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搜索： a045616-编号：a0456十六
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A001220号 维埃弗里奇素数：素数p，使得p^2除以2^（p-1）-1。 +10
165
1093, 3511 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
序列被认为是无限的。
约瑟夫·西尔弗曼（Joseph Silverman）证明了abc猜想意味着序列中有无限多的素数-Benoit Cloitre公司2003年1月9日
Graves和Murty（2013）改进了Silverman的结果，表明对于任何固定的k>1，abc猜想意味着有无限多的素数==1（mod k）不在序列中-乔纳森·桑多2013年1月21日
这些数字的平方是以2为基数的费马伪素数(A001567号)和加泰罗尼亚伪素数(A163209号)-T.D.诺伊，2003年5月22日
素数p除以调和数H（（p-1）/2）的分子；也就是说，p除以A001008号（第（p-1）/2页）-T.D.诺伊2004年3月31日
在1977年的一篇论文中，威尔斯·约翰逊引用了劳伦斯·华盛顿的一项建议，指出了数字的二进制表示中的重复，这些数字比已知的两个威弗里奇素数少一；即1092=10001000100（基数2）；3510=110110110110（基数2）。也许值得注意的是，1092=444（基数16）和3510=6666（基数8），因此这些数字是各自基数中重新单位的小倍数。这在数学上是否重要似乎还不清楚-约翰·布莱斯·多布森2007年9月29日
A002326号（（a（n）^2-1）/2）=A002326号（a（n）-1）/2）-弗拉基米尔·舍维列夫2008年7月9日，2008年8月24日
人们认为，如果p=a（n），p^2不除以3^（p-1）-1。对于n=1和2，这是正确的。请参见A178815号，A178844号，A178900个和Ostafe-Shparlinski（2010）第1.1节-乔纳森·桑多2010年6月29日
这些素数也除以调和数H的分子（floor（（p-1）/4））H.Eskandari（hamid.r.Eskandari（AT）gmail.com），2010年9月28日
1093和3511是满足同余429327^（p-1）==1（modp^2）的素数p。为什么-阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2011年4月7日。这些基础列于A247208型. -马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月25日。请参见A269798型对于所有这些基，质数和复合数，它们都不是2的幂-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2018年4月7日
A196202号(A049084号（a（1））=A196202号(A049084号（a（2））=1-莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月29日
如果q是素数，q^2除以素数指数Mersenne数，那么q一定是Wieferich素数。两个已知的维费里素数都不划分梅森数。请参阅下面链接中Will Edgington的Mersenne页面-达兰·吉尔2013年4月4日
PrimeGrid制定的4.97*10^17以下没有其他条款（参见下面的链接）-马克斯·阿列克塞耶夫2015年11月20日。搜索是通过PrimeGrid的PRPNet完成的，结果没有经过双重检查。由于测试的不可靠性，搜索于2017年5月暂停（参见Goetz，2017）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2018年4月1日。2020年11月28日，PrimeGrid恢复了搜索（参见Reggie，2020）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2020年11月29日
还有其他素数q>=p吗，q^2除以2^（p-1）-1，其中p是素数-托马斯·奥多夫斯基2014年11月22日。任何这样的q都必须是Wieferich素数-马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月25日
素数p使得p^2除以2^r-1得到一些r，0<r<p-托马斯·奥多夫斯基，2014年11月28日，更正人马克斯·阿列克塞耶夫2014年11月28日
由于某些原因，p=a（1）和p=a；换句话说，a（1）和a（2）属于A248865型. -杰佩·斯蒂格·尼尔森2015年7月28日
设r_1、r_2、r_3。。。，r_i是多项式X^（（p-1）/2）-（p-3）的根的集合！*X^（（p-3）/2）-（p-5）！*X ^（（p-5）/2）-…-1.那么p是一个Wieferich素数，当p除以和{k=1，p}（r_k^（（p-1）/2））（参见Jakubec，1994年的例子2）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日
Arthur Wieferich证明，如果p不是这个序列的一个项，那么Fermat最后定理的第一种情况在x、y和z中没有素数指数p的解（参见Wiefrich，1909）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2016年5月27日
设U_n（P，Q）是第一类Lucas序列，e是Legendre符号（D/P），P是不除2QD的素数，其中D=P^2-4*Q。然后，一个素数P，使得U_（P-e）==0（mod P^2）称为“与该对（P，Q）相关联的Lucas-Wieferich素数”。维埃弗里奇素数是与这对（3，2）相关联的卢卡斯-维埃弗里希素数（参见McIntosh，Roettger，2007，第2088页）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年5月27日
