显示找到的21个结果中的1-10个。
0, 9, 99, 999, 9999, 99999, 999999, 9999999, 99999999, 999999999, 9999999999, 99999999999, 999999999999, 9999999999999, 99999999999999, 999999999999999, 9999999999999999, 99999999999999999, 999999999999999999, 9999999999999999999, 99999999999999999999, 999999999999999999999, 9999999999999999999999
评论
一位来自德国的朋友评论说,序列9,99,999,9999,99999,999999。。。可能被称为暴躁的德国序列:不!,不!不!,不!不!不。。。
Regan链接显示,形式为10^n-1的整数具有二进制表示形式,后面正好有n个1位。这些整数还有五元表达式,后面正好有n个4。例如,10^4-1=(304444)5。五进制的第一个数字对应于数字2^n-1,在我们的示例(30)5=2^4-1中。在二进制情况下会出现类似的模式。考虑9=(1001)2-华盛顿·邦菲姆2010年12月23日
a(n)是小于n+1位的正整数的数目-步广团2015年3月9日
对于n>=1,sqrt(a(2*n))=[10^n-1;1,2*(10^n-1),1,2x(10^n-1),…]的简单连分式展开式具有周期2。sqrt(a(2*n))/a(n)=[1;10^n-1,2,10^n-1,2…]的简单连分式展开式也有周期2。注意两个展开式中都出现了大的偏商。
连分式测度理论中库兹明的一个定理说,大的偏商是连分式展开式中的例外。
经验性地,我们还发现,在m>=3的数a(m*n)的m次根的连续分式展开的早期,存在出乎意料的大部分商。下面给出了一些典型的例子。(结束)
链接
阿米莉亚·卡罗琳娜·斯巴维尼亚(Amelia Carolina Sparavigna),一些群胚及其整数序列表示《国际科学杂志》(2019)第8卷第10期。
公式
G.f.:1/(1-10*x)-1/(1-x)。
例如:E^(10*x)-E^x(结束)
a(n)=a(n-1)+9*10^(n-1;另外:a(n)=11*a(n-1)-10*a(n-2),a(0)=0,a(1)=9-文森佐·利班迪2010年7月22日
例子
显示大部分商的连续分数展开:
a(12)^(1/3)=[9999;1,299999998,1,449999998;1,7998,1,535714284,1,2,2,142,2,1,599999999,3,1,1,…]。
与a(30)^(1/3)=[9999999999;1,29999999999999999,1,9999999998,1,44999999999998,1、7999999998,1,535714285714285714284,1,2,2,142857142,2,1,5999999999999,3,1,1,…]进行比较。
a(24)^(1/4)=[999999;1,399999999999999998,1,66666 5,1,1,79999999999999,3,476190,7,19047619047619047,21,43289,1,229,1 1864801864801863,1,4,6,…]。
与a(48)^(1/4)=[999999999999;1,399999999999999999999999999.9999999999969999999998,1,666666666 5,1,1,1,1,79999999999199999999999999 999999999-999999999999%9999999999,3,476190476190,7,19047619046190476190。
a(25)^(1/5)=[999999,1,4999999999999999999999998,1,49999999999999999998,1,33332,3,151515151515151515151,5,1,1947,1,38,378787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878787878。
(结束)
数学
表[10^n-1,{n,0,22}](*迈克尔·德弗利格2015年9月27日*)
黄体脂酮素
(岩浆)[(10^n-1):n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年4月26日
(哈斯克尔)
(Python)定义a(n):返回10**n-1#迈克尔·布拉尼基,2023年2月25日
交叉参考
囊性纤维变性。A000533号,A003020号,A007138号,A007953号,A008591号,A010888型,A048379号,A066138号,A073668号,A168624号,A276352型.
