数的序列：（e^x-1）^（2+k，）/（2-e^x）。
这个序列由它的逆算子作用于单项式k^w：
求和{n=0..k}T（n，k）*（求和{m=0..k}（（-1）^（1+m+k）*二项式（k，m）*（2^（k-m）-1）*n^m+A344037型（m） *B_n））=k^w-A372245型（w，k+3），注意A372245如果k+3>w.B_n是第n个Bernoulli数，B_1=1/2，则（w，k+3）=0。
该序列如何作为Dirichlet级数的算子，可通过以下公式得出：
求和{n=0..k}T（n，k）*m^n=m^2*m^k/（m-1）-（m-1。
求和{n=0..k}T（n，k）*（m*B_n+（m-1）*求和{T=1..m}T^n）*（1/m^2）=m^k，对于m>0。B_n是第n个伯努利数，B_1=1/2。
求和{n=0..k}T（n，k）zeta（-n）=求和{j=0..k}（-1）^（1+j）/（2+j）=（-1）*（k+1）*LerchPhi（-1，1，k+3）-1+log（2）。
求和{n=0..k}T（k-n，k）*4^n=A249997型（k） ●●●●。（完）
|
|
|
例子
|
三角形以T（n，k）开头：
n=0、1、2、3、4、5、6、7、8
k=0 1
k=10，2
k=2 1，-1，3
k=30，3，-3，4
k=41，-2，7，-6，5
k=50、4、-8、14、-10、6
k=6 1、-3、13、-21、25、-15、7
k=70、5、-15、35、-45、41、-21、8
k=81、-4、21、-49、81、-85、63、-28、9
...
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）A341091型（n，k）=总和（m=n，k，（-1）^（m+n）*二项式（m+1，n））
|
|
|
交叉参考
|
将通过评估相关多项式获得以下序列：
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A084417号
|
| 行读取三角形：T（n，k）=和（（n+1-i）*斯特林2（n，n+1-i），i=1..k），n>=1，1<=k<=n。 |
|
+10
1
|
|
|
|
1, 2, 3, 6, 12, 13, 24, 60, 74, 75, 120, 360, 510, 540, 541, 720, 2520, 4080, 4620, 4682, 4683, 5040, 20160, 36960, 45360, 47166, 47292, 47293, 40320, 181440, 372960, 498960, 539784, 545580, 545834, 545835, 362880, 1814400, 4142880, 6048000
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
T（n，k）=总和（（n+1-i）*斯特林2（n，n+1-i），i=1..k），n>=1，1<=k<=n。
|
|
|
例子
|
1;2,3;6,12,13;24,60,74,75;120,360,510,540,541;
|
|
|
MAPLE公司
|
与（组合）：T:=（n，k）->总和（（n+1-i）*斯特林2（n，n+1-i），i=1..k）：seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1..10）；
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A372245型
|
| 行读取的三角形数组T（n，k）：列k是f:exp（-2*x）*（exp（x）-1）^k/（2-exp（x））的展开式。 |
|
+10
1
|
|
|
|
1, -1, 1, 3, -1, 2, -1, 7, 0, 6, 27, 11, 26, 12, 24, 119, 151, 120, 150, 120, 120, 1203, 1139, 1202, 1140, 1200, 1080, 720, 11759, 11887, 11760, 11886, 11760, 11760, 10080, 5040, 136587, 136331, 136586, 136332, 136584, 136080, 131040, 100800, 40320, 1771559, 1772071, 1771560, 1772070
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
0,4
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
T（n，k）=和{m=0..n}（（-1）^（1+m+n）*二项式（k，n）*（2^（k-n）-1）*A084416号（m，k-1）），对于k>0。
|
|
|
例子
|
三角形T（n，k）开始：
[0] 1;
[1] -1, 1;