项的任何重复素因子A000215号是这个序列的一个项。因此，如果存在无限多个非平方自由的费马数，那么这个序列就是无限的，因为没有两个费马数共享一个公因数-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich），2016年5月27日
如果丢番图方程p^x-2^y=d在正整数（x，y）中有不止一个解，其中（p，d）不是对（3，1）、（3，-5）、（3，-13）或（5，-3）中的一个，那么p是这个序列的项（参见Scott，Styer，2004，定理2的推论）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年6月18日
奇素数p，使得Chi_（D_0）（p）！=1和Lambda_p（Q（sqrt（D_0））！=1，其中D_0<0是虚二次域Q（sqrt（1-p^2））的基本判别式，Chi和Lambda是Iwasawa不变量（参见Byeon，2006，命题1（i））-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年6月25日
如果q是奇素数，k，p是p=2*k+1，k==3（mod 4），p==-1（mod q）和p=/=-1（mod q^3）（雅库贝克，1998，推论2给出p==-5（mod q^）和p=/=-5（mod q ^3））的素数，其乘法阶为q模k=（k-1）/2，q除以实分圆域q（Zeta_p+（Zeta_p）^（-1））的类数，那么q是这个序列的一个项（参见Jakubec，1995，定理1）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年6月25日
发件人费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2016年8月6日：（开始）
素数p使得p-1在A240719型.
的主要条款A077816号（参见Agoh、Dilcher、Skula，1997年，推论5.9）。
p=素数（n）在序列iff T（2，n）>1中，其中T=A258045型.
p=素数（n）在序列中，如果存在整数k，使得T（n，k）=2，其中T=A258787型.（结束）
猜想：一个整数n>1，使得n^2除以2^（n-1）-1必须是Wieferich素数-托马斯·奥多夫斯基2016年12月21日
上述猜想相当于不存在“魏氏伪素数”（WPSP）的说法。虽然已知存在多个碱基b>1而不是2的碱基b WPSP（参见示例A244752号)，没有已知的base-2 WPSP。由于复合物成为基-2 WPSP的两个必要条件是，这两个条件都是基-2 Fermat伪素数(A001567号)它的所有素因子都是维埃弗里奇素数（参见。A270833型)，如中的注释所示A240719型，似乎第一个碱基-2 WPSP（如果存在）可能非常大。这似乎得到了以下猜测的支持：复合物的属性是A001567号和，共邮编：270833相互“独立”，通过观察A256517型随着n的增加，在x轴平行线y=2处似乎变得“不太稠密”。文献中建议，在某个数x以下可能存在对数（log（x））Wieferich素数的渐近性，这是一个增长到无穷大的函数，但增长速度非常慢。考虑到上述限制，WPSP的数量可能会增长得更慢，这意味着如果存在这样的数量，那么可能远远超出暴力搜索在可预见的未来可能达到的极限。因此，我猜想这个猜想可能是错误的，但反驳或反例的发现可能是非常困难的问题-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2019年1月18日
以德国数学家亚瑟·约瑟夫·阿尔温·威弗里奇（Arthur Josef Alwin Wieferich，1884-1954）的名字命名。a（1）=1093由Waldemar Meissner于1913年发现。a（2）=3511是由N.G.W.H.Beeger于1922年发现的-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月5日
参考文献
Richard Crandall和Carl Pomerance，《素数：计算视角》，Springer，NY，2001年；见第28页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《数论中未解决的问题》（Unsolved Problems in Number Theory），A3。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第91页。
Yves Hellegouarch，“Fermat Wiles的数学邀请”，Dunod，2eme版，第340-341页。
佩斯·尼尔森（Pace Nielsen），《威弗里奇素数，启发式，计算》（Wieferich primes，heuristics，calculations），《抽象艾默尔》（Abstracts Amer）。数学。Soc.，33（#1，20912），#1077-11-48。
保罗·里本博伊姆（Paulo Ribenboim），《素数记录》（The Book of Prime Number Records）。Springer-Verlag，纽约州，第二版，1989年，第263页。
大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》，企鹅图书，纽约，1986年，第163页。
链接
n=1..2时的n，a（n）表。
Takashi Agoh、Karl Dilcher和Ladislav Skula，复合模的费马商，《数论杂志》66（1），1997，29-50。
Joerg Arndt，计算事项（Fxtbook），第780页。
亚历克斯·塞缪尔·巴蒙巴阿，关于Carlitz-Wieferich素数的一个注记《数论杂志》，第174卷（2017年），第343-357页；
N.G.W.H.Beeger，同余2^（p-1）==1（mod p^2）的一个新情况《数学信使》，第51卷（1922年），第149-150页。
Dongho再见，类号、川川不变量和模形式，《数学趋势》，第9卷，第1期，（2006年），第25-29页。
Chris K.Caldwell，《主要词汇》，韦伊费列治素数.