a(n)=|{m:10 mod m的乘法阶等于n}|。
+10 24
3, 3, 5, 6, 9, 53, 9, 36, 12, 33, 9, 186, 21, 33, 111, 144, 9, 564, 3, 330, 239, 273, 3, 1756, 84, 165, 76, 714, 93, 16167, 21, 5952, 111, 177, 363, 4288, 21, 15, 99, 5724, 45, 48807, 45, 4314, 1140, 183, 9, 14192, 36, 2940, 495, 1338, 45, 11572, 747, 11484
评论
mod m的乘法阶gcd(a,m)=1是a ^d=1(mod m)的最小自然数d。
具有周期n的十进制展开式且k互素为10的单位分数1/k的个数-T.D.诺伊2007年5月18日
a(n)是奇的当且仅当n是平方自由的。证明:注意,对于d>=2,10^d-1==3(mod 4),所以10^d-1是一个正方形当且仅当d=1。从公式中我们可以看出,a(n)是奇的当且仅当mu(n)不为零,或者n是平方自由的-宋嘉宁2021年6月15日
MAPLE公司
带有(数字理论):
a: =n->add(mobius(n/d)*tau(10^d-1),d=除数(n)):
数学
f[n_,d_]:=MoebiusMu[n/d]*长度[Divisors[10^d-1]];a[n_]:=总计[(f[n,#]&)/@除数[n]];表[a[n],{n,1,56}](*Jean-François Alcover公司2011年3月21日*)
黄体脂酮素
(PARI)j=[];对于(n=1,10,j=concat(j,sumdiv(n,d,moebius(n/d)*numdiv(10^d-1)));j个
(Python)
从sympy导入除数,mobius,divisor_count
def a(n):返回sum(mobius(n//d)*divisor_count(10**d-1),用于除数(n)中的d)#因德拉尼尔·戈什2017年4月23日
扩展
b文件中的a(281)-a(322)雷·钱德勒2017年5月3日
3, 6, 8, 12, 12, 64, 12, 48, 20, 48, 12, 256, 24, 48, 128, 192, 12, 640, 6, 384, 256, 288, 6, 2048, 96, 192, 96, 768, 96, 16384, 24, 6144, 128, 192, 384, 5120, 24, 24, 128, 6144, 48, 49152, 48, 4608, 1280, 192, 12, 16384, 48, 3072, 512, 1536, 48, 12288, 768
例子
a(7)=12,因为9999999的除数是1、3、9、239、717、2151、4649、13947、41841、1111111、3333333、9999999。
数学
除数Sigma[0,#]&/@(10^范围[60]-1)(*哈维·P·戴尔2011年1月14日*)
表[DivisorSigma[0,10^n-1],{n,60}](*T.D.诺伊2011年8月18日*)
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=numdiv(10^n-1)\\米歇尔·马库斯2015年9月8日
扩展
b文件中的a(281)-a(322)雷·钱德勒2017年4月22日
素数三角形,其中第n行列出所有素数p,使得1/p具有小数点n,n>=1。
+10 15
3, 11, 37, 101, 41, 271, 7, 13, 239, 4649, 73, 137, 333667, 9091, 21649, 513239, 9901, 53, 79, 265371653, 909091, 31, 2906161, 17, 5882353, 2071723, 5363222357, 19, 52579, 1111111111111111111, 3541, 27961, 43, 1933, 10838689, 23, 4093
评论
18世纪,日本数学家中野幸男(Ajima Naonobu,aka Ajima Chokuyen)通过5882353给出了这些术语(Smith和Mikami,p.199)-乔纳森·桑多2013年5月25日
参考文献
Ajima Naonobu(又名Ajima Chokuyen),Fujin Isshũ(小数周期)。
链接
David Eugene Smith和Yoshio Mikami,日本数学史芝加哥公开法庭,1914年;第十章。
例子
第一行不规则三角形为:
三;
11;
37;
101;
41, 271;
7, 13;
239, 4649;
73, 137;
333667;
9091;
21649, 513239;
9901;
53, 79, 265371653;
909091;
31, 2906161;
17, 5882353;
...
数学
pp={};Do[f=转置[FactorInteger[10^n-1]][[1];p=补体[f,pp];pp=联合[pp,p];打印[p],{n,66}](*T.D.诺伊2005年9月8日*)
扩展
b文件中的行n=277..322雷·钱德勒2017年5月1日
分圆(n,10)的素数,即A019328号(n) ,在x=10时计算的第n个分圆多项式的值。
+10 13
2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 5, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 7, 1, 5, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 5, 6, 2, 6, 2, 3, 2, 3, 3, 3
数学
表[Plus@@Transpose[FactorInteger[Cyclotomic[n,10]][2]],{n,1,100}]
3, 11, 17, 73, 101, 137, 257, 353, 449, 641, 1409, 10753, 15361, 19841, 65537, 69857, 453377, 976193, 1514497, 5767169, 5882353, 6187457, 8253953, 8257537, 70254593, 167772161, 175636481, 302078977, 458924033, 639631361, 1265011073
评论
其他术语,但不一定是顺序中的下一个:13462517317633具有句点1048576=2^20;46179488366593的周期为2199023255552=2^41;101702694862849的周期为8388608=2^23;171523813933057具有周期439804651104=2^42;505775348776961的有效期为2199023255552=2^41;834427406578561具有句点64=2^6-雷·钱德勒2011年11月9日
此外(不包括初始项3),这个序列也是素数除以某个非负整数k的10^(2^k)+1的升序。因此,素数p=5587118763375362122579477500916131346430842253464404746631571587847325442162307811\
6522370215522367830956222667655169,系数为10^(2^7)+1,1/p的周期仅为2^8。这个大素数也属于序列-克里斯托弗·史密斯2014年3月13日
