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（来自的问候整数序列在线百科全书！）
A004018号 方格的Theta级数（或将n写成2个方格之和的方法数）。通常用r（n）或r_2（n）表示。
（原名M3218） 		123
1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4, 4, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 12, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 0, 8, 0, 4, 8, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 12, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 8, 0, 0, 4, 16, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 4, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 8, 0, 0, 16, 0, 0, 0, 8, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 4, 0, 12, 8 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,2
评论
半径为sqrt（n）的圆上正方形格子中的点数。等价地，范数为n的高斯整数的数量（参见Conway Sloane，第106页）。
设b（n）=A004403号（n） ，则求和{k=1..n}a（k）*b（n-k）=1-约翰·莱曼
D_2晶格的Theta级数。
Martin（1996）表一中列出的74个eta商中的第6个。
Ramanujanθ函数：f（q）（参见A121373号)，φ（q）(A000122号)，磅/平方英寸（q）(A010054号)，chi（q）(A000700型).
这个序列中的零对应于除数为4k+1和4k+3的整数，或者等价于那些除数为4 k+3且具有奇数指数的素数因子的整数(A022544号). -蚂蚁王2013年3月12日
如果A（q）=1+4*q+4*q^2+4*q*4+8*q^5+。。。表示这个序列的o.g.f.，那么函数f（q）：=1/4*（A（q^2）-A（q^4））=（和{n>=0}q^（2*n+1）^2）^2是o.g.f，用于计算正整数n可以写成两个正奇数平方和的方式-彼得·巴拉2013年12月13日
由于（2/Pi）*K=theta_3（0，q）^2，椭圆函数的实四分之一周期K作为雅可比项q的级数，（2/Pi）*K的展开系数。例如，见Whittaker-Watson，第486页-沃尔夫迪特·朗2016年7月15日
和{k=0..n}a（n）=A057655号（n） ●●●●。罗伯特·威尔逊v2016年12月22日
极限{n->oo}（a（n）/n-Pi*log（n））=A062089号：Sierpinski常数-罗伯特·威尔逊v2016年12月22日
a（n）的平均值为Pi，参见A057655号了解更多详细信息-M.F.哈斯勒2017年3月20日
参考文献
L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第162页，#16（7），r（n）。
J.H.Conway和N.J.A.Sloane，“球面封装、格和群”，Springer Verlag，第106页。
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哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第240页，r（n）。
W.König和J.Sprekels，Karl Weierstraß（1815-1897），施普林格演讲会，威斯巴登，2016年，第186-187页和第280-281页。
C.D.Olds、A.Lax和G.P.Davidoff，《数字的几何》，数学。美国协会。，2000年，第51页。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
E.T.Whittaker和G.N.Watson，《现代分析课程》，第四版，再版，1958年，剑桥大学出版社。
链接
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G.E.Andrews、R.Lewis和Z.-G.Liu，关于θ级数和Lambert级数之和的恒等式，公牛。伦敦数学。《社会》，33（2001），25-31。
H.H.Chan和C.Kratethaler，整数表示为平方和的研究进展，arXiv:math/00407061[math.NT]，2004年。
S.Cooper和M.Hirschorn，数论结果的组合证明，整数4（2004），#A09。
迈克尔·吉兰德，一些自相似整数序列
J.W.L.Glaisher，关于数字表示为2、4、6、8、10和12平方和的问题，夸脱。数学杂志。38 (1907), 1-62. （此序列称为rho，请参见第6页）