Chris K.Caldwell，素数平方梅森因子是威弗里奇.
丹尼斯·泽维尔·查尔斯，关于Wieferich素数.
理查德·克兰德尔（Richard Crandall）、卡尔·迪尔彻（Karl Dilcher）和卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance），Wieferich和Wilson素数的搜索《计算数学》，第66卷，第217期（1997年），第433-449页；备用链路.
Joe K.Crump，Joe’s Number Theory网站，Weiferich素数.（原文如此）
约翰·布莱斯·多布森，关于两个已知Wieferich素数的注记, 2007-2015.
约翰·布莱斯·多布森Wilson-Lerch引物的特征《整数》，第16卷（2016年），A51。
约翰·布莱斯·多布森，关于模p的特殊调和数H_floor（p/9）和H_loor（p/18），arXiv:2302.02027[math.NT]，2023。
F.G.多赖，WPSE-一个Wieferich Prime搜索引擎（一个搜索由F.G.Dorais编写的Wieferich素数的程序。）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2014年7月13日
弗朗索瓦·多雷斯（François G.Dorais）和多米尼克·W·克利夫（Dominic W.Klyve），一个高达6.7*10^15的Wieferich素数搜索《整数序列杂志》，第14卷（2011年），第11.9.2条。
Bruno Dular，整数和的循环，arXiv:1905.01765[math.NT]，2019年。
威尔·埃德金顿，梅塞纳页面[来自Internet Archive Wayback Machine]。
M.Goetz，WSS和WFS暂停PrimeGrid论坛，消息1078092017年5月11日。
安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville）和K.Soundararajan，Erdős的二元可加问题与2模p^2的阶，拉曼。J.，第2卷（1998年）第283-298页
海丝特·格雷夫斯和M.拉姆·默蒂，算术级数中的abc猜想与非Wieferich素数《数论杂志》，第133卷（2013年），第1809-1813页。
勒内基，调和数的扩展同余，arXiv:1902.05258[math.NT]，2019年。
Lorenz Halbeisen和Norbert Hungerbuehler，组合函数的数论方面，《数论和离散数学笔记》5（1999）138-150。(秒，pdf格式)
斯坦尼斯拉夫·雅库贝克，h的Wieferich同余与可除性之间的联系+《算术学报》，第71卷，第1期（1995年），第55-64页。
斯坦尼斯拉夫·雅库贝克，素数l的实分圆域类数h+的可除性《计算数学》，第67卷，第221期（1998年），第369-398页。
斯坦尼斯拉夫·雅库贝克，高斯周期的同余《数论杂志》，第48卷，第1期（1994年），第36-45页。
威尔斯·约翰逊，关于费马商（mod p）的非零化《数学杂志》，第292卷，（1977年），第196-200页。
吉希·克拉什卡，梅森数素数幂因子Skula定理的简单证明，J.国际顺序。，第25卷（2022年），第22.4.3条。
吉希·克拉什卡，Jakóbczyk关于梅森数的假设和Skula定理的推广，J.国际顺序。，第26卷（2023年），第23.3.8条。
Joshua Knauer和Jörg Richstein，Wieferich素数的继续搜索，数学。公司。，第74卷，第251号（2005），第1559-1563页。
D.H.Lehmer，关于费马商，以二为基数，数学。公司。，第36卷，第153号（1981年），第289-290页。
Richard J.McIntosh和Eric L.Roettger，Fibonacci-Wieferich和Wolstenholme素数的搜索，数学。压缩机。，第76卷，第260号（2007年），第2087-2094页。
C.McLeman，PlanetMath.org，韦伊费列治素数.
