%I#135 2023年10月2日20:15:55

%编号：1、2、1210098010584121968147232818404100233904403103161776，

%电话：414695255256249689787872772660574000107289439704000，

%电话：1503840313184400212528020730913003025398883345938004334635827016110000624643836579522000904841214653480504400

%N a（N）=（2*N）^2/（（n+1）*不^3).

%C a（n）是从原点开始、以y=x为界、以y=-x为界，以射线y=x>=0为终点、以北、东、南或西为2n个单位步数的步道数。示例：a（1）统计EN、EW；a（2）统计ESNN、ESNW、ENSN、ENSW、ENEN、ENEW、EENN、EENW、EEWN、EEWW、EWEN、EWEW_David Callan，2005年10月11日

%C双有效证明：给定这样的NESW行走，构造一对（P_1，P_2）上阶U=（1，1）和下阶D=（1，-1）的格路径，如下所示。若要获得P_1，请将每个E和S替换为U，将每个W和N替换为D。若要获得P_2，请将每个N和E替换为U，将每个S和W替换为D。例如，EENSNW->（UUDUDD，UUUDUD）。这个映射是1比1，其范围是Dyck n-路径集和长度为2n的非负路径集的笛卡尔乘积。Dyck路径由加泰罗尼亚数字C_n（A000108）计数，非负路径由中心二项式系数二项式（2n，n）（A000984）计数（例如，Callan链接）。所以这是从这些NESW行走到一组大小为C_n*二项式（2n，n）=a（n）的双射_David Callan，2007年9月18日

%C如果A是USp（4）中的随机矩阵（4 X 4个酉辛复矩阵），则A（n）=E[（tr（A^3））^{2n}]_Andrew V.Sutherland，2008年4月1日

%C在N^2（Z^2的第一象限）内从（0,0）开始，到垂直轴结束，由取自{（-1，-1），（-1,1），（1，-1）和（1,1）}的2 N步组成的行走次数_Manuel Kauers_，2008年11月18日

%C a（n）等于定义在x（0,16）上的下列正函数的第n个矩，用Maple符号表示：（椭圆K（sqrt（1-x/16））-椭圆E（sqert（1-x/106））/（Pi^2*sqrt））。这是Hausdorff矩问题的解，因此它是唯一的_卡罗尔·彭森（Karol A.Penson），2011年2月11日

%C a（n）/A013709（n）的部分和绝对收敛于1/Pi.-_拉尔夫·斯坦纳（Ralf Steiner），2016年1月21日

%D E.R.Hansen，《系列和产品表》，Prentice-Hall，恩格尔伍德悬崖，新泽西州，1975年，第93页。

%D T.M.MacRobert，《复变量函数》，第4版，麦克米伦公司，伦敦，1958年，第177页。

%H Vincenzo Librandi，n的表格，n=0..100的a（n）</a>

%H Marco S.Bianchi，<a href=“https://arxiv.org/abs/2306.06239“>受保护且一致超越</a>，arXiv:2306.06239[hep-th]，2023。

%H M.Bousquet-Mélou和M.Mishna，<a href=“https://arxiv.org/abs/0810.4387“>在四分之一平面内小步行走，arXiv:0810.4387[math.CO]，2008-2009。

%H David Callan，<a href=“网址：http://www.stat.wisc.edu/~callan/notes/“>标识4^n=……的双投影。

%H Kiran S.Kedlaya和Andrew V.Sutherland，<a href=“https://arxiv.org/abs/0803.4462“>超椭圆曲线、L-多项式和随机矩阵</a>，arXiv:0803.4462[math.NT]，2008-2010。

%H Helmut Prodinger，<a href=“https://arxiv.org/abs/1911.07604“>涉及加泰罗尼亚数字的两个新恒等式：经典方法，arXiv:1911.07604[math.CO]，2019。

%H Ralf Steiner，<a href=“https://www.researchgate.net/publication/340005810_Beispiele_zur_modifizierten_Wallis-Lambert-Reihe（网址：http://www.researchgate.net/publication/340005810_Beispiele_zur_modifizierten_Wallist-Lambert-Re“>Beispiele zur modifizierten Wallis-Lambert-Reihe，2016年。

%F G.F.：1/4*（（16*x-1）*椭圆（4*x^（1/2））+椭圆_Vladeta Jovovic_，2003年10月12日

%F给定G.F.A（x），y=x*A（x_Michael Somos，2005年9月11日

%F a（n）=二项式（2*n，n）^2/（n+1）。-_泽因瓦利·拉霍斯，2006年5月27日

%光纤：2F1（1/2，1/2；2；16*x）_Paul Barry，2008年9月3日

%F a（n）=2*A125558（n）（n>=1）_奥利维尔·杰拉德，2011年2月16日

%F A002894（n）=（n+1）*a（n）。A001246（n）=a（n）/（n+1）。A089835（n）=n！*a（n）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月12日

%F G.F:1+4*x/（G（0）-4*x）其中G（k）=4*x*（2*k+1）^2+（k+1）*（k+2）-4*x*；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2012年7月30日

%带递归的F D-有限：（n+1）*（n+2）*a（n+1）=4*（2*n+1）^2*a（n）.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年9月11日

%F a（n）=C（n）*二项式（2*n，n）=和{k=0..2*n}二项式_米歇尔·马库斯，2019年11月19日

%F和{n>=0}a（n）/16^n=4/Pi（A088538）Amiram Eldar，2023年5月6日

%电子表格：1+2*x+12*x^2+100*x^3+980*x^4+10584*x^5+121968*x^6+。。。

%p[seq（二项式（2*n，n）^2/（n+1），n=0..17）]；#_Zerinvary Lajos，2006年5月27日

%tf[n_]：=二项式[2n，n]^2/（n+1）；数组[f，18，0]（*_Robert G.Wilson v_*）

%t a[n_]：=级数系数[（1/8）（椭圆[16 x]-（1-16 x）椭圆[16 x]）/（Pi/2），{x，0，n+1}]；（*迈克尔·索莫斯，2012年1月23日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，（2*n）！^2/n！^4/（n+1））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年9月11日*/

%o（岩浆）[（因子（2*n））^2/（因子（n）））^4/（n+1）：n in[0..20]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年8月15日

%Y参考A000108、A002894、A088538、A089835、A125558。

%K nonn，简单

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_