搜索： a007138-编号：a007138
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0, 9, 99, 999, 9999, 99999, 999999, 9999999, 99999999, 999999999, 9999999999, 99999999999, 999999999999, 9999999999999, 99999999999999, 999999999999999, 9999999999999999, 99999999999999999, 999999999999999999, 9999999999999999999, 99999999999999999999, 999999999999999999999, 9999999999999999999999
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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一位德国朋友评论说，序列9，99，999，9999，999999。。。可能被称为暴躁的德国序列：不！，不！不！，不！不！nein。。。
Regan链接显示，形式为10^n-1的整数具有二进制表示形式，后面正好有n个1位。这些整数还有五元表达式，后面正好有n个4。例如，10^4-1=（304444）5。五进制的第一个数字对应于数字2^n-1，在我们的示例（30）5=2^4-1中。在二进制情况下会出现类似的模式。考虑9=（1001）2-华盛顿·邦菲姆2010年12月23日
a（n）是小于n+1位的正整数的数目-步广团2015年3月9日
对于n>=1，sqrt（a（2*n））=[10^n-1；1，2*（10^n-1），1，2x（10^n-1），…]的简单连分式展开式具有周期2。sqrt（a（2*n））/a（n）=[1；10^n-1，2，10^n-1，2…]的简单连分式展开式也有周期2。注意两个展开式中都出现了大的偏商。
连分式测度理论中库兹明的一个定理说，大的偏商是连分式展开式中的例外。
经验性地，我们还发现，在m>=3的数a（m*n）的m次根的连续分式展开的早期，存在出乎意料的大部分商。下面给出了一些典型示例。（结束）
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链接
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配方奶粉
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G.f.：1/（1-10*x）-1/（1-x）。
例如：E^（10*x）-E^x（结束）
a（n）=a（n-1）+9*10^（n-1），其中a（0）=0；另外：a（n）=11*a（n-1）-10*a（n-2），a（0）=0，a（1）=9-文森佐·利班迪2010年7月22日
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例子
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显示大部分商的连续分数展开：
a（12）^（1/3）=[9999；1，299999998，1，449999998；1，7998，1，535714284，1，2，2，142，2，1，599999999，3，1，1，…]。
与a（30）^（1/3）=[9999999999；1，29999999999999999，1，9999999998，1，44999999999998，1、7999999998，1，535714285714285714284，1，2，2，142857142，2，1，5999999999999，3，1，1，…]进行比较。
a（24）^（1/4）=[999999；1，399999999999999998，1，66666 5，1，1，79999999999999，3，476190，7，19047619047619047，21，43289，1，229，1 1864801864801863，1，4，6，…]。
与a（48）^（1/4）=[999999999999；1，399999999999999999999999999.9999999999969999999998，1，666666666 5，1，1，1,1，79999999999199999999999999 999999999-999999999999%9999999999，3，476190476190，7，19047619046190476190。
a（25）^（1/5）=[99999，1，49999999999999999，1，49，998，1，99999999999998，3，33332，3，151515151511515151，5，1，1，1947，1，38，378787878787，1，3，5，…]。
（结束）
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数学
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表[10^n-1，{n，0，22}](*迈克尔·德弗利格2015年9月27日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（10^n-1）：n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年4月26日
（哈斯克尔）
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000533号,A003020号,A007138号,A007953号,A008591号,A010888型,A048379号,A066138号,A073668号,A168624号,A276352型.
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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3, 3, 5, 6, 9, 53, 9, 36, 12, 33, 9, 186, 21, 33, 111, 144, 9, 564, 3, 330, 239, 273, 3, 1756, 84, 165, 76, 714, 93, 16167, 21, 5952, 111, 177, 363, 4288, 21, 15, 99, 5724, 45, 48807, 45, 4314, 1140, 183, 9, 14192, 36, 2940, 495, 1338, 45, 11572, 747, 11484
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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mod m的乘法阶gcd（a，m）=1是a ^d=1（mod m）的最小自然数d。
具有周期n的十进制展开式且k互素为10的单位分数1/k的个数-T.D.诺伊2007年5月18日
a（n）是奇的当且仅当n是平方自由的。证明：注意，对于d>=2，10^d-1==3（mod 4），所以10^d-1是一个正方形当且仅当d=1。从公式中我们可以看出，a（n）是奇的当且仅当mu（n）不为零，或者n是平方自由的-宋嘉宁2021年6月15日
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：
a： =n->add（mobius（n/d）*tau（10^d-1），d=除数（n））：
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数学
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f[n_，d_]：=MoebiusMu[n/d]*长度[Divisors[10^d-1]]；a[n_]：=总计[（f[n，#]&）/@除数[n]]；表[a[n]，{n，1，56}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2011年3月21日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）j=[]；对于（n=1,10，j=concat（j，sumdiv（n，d，moebius（n/d）*numdiv（10^d-1）））；j个
（Python）
从sympy导入除数，mobius，divisor_count
定义a（n）：返回除数（n）中d的和（mobius（n//d）*除数计数（10**d-1））#因德拉尼尔·戈什2017年4月23日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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b文件中的a（281）-a（322）雷·钱德勒2017年5月3日
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状态
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经核准的
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3, 6, 8, 12, 12, 64, 12, 48, 20, 48, 12, 256, 24, 48, 128, 192, 12, 640, 6, 384, 256, 288, 6, 2048, 96, 192, 96, 768, 96, 16384, 24, 6144, 128, 192, 384, 5120, 24, 24, 128, 6144, 48, 49152, 48, 4608, 1280, 192, 12, 16384, 48, 3072, 512, 1536, 48, 12288, 768
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（7）＝12，因为9999999的除数是1、3、9、239、717、2151、4649、13947、41841、1111111、3333333、9999999。
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数学
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除数西格玛[0，#]&/@（10^范围[60]-1）(*哈维·P·戴尔2011年1月14日*）
表[DivisorSigma[0，10^n-1]，{n，60}](*T.D.诺伊2011年8月18日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=numdiv（10^n-1）\\米歇尔·马库斯2015年9月8日
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交叉参考
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关键词
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基础,非n
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作者
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扩展
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b文件中的a（281）-a（322）雷·钱德勒2017年4月22日
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状态
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经核准的
