显示找到的15个结果中的1-10个。
a（n）=（2*n）^2/（（n+1）*不^3).
+10
17
1, 2, 12, 100, 980, 10584, 121968, 1472328, 18404100, 236390440, 3103161776, 41469525552, 562496897872, 7726605740000, 107289439704000, 1503840313184400, 21252802073091300, 302539888334593800, 4334635827016110000, 62464383654579522000, 904841214653480504400
评论
a（n）是北、东、南或西2n个单位步长的步数，从原点开始，上以y=x为界，下以y=-x为界，终止于射线y=x>=0。示例：a（1）统计EN、EW；a（2）统计ESNN、ESNW、ENSN、ENSW、ENEN、ENEW、EENN、EENW、EEWN、EEWW、EWEN、EWEW-大卫·卡伦2005年10月11日
双jective证明：给定这样一个NESW行走，构造一对上行U=（1,1）和下行D=（1，-1）的格路（P_1，P_2），如下所示。要获得P_1，将每个E和S替换为U，将每个W和N替换为D。要获得P_2，将每个N和E替换为U并将每个S和W替换为D，例如EENSNW->（UUDUD，UUUDUD）。这个映射是1到1，其范围是Dyck n路集和长度为2n的非负路集的笛卡尔积。Dyck路径由加泰罗尼亚数字C_n计数(A000108号)非负路径通过中心二项式系数二项式（2n，n）进行计数（例如，参见Callan链接）(A000984号). 所以这是从这些NESW行走到一组大小为C_n*二项式（2n，n）=a（n）的双射-大卫·卡伦2007年9月18日
如果A是USp（4）中的随机矩阵（4 X 4个酉和辛复矩阵），则A（n）=E[（tr（A^3））^{2n}]-安德鲁·萨瑟兰2008年4月1日
在N^2（Z^2的第一象限）内从（0,0）开始，到垂直轴结束，由取自{（-1，-1），（-1,1），（1，-1）和（1,1）}的2 N步组成的行走次数-曼努埃尔·考尔斯2008年11月18日
a（n）等于在（0,16）中x上定义的下列正函数的第n个矩，用Maple符号表示：（椭圆K（sqrt（1-x/16））-椭圆E（sqert（1-x/106））/（Pi^2*sqrt））。这是Hausdorff矩问题的解，因此它是唯一的-卡罗尔·彭森2011年2月11日
参考文献
E.R.Hansen，《系列和产品表》，Prentice-Hall，恩格尔伍德悬崖，新泽西州，1975年，第93页。
T.M.MacRobert，《复变量函数》，第4版，麦克米伦公司，伦敦，1958年，第177页。
链接
马可·比安奇，受保护且一致超越，arXiv:2306.06239[hep-th]，2023年。
M.Bousquet-Mélou和M.Mishna，在四分之一平面上用小步行走，arXiv:0810.4387[math.CO]，2008-2009年。
Kiran S.Kedlaya和Andrew V.Sutherland，超椭圆曲线、L-多项式和随机矩阵，arXiv:0803.4462[math.NT]，2008-2010。
配方奶粉
G.f.：1/4*（（16*x-1）*椭圆K（4*x^（1/2））+椭圆（4*x^（1/2）））/x/Pi-弗拉德塔·乔沃维奇2003年10月12日
给定G.f.A（x），y=x*A（x）满足y=y''*（1-16*x）*x/4-迈克尔·索莫斯2005年9月11日
a（n）=二项式（2*n，n）^2/（n+1）-零入侵拉霍斯2006年5月27日
G.f.：2F1（1/2，1/2；2；16*x）-保罗·巴里2008年9月3日
G.f.：1+4*x/（G（0）-4*x）其中G（k）=4*x*（2*k+1）^2+（k+1）*（k+2）-4*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年7月30日
带递归的D-有限：（n+1）*（n+2）*a（n+1）=4*（2*n+1）^2*a（n）-瓦茨拉夫·科泰索维奇，2012年9月11日
a（n）=C（n）*二项式（2*n，n）=和{k=0..2*n}二项式(A000108号)，请参阅Prodinger-米歇尔·马库斯2019年11月19日
和{n>=0}a（n）/16^n=4/Pi(A088538号). - Amiram Eldar，2023年5月6日
例子
总尺寸：1+2*x+12*x^2+100*x^3+980*x^4+10584*x^5+121968*x^6+。。。
MAPLE公司
[seq（二项式（2*n，n）^2/（n+1），n=0..17）]#零入侵拉霍斯2006年5月27日
数学
f[n]：=二项式[2n，n]^2/（n+1）；数组[f，18，0](*罗伯特·威尔逊v*)
a[n_]：=级数系数[（1/8）（椭圆[16 x]-（1-16 x）椭圆[16 x]）/（Pi/2），{x，0，n+1}]；(*迈克尔·索莫斯2012年1月23日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（2*n）！^2/n！^4/（n+1））}/*迈克尔·索莫斯2005年9月11日*/
（岩浆）[（因子（2*n））^2/（因子（n）））^4/（n+1）：[0..20]]中的n//文森佐·利班迪2011年8月15日
T（n，k）=滚动立方体面足迹：从0开始的nXk 0..5个数组的数量，其中0..5个立方体的标签面，以及每个向水平或反对角线邻居移动的数组都会跨越相应的立方体边缘