Waldemar Meissner，Primzahl广场上的Teilbarkeit von 2号楼p=1093《Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften Berlin》，第35卷（1913年），第663-667页。[带注释的扫描副本]
Sihem Mesnager和Jean-Pierre Flori，基于Dillon-like指数的超承函数的注记，IACR，报告2012/033，2012。
Mishima Miwako和Koji Momihara，一类新的权重为3的最优紧冲突避免码《离散数学》，第340卷，第4期（2017年），第617-629页。参见第618页。
Alina Ostafe和Igor E.Shparlinski，费马商的伪随机性和动力学，arXiv:1001.1504[math.NT]，2010年。
Christian Perfect，Numberphile上的整数序列审查（反之亦然）, 2013.
雷吉，欢迎来到威弗里奇和沃尔-森-森Prime SearchPrimeGrid论坛，2020年。
瑞斯·斯科特和罗伯特·斯泰尔，关于p^x-q^y=c及相关的素数基三项指数丢番图方程《数论杂志》，第105卷，第2期（2004年），第212-234页。
弗拉基米尔·舍维列夫，超伪素数、梅森数和维埃弗里奇素数，arXiv:0806.3412[math.NT]，2008年。
约瑟夫·西尔弗曼，威弗里奇判据与abc猜想，J.Number Th.30（1988）226-237。
乔纳森·桑多，Lerch商、Lerch素数、Fermat-Wilson商和Wieferich-non-Wilson素数2、3、14771，arXiv:1110.3113[math.NT]，2012年。
乔纳森·桑多，Lerch商、Lerch素数、Fermat-Wilson商和Wieferich-non-Wilson素数2、3、14771，组合和加性数论，CANT 2011和2012，Springer Proc。数学。&《统计》，第101卷（2014年），第243-255页。
米歇尔·沃尔德施米特，关于abc猜想及其一些结果的讲座阿卜杜斯·萨拉姆数学科学学院（ASSMS），拉合尔，2013年第六届21世纪数学世界会议。
米歇尔·沃尔德施米特，关于abc猜想及其一些结果的讲座阿卜杜斯·萨拉姆数学科学学院（ASSMS），拉合尔，2013年第六届21世纪数学世界会议。
埃里克·魏斯坦的数学世界，威弗里奇素数.
埃里克·魏斯坦的数学世界，abc猜想.
埃里克·魏斯坦的数学世界，整数序列素数.
A.威弗里奇，祖姆莱兹滕·费马陈定理《数学杂志》，第136卷（1909年），第293-302页。
维基百科，韦伊费列治素数.
保罗·齐默尔曼，素数记录.
公式
(A178815号(A000720号（p） ）^（p-1）-1）模块p^2=A178900个（n） ，其中p=a（n）-乔纳森·桑多2010年6月29日
奇素数p是这样的A002326号（（p^2-1）/2）=A002326号（第（p-1）/2页）。请参见A182297号. -托马斯·奥多夫斯基，2014年2月4日
MAPLE公司
wieferich:=proc（n）local nsq，remain，bin，char:if（not isprime（n））then RETURN（“not prime”）fi:nsq:=n^2:remain:=2:bin:=convert（convert，n-1，binary），string）：remain:=（remain*2）mod nsq:bin:=substring（bin，2.length（bin））：while（lengthmod nsq fi:remain:=（remain^2）mod nsq:bin:=substring（bin，2..length（bin））：od:if（bin=“1”）then remain:=（remain*2）mod-nsq fi:if remain=1 then RETURN（“Wieferich prime”）fi:RETURN:（“non-Wieferichprime”
数学
选择[Prime[Range[50000]]，Divisible[2^（#-1）-1，#^2]&](*哈维·P·戴尔2011年4月23日*）
选择[Prime[Range[50000]]，PowerMod[2，#-1，#^2]==1&](*哈维·P·戴尔2016年5月25日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
导入数据。列表（元素索引）
a001220 n=a001220_列表！！（n-1）
a001220_list=地图（a000040.（+1））$elemIndices 1 a196202_list
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年9月29日
（PARI）
N=10^4；默认值（素数极限，N）；
对于素数（n=2，n，如果（Mod（2，n^2）^（n-1）==1，打印1（n，“，”））；
\\乔格·阿恩特2013年5月1日
（Python）
从sympy导入质数
从gmpy2导入powmod
A001220号_如果powmod（2，p-1，p*p）==1，则list=[p代表p in（prime（n）代表n in range（1，10**7））
#柴华武2014年12月3日
（GAP）过滤（[1..50000]，p->IsPrime（p）和（2^（p-1）-1）mod p^2=0）#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年4月3日
（岩浆）[p:p在PrimesUpTo（310000）|IsZero（（2^（p-1）-1）mod（p^2））中]//文森佐·利班迪2019年1月19日
交叉参考
参考与费马最后定理第一种情况相关的类似素数：A007540号，A088164号.