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A046107号
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| 素数三角形，其中第n行列出所有素数p，使得1/p具有小数点n，n>=1。 |
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+10
15
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3、11、37、101、41、271、7、13、239、4649、73、137、333667、9091、21649、513239、9901、53、79、265371653、909091、31、2906161、17、5882353、2071723、5363222357、19、52579、1111111111111111111、3541、27961、43、1933、10838689、23、4093
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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18世纪，日本数学家中野幸男（Ajima Naonobu，aka Ajima Chokuyen）通过5882353给出了这些术语（Smith和Mikami，p.199）-乔纳森·桑多，2013年5月25日
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参考文献
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Ajima Naonobu（又名Ajima Chokuyen），Fujin Isshũ（小数点周期）。
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链接
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David Eugene Smith和Yoshio Mikami，日本数学史芝加哥公开法庭，1914年；第十章。
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例子
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第一行不规则三角形为：
三；
11;
37;
101;
41, 271;
7, 13;
239, 4649;
73, 137;
333667;
9091;
21649, 513239;
9901;
53, 79, 265371653;
909091;
31, 2906161;
17, 5882353;
...
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数学
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pp={}；Do[f=转置[FactorInteger[10^n-1]][[1]；p=补体[f，pp]；pp=并集[pp，p]；打印[p]，{n，66}](*T.D.诺伊2005年9月8日*）
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,基础
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作者
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扩展
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b文件中的行n=277..322雷·钱德勒，2017年5月1日
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状态
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经核准的
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2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 5, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 7, 1, 5, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 6, 2, 3, 2, 3, 3, 3
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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参考文献
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链接
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配方奶粉
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数学
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表[Plus@@Transpose[FactorInteger[Cyclotomic[n，10]][2]]，{n，1，100}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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3, 11, 17, 73, 101, 137, 257, 353, 449, 641, 1409, 10753, 15361, 19841, 65537, 69857, 453377, 976193, 1514497, 5767169, 5882353, 6187457, 8253953, 8257537, 70254593, 167772161, 175636481, 302078977, 458924033, 639631361, 1265011073
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1，1
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评论
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附加术语，但不一定是下一个：13462517317633的周期为1048576=2^20；46179488366593的周期为2199023255552=2^41；101702694862849的周期为8388608=2^23；171523813933057具有周期439804651104=2^42；505775348776961的有效期为2199023255552=2^41；834427406578561具有句点64=2^6-雷·钱德勒2011年11月9日
此外（不包括初始项3），这个序列也是素数除以某个非负整数k的10^（2^k）+1的升序。因此，素数p=5587118763375362122579477500916131346430842253464404746631571587847325442162307811\
65223702155223678309562822667655169，系数为10^（2^7）+1，1/p的周期只有2^8。这个大素数也属于序列-克里斯托弗·史密斯2014年3月13日
对于任何m，对于某些k<m，每个不是10^（2^k）-1因子的项都与1（mod 2^m）全等。因此，除3、11、17、73、101、137、353、449、69857、976193、5882353、6187457外的所有术语都与1（mod 128）一致-罗伯特·伊斯雷尔2016年6月17日
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链接
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Arkadiusz Wesolowski，n=1..45时的n，a（n）表（Ray Chandler的前33个术语，Robert G.Wilson v的36个术语，Ray Chantler的39个术语）
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例子
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15361的周期为256=2^8，因此15361在序列中。
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MAPLE公司
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过滤器：=proc（p）局部k；
如果不是isprime（p），则返回false fi；
k： =igcd（p-1，2^ilog2（p））；
evalb（10&^k mod p=1）
结束进程：
r： =选择（`<=`，`union`（seq（numtheory:-系数集（10^（2^k）-1），k=1..6）），10^9）：
b： =选择（过滤器，{seq（i，i=129..10^9，128）}）：
排序（convert（r union b，list））#罗伯特·伊斯雷尔2016年6月17日
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数学
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Do[If[IntegerQ[Log[2，Length[RealDigits[1/Prime[n]][1，1]]]]，打印[Prime[n]]，{n，1，47500}](*罗伯特·威尔逊v2007年5月9日*）
pmax=10^10；p=1；当[p<pmax时，p=NextPrime[p]；如果[InterQ[Log[2]，乘法阶[10，p]]]，打印[p]；]；]；(*雷·钱德勒2007年5月14日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）？a（n）=如果（n<4，n==2，znorder（Mod（10，质数（n）））？对于（n=120000，如果（gcd（a（n），2^1000）==a（n，print1（质数（n）“，”））
（Python）
从itertools导入计数
从sympy导入质数，n阶
定义A072982号_gen（）：如果p！=，则返回（p代表计数（2）中的p（prime（n）代表n）5和bin（n_order（10，p））[2:].rstrip（'0'）=='1'）
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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扩展
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a（20）-a（32）来自雷·钱德勒2007年5月14日
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状态
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经核准的
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A003060号
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| 小数点中周期长度n倒数的最小数字（以10为基数）。