[2] 3, -1, 2;
[3] -1, 7, 0, 6;
[4] 27, 11, 26, 12, 24;
[5] 119, 151, 120, 150, 120, 120;
[6] 1203, 1139, 1202, 1140, 1200, 1080, 720;
[7] 11759, 11887, 11760, 11886, 11760, 11760, 10080, 5040;
[8] 136587, 136331, 136586, 136332, 136584, 136080, 131040, 100800, 40320;
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=和（m=0，n，（（-1）^（（k>0）+m+n）*二项式（n，m）*（2^（n-m）-（k>0））*和（h=max（k-1，0），m，h*斯特林（m，h，2））
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
| |
|
|
A090665号
|
| 按行读取的三角形：T（n，k）=第一个对象排名为k的n个事物的优先排列数。 |
|
+10
0
|
|
|
|
1, 2, 1, 6, 5, 2, 26, 25, 18, 6, 150, 149, 134, 84, 24, 1082, 1081, 1050, 870, 480, 120, 9366, 9365, 9302, 8700, 6600, 3240, 720, 94586, 94585, 94458, 92526, 82320, 57120, 25200, 5040, 1091670, 1091669, 1091414, 1085364, 1038744, 871920, 554400, 221760, 40320
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,2
|
|
|
评论
|
公式
T（n，k）=和{i=k.n.n-1}i*箍筋S2（n-1，i）+（k-1）*箍筋S2（n-1，k-1）
可以通过将秩为k的第一个对象的弱阶分解为三类来导出：
1.弱序，其中另一个对象（其他n-1个对象中的）秩为k，
2.所有其他对象的秩严格小于k的弱序，以及
3.弱阶，其中没有其他对象处于秩k，但一些对象的秩大于k。
第一类弱序的个数是Sum_{i=k.n.n-1}i*StirlingS2（n-1，i），长度n-1的弱阶数，秩数在k和n-1之间（即。A084416号（n-1，k））。给定长度n-1的弱序和秩数i>=k，通过将新对象插入适当的秩，可以形成指定对象秩为k时长度n的相应弱序。
第二类弱阶数为（k-1）*StirlingS2（n-1，k-1），长度为n-1的弱阶数，秩为k-1。给定长度为n-1的弱序和秩数为k-1，通过将新对象附加到其自己的秩中来形成相应的弱序。
最后，第三类弱序的个数是（再一次）Sum_{i=k.n.n-1}i*箍筋S2（n-1，i）。给定长度为n-1的弱序和秩为k-1的数量，通过在秩k-1之后将新对象插入其自身的秩中，从而将原来大于或等于k的秩移动一个，从而形成相应的弱序
|
|
|
链接
|
|
|
|
公式
|
T（n，k）=2*（和{i=k..n-1}i！*斯特林S2（n-1，i））+（k-1）*StirlingS2（n-1，k-1）。
T（n，k）=2*A084416号（n-1，k）+（k-1）*箍筋S2（n-1，k-1）。
|
|
|
例子
|
三角形开始：
01: 1;
02: 2, 1;
03: 6, 5, 2;
04: 26, 25, 18, 6;
05: 150, 149, 134, 84, 24;
06: 1082, 1081, 1050, 870, 480, 120;
07: 9366, 9365, 9302, 8700, 6600, 3240, 720;
08: 94586, 94585, 94458, 92526, 82320, 57120, 25200, 5040;
09: 1091670, 1091669, 1091414, 1085364, 1038744, 871920, 554400, 221760, 40320;
10: 14174522, 14174521, 14174010, 14155350, 13950720, 12930120, 10190880, 5957280, 2177280, 362880;
...
|
|
|
数学
|
T={n，k}|->2*总和[i！*StirlingS2[n-1，i]，{i，k，n-1}]+（k-1）i*箍筋S2[n-1，k-1](*文森特·杰克逊2023年5月1日*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
尤金·麦克唐纳（eemcd（AT）mac.com），2003年12月16日
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
搜索在0.008秒内完成
|