序列“素数p使得p^2除以X^（p-1）-1”：A014127号（X=3），A123692号（X=5），A212583型（X＝6），A123693号（X=7），A045616号（X=10），A111027号（X＝12），A128667号（X=13），A234810型（X=14），A242741型（X=15），A128668号（X=17），A244260号（X=18），A090968号（X=19），A242982型（X=20），A298951型（X=22），A128669号（X=23），A306255（X=26），A306256型（X=30）。
囊性纤维变性。A001567号，A002323号，A077816号，A001008号，A039951号，A049094号，A126196号，A126197号，A178815号，A178844号，A178871号，A178900个，A246503型，A247208型，A269798型.
关键词
非n，坚硬的，布雷夫，美好的，更多
作者
N.J.A.斯隆
状态
经核准的
A014127号 Mirimanoff素数：素数p，使得p^2除以3^（p-1）-1。 +10
44
11, 1006003 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
多雷斯和克莱夫证明，在9.7*10^14之前，没有其他条款。
这些素数是根据Mirimanoff在1910年的著名结果命名的（见下文），对于费马最后定理的第一种情况的失败，指数p必须满足定义中规定的标准。Lerch（见下文）表明，这些素数也除以谐波数H的分子（floor（p/3））。这类似于Wieferich素数(A001220号)除以谐波数H（（p-1）/2）的分子-约翰·布莱斯·多布森2014年3月2日，2015年4月9日
根据各种来源，质数1006003显然是由K.E.Kloss（参见Kloss，1965）发现的-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2020年12月8日
如果除了11和1006003之外没有其他项，那么丢番图方程a^w+a^x=3^y+3^z的唯一解（a，w，x，y，z）是（5，1，1，2，3）（参见Scott，Styer，2006，引理12）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2020年12月10日
以俄罗斯数学家德米特里·塞米奥诺维奇·米里马诺夫（1861-1945）的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月10日
参考文献
Paulo Ribenboim，《费马最后定理13讲》，施普林格出版社，1979年，第23页，152-153页。
Alf van der Poorten，《费马大定理注释》，威利出版社，1996年，第21页。
链接
n=1..2时的n，a（n）表。
阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
Chris K.Caldwell，费马商《主要词汇表》。
约翰·布莱斯·多布森，关于模p的特殊调和数H_floor（p/9）和H_loor（p/18），arXiv:2302.02027[math.NT]，2023。
弗朗索瓦·多雷斯（François G.Dorais）和多米尼克·克莱夫（Dominic Klyve），p＜6.7*10^15的Wieferich素数搜索，J.整数序列。，第14卷（2011年），第11.9.2条，第1-14条。
Wilfrid Keller和Jörg Richstein，同余a^（p-1）==1（mod p^r）的解，数学。公司。，第74卷，第250号（2005），第927-936页。
K.E.Kloss，一些数字理论计算《国家标准局研究杂志-B.数学和数学物理》，第69B卷，第4期（1965年10月至12月），第335-336页。
马蒂亚斯·勒奇，费马逊商理论（a^（p-1）-1）/p==q（a）《数学年鉴》，第60卷（1905年），第471-490页。
D.米里马诺夫，费尔马特郡，C.R.学院。科学。巴黎，第150卷（1910），第204-206页。修订为费尔马特郡《数学杂志》，第139卷（1911年），第309-324页。
行星数学，Wieferich素数.