对于任意m,对于某些k<m,不是10^(2^k)-1因子的每个项都与1(mod 2^m)同余。因此,除3、11、17、73、101、137、353、449、69857、976193、5882353、6187457外的所有术语都与1(mod 128)一致-罗伯特·伊斯雷尔2016年6月17日
链接
Arkadiusz Wesolowski,n=1..45时的n,a(n)表(Ray Chandler的前33个术语,Robert G.Wilson v的36个术语,Ray Chantler的39个术语)
例子
15361的周期为256=2^8,因此15361在序列中。
MAPLE公司
filter:=proc(p)本地k;
如果不是isprime(p),则返回false fi;
k: =igcd(p-1,2^ilog2(p));
evalb(10&^k mod p=1)
结束进程:
r: =选择(`<=`,`union`(seq(numtheory:-系数集(10^(2^k)-1),k=1..6)),10^9):
b: =选择(过滤器,{seq(i,i=129..10^9,128)}):
排序(convert(r union b,list))#罗伯特·伊斯雷尔2016年6月17日
数学
Do[If[IntegerQ[Log[2,Length[RealDigits[1/Prime[n]][1,1]]]],打印[Prime[n]],{n,1,47500}](*罗伯特·威尔逊v2007年5月9日*)
pmax=10^10;p=1;而[p<pmax,p=NextPrime[p];如果[IntegerQ[Log[2,MultiplicativeOrder[10,p]],打印[p];];(*雷·钱德勒2007年5月14日*)
黄体脂酮素
(PARI)?a(n)=如果(n<4,n==2,znorder(Mod(10,质数(n)))?对于(n=120000,如果(gcd(a(n),2^1000)==a(n,print1(质数(n)“,”))
(Python)
从itertools导入计数
从sympy导入质数,n阶
定义A072982号_gen():如果p!=5和bin(n_order(10,p))[2:].rstrip('0')=='1')
扩展
a(20)-a(32)来自雷·钱德勒2007年5月14日
3, 37, 163, 757, 1999, 5477, 8803, 9397, 13627, 15649, 36187, 40879, 62597, 106277, 147853, 161839, 215893, 231643, 281683, 295759, 313471, 333667, 338293, 478243, 490573, 607837, 647357, 743933, 988643, 1014877, 1056241, 1168711, 1353173, 1390757, 1487867, 1519591, 1627523, 1835083, 1912969, 2028119, 2029759, 2064529
公式
素数p是一个项,如果ord_p(10)的所有素数因子都是项,其中ord_p是10模p的阶-马克斯·阿列克塞耶夫2005年11月16日
例子
10^27-1=3^5*37*757*333667*440334654777631是同余的一个解。
数学
fQ[p_]:=块[{fi=First@#&/@FactorInteger[MultiplicativeOrder[10,p]]},联合[MemberQ[lst,#]&/@fi]=={True}];k=4;lst={3};当[k<180000时,如果[p=Prime@k;fQ@p,AppendTo[lst,p];打印@p];k++];第一次(*罗伯特·威尔逊v2013年11月30日*)
黄体脂酮素
(PARI)S=集合([3]);对于素数(p=7,10^6,v=因子(znorder(Mod(10,p)))[,1];if(长度(集合相交(S,集合(v)))==长度(v),S=集合并(S,[p]));打印(vecsort(eval(S)))\\马克斯·阿列克塞耶夫2005年11月16日
小数点中周期长度n倒数的最小数字(以10为基数)。 (原名M2886)
+10 9
1, 3, 11, 27, 101, 41, 7, 239, 73, 81, 451, 21649, 707, 53, 2629, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 511, 21401, 583, 243, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 1919, 2028119, 909090909090909091
评论
对于n>0,a(n)是10^n-1的最小除数d>1,因此10模d的乘法阶是n。对于素数n>3,a(n)=A007138号(n) ●●●●-T.D.诺伊2007年8月7日
参考文献
J.Brillhart等人,b^n+-1的因式分解。《当代数学》,第22卷,美国。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,第二版,1985年;以及后来的补充。
“往复循环长度”,《大众计算》(加州卡拉巴萨),第1卷(1973年7月第4期),第12-14页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
黄体脂酮素
(PARI)适用({A003060号(n) =!fordiv(10^n-!!n,d,d>1&&znorder(Mod(10,d))==n&&return(d))},[0..50])\\M.F.哈斯勒2022年6月28日
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 5, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 1, 2, 4, 3, 4, 3, 2, 4, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 7, 1, 5, 4, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 4, 4, 6, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 5, 3, 7, 3, 1, 3, 5, 4, 3, 2, 4, 4
数学
pp={};表[f=Transpose[FactorInteger[10^n-1]][[1];p=补体[f,pp];pp=联合[pp,p];长度[p],{n,66}]
扩展
b文件中的a(277)-a(322)雷·钱德勒2017年5月1日
3, 11, 37, 101, 271, 13, 4649, 137, 333667, 9091, 513239, 9901, 265371653, 909091, 2906161, 5882353, 5363222357, 52579, 1111111111111111111, 27961, 10838689, 8779, 11111111111111111111111, 99990001, 182521213001, 1058313049
例子
1/271=0.0036900369,p(5)=271的周期n=5。
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=我的(p);如果(n<1,0,p=因子(polcyclo(n,10))[,1];第[#p]页)
作者
海纳·穆勒·默巴赫(hmm(AT)sozwi.uni-kl.de),2001年5月29日
扩展
b文件中a(322)的术语雷·钱德勒2017年4月28日
搜索在0.012秒内完成
|