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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A000888号 a(n)=(2*n)!^2/((n+1)!*n!^3) 一。 16
1、2、12、100、980、10584、121968、1472328、18404100、236390440、3103161776、41469525552、562496897872、7726605740000、107289439704000、1503840313184400、21252802073091300、3025398883345953800、4334635827016110000、62464383654579522000、904841214653480504400 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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a(n)=北、东、南或西2n个单位步的行走次数,从原点开始,以y=x为界,以y=-x为界,以y=x>=0为终点。示例:a(1)计数EN、EW;a(2)计数ESNN、ESNW、ENSN、ENSW、ENEN、ENEW、EENN、EENW、EEWN、EEWW、ewn、eww。-大卫·凯伦2005年10月11日

双向证明:给出这样一个NESW walk,构造一对(Pˉ1,Pˉ2),上步U=(1,1),下步D=(1,-1)。要获得P_1,请将每个E和S替换为U,将每个W和N替换为D。要获得P_2,请将每个N和E替换为U,将每个S和W替换为D。例如,EENSNW->(uududud,UUUDUD)。这个映射是1对1,它的范围是Dyck n路径集和长度为2n的非负路径集的笛卡尔积,Dyck路径用Catalan数C峈n计数(A000108号)并且非负路径通过中心二项式系数二项式(2n,n)计数(例如,Callan链接)(A000984号). 这是从这些NESW行走到一组大小为C_n*二项式(2n,n)=a(n)的双射。-大卫·凯伦2007年9月18日

如果A是USp(4)中的随机矩阵(4x4酉辛复矩阵),则A(n)=E[(tr(a3))^{2n}]。-安德鲁·萨瑟兰2008年4月1日

N^2(Z^2的第一象限)内的行走次数,从(0,0)开始,结束于垂直轴,由从{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}的2个N步组成。-曼纽尔·考尔斯2008年11月18日

a(n)等于在(0,16)中定义在x上的下列正函数的n阶矩,用Maple表示法:(EllipticK(sqrt(1-x/16))—椭圆度(sqrt(1-x/16))/(Pi^2*sqrt(x))。因此,这个问题的唯一解决方法就是Hausdorff。-卡罗尔·彭森2011年2月11日

a(n)的部分和/A013709号(n) 绝对收敛到1/Pi。-拉尔夫·斯坦纳2016年1月21日

参考文献

E、 R.Hansen,《系列和产品表》,普伦蒂斯霍尔,恩格尔伍德悬崖,新泽西州,1975年,第93页。

T、 M.MacRobert,《复变函数》,第4版,麦克米伦公司,伦敦,1958年,第177页。

链接

文琴佐·利班迪,n=0..100的n,a(n)表

M、 布斯奎特·梅洛和米什纳先生,在四分之一平面上小步行走,arXiv:0810.4387[math.CO],2008-2009年。

大卫·凯伦,标识4^n=。。。

Kiran S.Kedlaya和Andrew V.Sutherland,超椭圆曲线、L-多项式和随机矩阵,arXiv:0803.4462[math.NT],2008-2010年。

赫尔穆特·普罗丁格,关于加泰罗尼亚数的两个新恒等式:经典方法,arXiv:1911.07604[math.CO],2019年。

拉尔夫·施泰纳,1/π2016年。-拉尔夫·斯坦纳2016年1月21日

公式

G、 f.:1/4*((16*x-1)*椭圆(4*x^(1/2))+椭圆(4*x^(1/2)))/x/Pi。-弗拉德塔·乔沃维奇2003年10月12日

给定G.f.A(x),y=x*A(x)满足y=y''*(1-16*x)*x/4。-迈克尔·索莫斯2005年9月11日

a(n)=二项式(2*n,n)^2/(n+1)。-泽伦瓦拉乔斯2006年5月27日

G、 f.:2F1(1/2,1/2;2;16*x)。-保罗·巴里2008年9月3日

a(n)=2*A125558号(n) (n>=1)。-奥利维尔·杰拉德2011年2月16日

A002894号(n) =(n+1)*a(n)。A001246号(n) =a(n)/(n+1)。A089835号(n) =n!*a(n)。-迈克尔·索莫斯2012年5月12日

G、 f.:1+4*x/(G(0)-4*x),其中G(k)=4*x*(2*k+1)^2+(k+1)*(k+2)-4*x*(k+1)*(k+2)*(2*k+3)^2/G(k+1);(续分数)。-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年7月30日

循环:(n+1)*(n+2)*a(n+1)=4*(2*n+1)^2*a(n)。-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年9月11日

a(n)=C(n)*二项式(2*n,n)=和{k=0..2*n}二项式(2*n,k)*C(k)*C(2*n-k),其中C(k)是加泰罗尼亚数字(A000108号),见Prodinger。-米歇尔·马库斯2019年11月19日

例子

G、 f.:1+2*x+12*x^2+100*x^3+980*x^4+10584*x^5+121968*x^6+。。。

枫木

[顺序(二项式(2*n,n)^2/(n+1,n=0..17)]#约瑟夫·拉泽里2006年5月27日

数学

f[n_u]:=二项式[2n,n]^2/(n+1);数组[f,18,0](*罗伯特·G·威尔逊五世*)

a[n_9]:=系列系数[(1/8)(椭圆[16 x]-(1-16 x)椭圆[16 x])/(Pi/2),{x,0,n+1}](*迈克尔·索莫斯2012年1月23日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=如果(n<0,0,(2*n)!^2/n!^4/(n+1))}/*迈克尔·索莫斯2005年9月11日*/

(岩浆)[(阶乘(2*n))^2/(阶乘(n))^4/(n+1):n in[0..20]]//文琴佐·利班迪2011年8月15日

交叉引用

囊性纤维变性。A000108号,A002894号,A089835号,A125558号.

上下文顺序:A224403号 195A234年 邮编:A151392*A079821号 A303614飞机 A124102号

相邻序列:A000885型 A000886号 A000887号*A000889号 A000890型 A000891号

关键字

,容易的

作者

N、 斯隆

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月14日01:00。包含336473个序列。正在运行OE4(运行)