瑞斯·斯科特和罗伯特·斯泰尔，关于广义Pillai方程+-a^x+-b^y=c《数论杂志》，第118卷，第2期（2006年），第236-265页。
数学
选择[Prime[Range[1000000]]，PowerMod[3，#-1，#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯，2019年5月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）
N=10^9；默认值（primelimit，N）；
对于素数（n=2，n，如果（Mod（3，n^2）^（n-1）==1，打印1（n，“，”））；
\\乔格·阿恩特2013年5月1日
（Python）
从sympy导入质数
从gmpy2导入powmod
A014127号_如果powmod（3，p-1，p*p）==1，则list=[p代表p in（prime（n）代表n in range（1，10**7））#柴华武2014年12月3日
交叉参考
囊性纤维变性。A039951号，A096082号.
序列“素数p使得p^2除以X^（p-1）-1”：A001220号（X=2），A123692号（X=5），A212583型（X=6），A123693号（X=7），A045616号（X＝10）时，A111027号（X=12），A128667号（X=13），A234810型（X＝14），A242741型（X=15），A128668号（X=17），A244260号（X=18），A090968号（X=19），A242982型（X=20），A298951型（X=22），A128669号（X=23），A306255型（X=26），A306256型（X=30）。
关键词
非n，坚硬的，布雷夫，更多
作者
N.J.A.斯隆
扩展
编辑人马克斯·阿列克塞耶夫2010年10月20日
更新者马克斯·阿列克塞耶夫2012年1月29日
状态
经核准的
A039951号 a（n）是p^2除以n^（p-1）-1的最小素数p。 +10
40
2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
对于任意n，k>1，a（n^k）<=a（n）。
a（n）在{47，72，186，187，200，203，222，231，304，311，335，355，435，454，546，554，610，639，662，760，772，798，808，812，858，860，871，983，986，…}中的n当前未知-理查德·费希2021年7月15日
a（47）>1.4*10^14，a（72）>1.4*10^14（见Fischer表）。
对于所有非负整数n和k，a（n^（n^k））=a（n）（见链接中的谜题762）。当且仅当mod（n，36）在集合{8，10，19，26，28，35}中时，a（n）=3-法里德·菲鲁兹巴赫特和贾汉格·科尔迪2014年11月1日
链接
n=1..46时的n、a（n）表。
C.K.Caldwell，主要词汇，费马商.
理查德·费舍尔，费马商B^（P-1）==1（mod P^2）
理查德·费舍尔，更新n个表2021年7月15日。
W.Keller和J.Richstein，可被p整除的费马商q_p（a）.
卡洛斯·里维拉，拼图762。里宾博伊姆书中的推测，主要困惑和问题联系。
Robert G.Wilson诉，n=1..10000时的n，a（n）表（缺少术语）
公式
a（4k+1）=2。
a（n）=A096082号（n） 对于所有非4k+1形式的n>1。请注意A096082号以n=2开始。[由纠正和澄清乔纳森·桑多2010年6月17日至18日]
数学
表[p=2；而[！可除[n^（p-1）-1，p^2]，p=NextPrime@p]；p、 {n，33}](*迈克尔·德弗利格2016年11月24日*）
f[n_]：=块[{p=2}，而[PowerMod[n，p-1，p^2]！=1，p=NextPrime@p]；p] ；数组[f，33](*罗伯特·威尔逊v2018年7月18日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=1,20，对于素数（p=2,1e9，如果（Mod（n，p^2）^（p-1）==1），打印1（p，“，”）；下一个（{2}））；打印1（“--，”）\\费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2014年7月24日
交叉参考
囊性纤维变性。A001220号，A045616号，A096082号，A014127号，A123692号，A123693号，A174422号.