（原名M2886）
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+10
9
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1, 3, 11, 27, 101, 41, 7, 239, 73, 81, 451, 21649, 707, 53, 2629, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 511, 21401, 583, 243, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 1919, 2028119, 909090909090909091
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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对于n>0，a（n）是10^n-1的最小除数d>1，使得10 mod d的乘法阶为n。对于素数n>3，a（n）=A007138号（n） ●●●●-T.D.诺伊2007年8月7日
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参考文献
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J.Brillhart等人，b^n+-1的因式分解。《当代数学》，第22卷，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，第二版，1985年；以及后来的补充。
“往复循环长度”，《大众计算》（加州卡拉巴萨），第1卷（1973年7月第4期），第12-14页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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数学
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a[n_]：=第一个[Select[Divisors[10^n-1]，MultiplicativeOrder[10，#]==n&，1]]；a[0]=1；a[1]=3；表[a[n]，{n，0，38}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2012年7月13日之后T.D.诺伊*)
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黄体脂酮素
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（PARI）适用（{A003060号（n） =！fordiv（10^n-！！n，d，d>1&&znorder（Mod（10，d））==n&return（d））}，[0..50]）\\M.F.哈斯勒2022年6月28日
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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3, 37, 163, 757, 1999, 5477, 8803, 9397, 13627, 15649, 36187, 40879, 62597, 106277, 147853, 161839, 215893, 231643, 281683, 295759, 313471, 333667, 338293, 478243, 490573, 607837, 647357, 743933, 988643, 1014877, 1056241, 1168711, 1353173, 1390757, 1487867, 1519591, 1627523, 1835083, 1912969, 2028119, 2029759, 2064529
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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链接
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配方奶粉
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素数p是一个项，如果ord_p（10）的所有素数因子都是项，其中ord_p是10模p的阶-马克斯·阿列克塞耶夫2005年11月16日
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例子
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10^27-1=3^5*37*757*333667*440334654777631是同余的一个解。
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数学
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fQ[p_]：=块[{fi=First@#&/@FactorInteger[MultiplicativeOrder[10，p]]}，联合[MemberQ[lst，#]&/@fi]=={True}]；k=4；lst={3}；当[k<180000时，如果[p=Prime@k；fQ@p，AppendTo[lst，p]；打印@p]；k++]；第一次试验(*罗伯特·威尔逊v2013年11月30日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）S=集合（[3]）；对于素数（p=7，10^6，v=因子（znorder（Mod（10，p）））[，1]；if（长度（集合相交（S，集合（v）））==长度（v），S=集合并（S，[p]））；打印（vecsort（eval（S））}\\马克斯·阿列克塞耶夫2005年11月16日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 5, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 7, 1, 5, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 4, 6, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 5, 3, 7, 3, 1, 3, 5, 4, 3, 2, 4, 4
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,5
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评论
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链接
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数学
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pp={}；表[f=Transpose[FactorInteger[10^n-1]][[1]；p=补体[f，pp]；pp=并集[pp，p]；长度[p]，｛n，66｝]
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交叉参考
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关键词
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坚硬的,非n
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作者
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扩展
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b文件中的a（277）-a（322）雷·钱德勒，2017年5月1日
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状态
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经核准的
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3, 11, 37, 101, 271, 13, 4649, 137, 333667, 9091, 513239, 9901, 265371653, 909091, 2906161, 5882353, 5363222357, 52579, 1111111111111111111, 27961, 10838689, 8779, 11111111111111111111111, 99990001, 182521213001, 1058313049
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1，1
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链接
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配方奶粉
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例子
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1/271=0.0036900369，p（5）=271的周期n=5。
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数学
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a[n_]：=分圆[n，10]//FactorInteger//最后//第一个；表[a[n]，{n，1，26}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2013年8月5日，巴黎之后*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（p）；如果（n<1，0，p=因子（polcyclo（n，10））[，1]；第[#p]页）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的,基础
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作者
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海纳·穆勒·默巴赫（hmm（AT）sozwi.uni-kl.de），2001年5月29日
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扩展
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b文件中a（322）的术语雷·钱德勒2017年4月28日
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状态
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经核准的
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