+10
10
1, 4, 6, 16, 64, 36, 64, 768, 1024, 216, 256, 9216, 36864, 16384, 1296, 1024, 110592, 1327104, 1769472, 262144, 7776, 4096, 1327104, 48365568, 191102976, 84934656, 4194304, 46656, 16384, 15925248, 1764753408, 21177040896, 27518828544
评论
表格开始
....1.......4.........16............64..............256................1024
....6......64........768..........9216...........110592.............1327104
...36....1024......36864.......1327104.........48365568..........1764753408
..216...16384....1769472.....191102976......21177040896.......2356125106176
.1296..262144...84934656...27518828544....9273505480704....3147420753985536
.7776.4194304.4076863488.3962711310336.4060947412942848.4204783428144463872
配方奶粉
k列的经验值：
k=1:a（n）=6*a（n-1）
k=2:a（n）=16*a（n-1）
k=3:a（n）=48*a（n-1）
k=4:a（n）=144*a（n-1）
k=5:a（n）=480*a（n-1）-18432*a（n-2）
k=6:a（n）=1600*a（n-1）-368640*a（n-2）+21233664*a（n-3）
k=7:a（n）=5376*a（n-1）-5750784*a（n-2）+2038431744*a（n-3）-217432719360*a（n-4）
第n行的经验值：
n=1:a（n）=4*a（n-1）
n=2:n>2时，a（n）=12*a（n-1）
n=3:a（n）=40*a（n-1）-128*a（n-2），对于n>4
n=4:当n>7时，a（n）=144*a（n-1）-3840*a（n-2）+24576*a（n-3）
n=5:对于n>11，[顺序7]
n=6:对于n>15，[顺序9]
n=7:对于n>33，[订单27]
例子
n=3k=4的一些解
..0..2..0..2....0..3..5..2....0..2..5..4....0..4..0..4....0..1..3..4
..0..4..0..1....0..3..5..3....0..4..0..1....0..4..0..4....0..1..0..1
..0..4..5..4....0..1..0..1....0..4..2..1....0..2..0..1....0..1..2..4
交叉参考
第3列为16*48^（n-1）
第4列为64*144^（n-1）
n>1时，第2行为64*12^（n-2）
3, 43, 683, 10923, 174763, 2796203, 44739243, 715827883, 11453246123, 183251937963, 2932031007403, 46912496118443, 750599937895083, 12009599006321323, 192153584101141163, 3074457345618258603, 49191317529892137643
评论
雅各布斯数以十进制数字3结尾-宋佳宁2022年8月30日
配方奶粉
通用名称：（3-8*x）/（1-x）*（1-16*x））。[科林·巴克2012年4月5日]
a（0）=3，a（1）=43，a（n）=17*a（n-1）-16*a（n-2）-哈维·P·戴尔2015年3月16日
数学
线性递归[{17，-16}，{3，43}，30](*哈维·P·戴尔2015年3月16日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[（1/3）*（1+8*16^n）：n英寸[0..25]]//文森佐·利班迪2011年5月25日
4, 128, 3072, 65536, 1310720, 25165824, 469762048, 8589934592, 154618822656, 2748779069440, 48378511622144, 844424930131968, 14636698788954112, 252201579132747776, 4323455642275676160, 73786976294838206464, 1254378597012249509888, 21250649172913403461632
评论
的部分和A001246号（n） /a（n）绝对收敛。这个级数也是超几何函数1/4*4F3（1/2,1/2,1,1；2,2,2；1）-拉尔夫·斯坦纳2016年2月9日
配方奶粉
总尺寸：4/（1-16*x）^2。
当n>1时，a（n）=32*a（n-1）-256*a（n-2）。（结束）
和{n>=0}1/a（n）=4*log（16/15）。
和{n>=0}（-1）^n/a（n）=4*log（17/16）。（结束）
例子