关键词
非n，更多，坚硬的
作者
大卫·W·威尔逊
扩展
a（34）-a（46）摘自Helmut Richter（Richter（AT）lrz.de），2004年5月17日
条目修订人N.J.A.斯隆2006年11月30日
编辑人马克斯·阿列克塞耶夫2009年10月6日、10月9日
编辑和更新人马克斯·阿列克塞耶夫2012年1月29日
状态
经核准的
A111027号 以12为基数的威弗里奇素数。 +10
13
2693, 123653 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
我已经搜索了第900万个素数160481183，并放弃了寻找第三个词的尝试。这个序列被推测为无穷大。如果行为与基数10相似，A045616号，则下一项可能大于2*10^11。以12为基数，X代表10，E代表11，序列是[1685，5E685]，所以很有兴趣看看第三项是否也以685结尾。这些素数也是以12为基数的威弗里奇数：12^phi（n）=1modn^2。
理查德·费舍尔（Richard Fischer）已将此搜索范围扩大至4.8*10^13（截至2014年1月）-约翰·布莱斯·多布森2014年3月6日
链接
n=1..2时的n，a（n）表。
阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
理查德·费舍尔，发酵商B^（P-1）==1（mod P^2）.
公式
12^（p-1）==1模p^2
MAPLE公司
WP:=[]：对于z从1到1，对于k从1到9000000，do p:=ithprime（k）；如果12&^（p-1）mod p^2=1，则WP:=[op（WP），p]；printf（“p=%d，”，p）；fi；如果k mod 10^5=0，则打印f（“k=%d，”，k）；fi；od；od；可湿性粉剂；
数学
选择[Prime[Range[1000000]]，PowerMod[12，#-1，#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯2019年5月17日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A001220号，A039951号，A045616号，A077815号，A077816号，A245529型.
关键词
非n，布雷夫，更多
作者
沃尔特·凯霍夫斯基2005年10月5日
状态
经核准的
A242741型 素数p使得p^2除以15^（p-1）-1。 +10
9
2011年11月29日 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
基础15维费里希素数。根据理查德·费舍尔（Richard Fischer）的说法，在约5*10^13之前没有其他术语。
链接
n=1..2时的n，a（n）表。
阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
R.Fischer，Thema：发酵商B^（P-1）==1（mod P^2）
数学
选择[Prime[Range[1000000]]，PowerMod[15，#-1，#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯2019年5月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）
对于素数（n=2，10^9，如果（Mod（15，n^2）^（n-1）==1，print1（n，“，”））；
交叉参考
囊性纤维变性。A001220号，A014127号，A123692号，A212583型，A123693号，A045616号，A111027号，A128667号，A234810型
关键词
非n，坚硬的，布雷夫，更多
作者
费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2014年5月21日
状态
经核准的
A242982型 素数p使得p^2除以20^（p-1）-1。 +10
9
281, 46457, 9377747, 122959073 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
基数为20的Wieferich素数。根据理查德·费舍尔（Richard Fischer）的说法，没有其他术语可以达到约5*10^13。
链接
n=1..4时的n，a（n）表。
阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知的最大Wieferich数，整数，18（2018），A3。见第5页的表1。
R.Fischer，Thema：发酵商B^（P-1）==1（mod P^2）
数学
选择[Prime[Range[1000000]]，PowerMod[20，#-1，#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯2019年5月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）表示素数（n=2，10^9，如果（Mod（20，n^2）^（n-1）==1，print1（n，“，”））；
交叉参考
囊性纤维变性。A001220号，A014127号，A123692号，A212583型，A123693号，A045616号，A111027号，A039951号，A096082号.
关键词
非n，坚硬的，布雷夫，更多
作者
费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2014年5月28日
状态
经核准的
A086982号 数n，使得10^n+1不是平方的。 +10
8
11, 21, 33, 39, 55, 63, 77, 99, 105, 117, 121, 136, 143, 147, 165, 171, 187, 189, 195, 202, 209, 231, 243, 253, 273, 275, 292, 297, 315, 319, 341, 351, 357, 363, 385, 399, 406, 407, 408, 429, 441, 451, 473, 483, 495, 507, 513, 517, 525, 539, 548, 561, 567 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
该序列是由非零项构成的序列集合的并集A086981号*A005408号奇数。序列中第一个出现的连续整数是406407408。
发件人罗伯特·伊斯雷尔2017年2月13日：（开始）
数n，使gcd（n，10^n+1）>1或n=k m，其中k是奇数，2 m是2模的阶A045616美元.