对于n=3，a（3）=（3+1）*4^（2*3+1）=4*4^7=65536。
数学
表[（n+1）4^（2n+1），{n，0，20}](*文森佐·利班迪2016年2月10日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=（n+1）*4^（2*n+1）\\米歇尔·马库斯2016年1月28日
（PARI）Vec（4/（1-16*x）^2+O（x^30））\\科林·巴克2017年3月23日
（岩浆）[（n+1）*4^（2*n+1）:n in[0..45]]//文森佐·利班迪2016年2月10日
0, 4, 68, 1092, 17476, 279620, 4473924, 71582788, 1145324612, 18325193796, 293203100740, 4691249611844, 75059993789508, 1200959900632132, 19215358410114116, 307445734561825860, 4919131752989213764, 78706108047827420228, 1259297728765238723652
评论
最后一个数字的序列a（n）mod 10是周期性的，周期长度为5：重复0、4、8、2、6。
配方奶粉
a（n）=16*a（n-1）+4。
通用：4*x/（（16*x-1）*（x-1））-R.J.马塔尔2011年7月2日
黄体脂酮素
（岩浆）[（4/15）*（16^n-1）：n in[0..25]]//文森佐·利班迪2011年5月25日
4, 8, 64, 16, 1024, 2048, 16384, 16384, 262144, 524288, 4194304, 2097152, 67108864, 134217728, 1073741824, 1073741824, 17179869184, 34359738368, 274877906944, 17179869184, 4398046511104, 8796093022208, 70368744177664, 70368744177664, 1125899906842624
参考文献
卡尔文·C·克劳森，《数字的美丽与魔力》。纽约：全会出版社（1996）：96。
例子
a（4）=16，因为3/4+6/16+9/64+12/256=3/4+3/8+9/64+3/64=48/64+24/64+9/64+3/64=84/64=21/16。
数学
表[分母[Sum[3i/4^i，{i，n}]]，{n，40}]
黄体脂酮素
（岩浆）[分母（&+[3*i/4^i:i in[1..n]]）:n in[1..25]]//布鲁诺·贝塞利2012年9月3日
（PARI）矢量（100，n，分母（总和（i=1，n，3*i/4^i））\\科林·巴克2014年11月9日
行读取的三角形：如果所有正整数都可以用两种颜色着色，而任何正整数x都没有与n*x或k*x相同的颜色，则T（n，k）=0；否则，T（n，k）=1（对于2<=k<=n）。
+10
2
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
评论
T（n，k）=1当且仅当存在至少一对正整数（x，y），使得n^x=k^y和x+y是奇数。否则，T（n，k）=0。
配方奶粉
对于所有正整数d>1，x，y，T（d^（2x），d^。
例子
三角形T（n，k）开始于：
n\k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11。。。
2 0
3 0 0
4 1 0 0
5 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0
8 0 0 1 0 0 0 0
9 0 1 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
如果我们给所有正整数上色，这些正整数的2阶和3阶加起来在颜色A中是偶数，其余的在颜色B中，则每个正整数的颜色都将与其双精度和三精度不同。因此，T（3，2）=0。
黄体脂酮素
（Python）
定义T（n，k）：
parity_check=[错误]
i=0
为True时：
当不是n%k时：
n/=k
parity_check[i]=非parity_check[i]
如果k%n：
返回0
elif n==1：
x、 y=真，而不是parity_check[0]
对于范围（1，i+1）中的j：
x、 y=y，x^（y和parity_check[j]）
返回y+0
其他：
n、 k=k，n
parity_check.append（False）
i+=1
打印（[T（n，k）代表范围（2，14）中的n，代表范围（2,n+1）中的k]）
（Python）
定义T（n，k）：
nk=n*k
is_odd=0
为True时：
当不是n%k时：
n/=k
如果k%n：
返回0
elif n==1：
当没有nk%k时：
nk/=k
如果is_add else为1，则is_add=0
返回is_add
其他：
n、 k=k，n
打印（[T（n，k）代表范围（2，14）中的n，代表范围（2,n+1）中的k]）
交叉参考
囊性纤维变性。A000302号,A001019元,A001025号,A004171号,A007814号,A007916号,A009969号,A009980型,A013708号-A013715号,A052409号,A052410美元,A087752号,A089357号,A089683号,A098608型,A346460型,A346461飞机.