如果n在序列中，那么对于任何奇数k，k*n也是。（结束）
链接
罗伯特·伊斯雷尔，n=1..10000时的n，a（n）表
MAPLE公司
filter:=n->（n mod 243=0 and（n/243）：：odd）或igcd（n，（10&^n+1 mod n））>1:#注意，如果n<28299156，则此方法有效
选择（过滤器，[1..1000]美元）#罗伯特·伊斯雷尔2017年2月13日
交叉参考
囊性纤维变性。A005408号，A013929号，A086981号，A045616号，A049096号，A282344号，A282345号.
关键词
非n
作者
雷·钱德勒2003年7月27日
状态
经核准的
A244260号 素数p使得p^2除以18^（p-1）-1。 +10
8
5, 7, 37, 331, 33923, 1284043 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
评论
基数为18的Wieferich素数。根据理查德·费舍尔（Richard Fischer）的说法，在约5*10^13之前没有其他术语。
链接
n=1..6时的n，a（n）表。
阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
R.Fischer，Thema：发酵商B^（P-1）==1（mod P^2）
数学
选择[Prime[Range[1000000]]，PowerMod[18，#-1，#^2]==1&](*罗伯特·普莱斯，2019年5月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）表示素数（n=2，10^9，如果（Mod（18，n^2）^（n-1）==1，print1（n，“，”））；
交叉参考
囊性纤维变性。A001220号，A014127号，A123692号，A212583型，123693英镑，A045616号，A111027号，A128667号，A234810型，A242741型，A128668号，A090968号，A242982型，A039951号，A096082号.
关键词
非n，坚硬的，更多
作者
费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2014年6月24日
状态
经核准的
A241977号 数字k>1，使得10^φ（k）==1（mod k^2），其中φ（n）=A000010号（n） ●●●●。 +10
6
3, 487, 1461, 4383, 13149, 39447, 118341, 355023, 56598313, 169794939, 509384817, 1754547703, 5263643109, 7187985751, 15790929327, 21563957253, 27563378431, 33902389487, 47372787981, 50315900257, 64691871759, 82690135293, 101707168461, 150947700771 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
链接
乔瓦尼·雷斯塔，n=1..130时的n，a（n）表（条款<10^15）
数学
选择[Range[400000]，PowerMod[10，EulerPhi[#]，#^2]==1&](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年10月16日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=2，1e9，如果（Mod（10，n^2）^（eulerphi（n））==1，print1（n，“，”））
交叉参考
囊性纤维变性。A000010号，A045616号，A077816号，A171928号，A242958型，A242959型，142960英镑，A245529型.
关键词
非n
作者
费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2014年8月10日
扩展
条款a（12）及其后乔瓦尼·雷斯塔2020年1月24日
状态
经核准的
A298951型 维埃弗里奇素数以22为基数。 +10
4
13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
素数p^2除以22^（p-1）-1。
下一项（如果存在）大于8.72*10^13。
492366587由蒙哥马利发现（参见蒙哥马里，1993）-费利克斯·弗罗利奇（Felix Fröhlich）2018年1月30日
链接
n=1..5时的n，a（n）表。
阿米尔·阿克巴里（Amir Akbary）和萨哈尔·西瓦什（Sahar Siavashi），已知最大的威弗里奇数，INTEGERS，18（2018），A3。见第5页的表1。
理查德·费舍尔，发酵商B^（P-1）==1（mod P^2）
P.L.蒙哥马利，a^p-1==1（mod p^2）的新解《计算数学》，第61卷，第203期（1993年），第361-363页。
维基百科，韦伊费列治素数
黄体脂酮素
（PARI）表示素数（p=1，如果（Mod（22，p^2）^（p-1）==1，print1（p，“，”））
交叉参考
基b的Wieferich素数：A001220号（b=2），A014127号（b=3），A123692号（b=5），212583英镑（b=6），A123693号（b=7），A045616号（b=10），A111027号（b=12），128667英镑（b＝13），A234810型（b=14），A242741型（b=15），A128668号（b=17），A244260号（b=18），A090968号（b=19），A242982型（b=20），该序列（b=22），A128669号（b=23），A306255型（b=26），A306256型（b=30）。
关键词
非n，更多，坚硬的
作者
蒂姆·约翰内斯·奥特曼2018年1月30日
状态
经核准的
第页12

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上次修改时间：美国东部夏令时2024年5月28日12:54。包含372913个序列。（在oeis4上运行。）