0, 64, 2048, 49152, 1048576, 20971520, 402653184, 7516192768, 137438953472, 2473901162496, 43980465111040, 774056185954304, 13510798882111488, 234187180623265792, 4035225266123964416, 69175290276410818560, 1180591620717411303424, 20070057552195992158208
评论
以中心二项式和加泰罗尼亚数的对数的渐近展开形式出现。（见凯斯勒和希夫，第2页。）
配方奶粉
总尺寸：64*x/（1-16*x）^2。[布鲁诺·贝塞利2014年3月26日]
（n-1）*a（n）-16*n*a（n-1。[布鲁诺·贝塞利2014年3月26日]
数学
系数列表[系列[64 x/（1-16 x）^2，{x，0，20}]，x](*文森佐·利班迪2014年4月25日*）
线性递归[{32，-256}，{0，64}，20](*哈维·P·戴尔2021年5月6日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..25]]中的[n*4^（2*n+1）：n//文森佐·利班迪2014年4月25日
3, 7, 44, 375, 3724, 40572, 470448, 5705271, 71571500, 921922716, 12130541488, 162422308412, 2206718599344, 30354522550000, 422005129502400, 5921371233163575, 83761043464536300, 1193351781764231100, 17110404580326750000, 246734315435589111900
评论
带分母的修正（4n+3）Wallis-Lambert-series-1分子A013709号收敛到1。证明：Wallis-Lambert-series-1=4/Pi-1和椭圆Euler-series=1-2/Pi都是绝对收敛级数。因此，这些级数项的任何线性组合也将绝对收敛于这些级数的线性组合的值，在本例中为1。Q.E.D.公司。
数学
表[CatalanNumber[n]^2（4n+3），{n，0，19}](*迈克尔·德弗利格2016年1月24日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[加泰罗尼亚语（n）^2*（4*n+3）：n in[0..20]]//文森佐·利班迪2016年1月25日
2, 6, 40, 350, 3528, 38808, 453024, 5521230, 69526600, 898283672, 11848435872, 158966514616, 2163449607200, 29802622140000, 414852500188800, 5827381213589550, 82510878636707400, 1176544010190087000, 16882265852589060000, 243611096252860135800
评论
带分母的（4n+2）*（Wallis-Lambert-series-1）（n）分子A013709号（n） 收敛到2*（1-2/Pi）。证明：Wallis-Lambert-series-1=4/Pi-1和椭圆Euler-series=1-2/Pi都是绝对收敛级数。因此，这些级数项的任何线性组合也将绝对收敛于这些级数的线性组合的值-在这种情况下为2*（1-2/Pi）。Q.E.D.公司。
配方奶粉
G.f.：（Pi-2*椭圆（16*x））/（2*Pi*x）-本尼迪克特·欧文2016年7月14日
递归：（n+1）^2*a（n）=4*（2*n-1）*（2*n+1）*a（n-1）-瓦茨拉夫·科泰索维奇2016年7月16日
数学
表[CatalanNumber[n]^2（4n+2），{n，0，20}](*文森佐·利班迪2016年1月25日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[加泰罗尼亚语（n）^2*（4*n+2）：n in[0..20]]//文森佐·利班迪2016年1月25日
（PARI）a000108（n）=二项式（2*n，n）/（n+1）
搜索在0.010秒内完成
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