M.D.Hirschorn，雅可比二次方定理及相关恒等式
M.D.Hirschorn，雅可比二次方定理的算法结果
M.D.Hirschorn，一个数以各种形式表示的数目《离散数学》298（2005），205-211。
Jacobi-Legendre字母，Legendre et Jacobi通信数学中心J.Reine Angew著。数学。80（1875）205-279，1828年9月9日的信，第240-243页，第242页2K/Pi公式。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点的Hilbert格式的zeta函数，arXiv:1505.07229v3[math.AG]，2015年。[请注意，本文的较新版本具有不同的标题和内容，论文的理论部分已移至本列表下一个出版物。]
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）和克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer），二维环面上n点Hilbert格式zeta函数的完全确定，arXiv:1610.07793[math.NT]，2016年。
克里斯蒂安·卡塞尔（Christian Kassel）、克里斯托夫·鲁特诺（Christophe Reutenauer）、，eta（z）eta（2z）eta-（3z）/eta（6z）的傅里叶展开，arXiv:1603.06357[math.NT]，2016年。
M.Kontsevich和D.Zagier，周期《高等教育科学研究所2001年IHES/M/01/22》。出版于B.Engquist和W.Schmid，编辑，《数学无限-2001及以后》，2卷。，Springer-Verlag，2001年，第771-808页，第2.3节。示例3。
Y.Martin，乘法eta商，事务处理。阿默尔。数学。Soc.348（1996），编号12，4825-4856，见第4852页表一。
G.Nebe和N.J.A.Sloane，此晶格的主页
F.Richman，盘中高斯整数的计数
格兰特·桑德森，Pi隐藏在素数规律中，3Blue1Brown视频（2017）。
N.J.A.Sloane等人。，二元二次型与OEIS（相关序列、程序、参考文献的索引）
迈克尔·索莫斯，伊夫·马丁74个乘法eta商及其A数列表索引
迈克尔·索莫斯，Ramanujan theta函数简介
G.维尔曼，2份卡里斯酸奶
埃里克·魏斯坦的数学世界，Barnes-Wall格子
埃里克·魏斯坦的数学世界，莫比乌斯变换
埃里克·魏斯坦的数学世界，Ramanujan Theta函数
埃里克·魏斯坦的数学世界，平方和函数
埃里克·魏斯坦的数学世界，Theta系列
Zach Wissner-Gross又名The Riddler，Riddler Express：你能爬上胜利之路吗？2021年9月24日，第538页。
G.肖，两个正方形
与平方和相关的序列索引项
Glaisher提到的序列的索引项
“核心”序列的索引项
公式
θ_3（q）^2=（和{n=-oo..+oo}q^（n^2））^2=Product_{m>=1}（1-q^。
系数n为n=p1^a1*p2^a2*…*q1^b1*q2^b2*…*2^c，其中p是素数==1（mod 4），q是素数==3（mod 4）。如果任何b是奇数，则a（n）=0，否则a（n）=4*（1+a1）*（1+2）*。。。
G.f.=s（2）^10/（s（1）^4*s（4）^4），其中s（k）：=subs（q=q^k，eta（q））和eta（q）是Dedekind的函数，参见。A010815号.[罚款]
a（n）=4*A002654号（n） ，n>0。
eta（q^2）^10/（eta（q）*eta（q^4））^4的q次幂展开-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
（phi（q）^2+phi（-q）^2）/2的q^2次幂展开式，其中phi（）是Ramanujanθ函数。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=（u-v）^2-（v-w）*4*w-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
周期4序列的欧拉变换[4，-6，4，-2，…]-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
莫比乌斯变换是周期4序列[4，0，-4，0，…]-迈克尔·索莫斯2007年9月17日
G.f.是周期1傅里叶级数，满足f（-1/（4t））=2（t/i）f（t），其中q=exp（2Pi it）。
常数sqrt（Pi）/Gamma（3/4）^2在以base-exp（Pi）展开时产生序列的前324项，需要450位常数-西蒙·普劳夫2011年3月3日
a（n）=A004531号（4*n）。a（n）=2*A105673号（n） ，如果n>0。
设s=16*q*（E1*E4^2/E2^3）^8，其中Ek=Product_{n>=1}（1-q^（k*n））（s=k^2，其中k是椭圆k），则g.f.是超几何（[+1/2，+1/2]，[+1]，s）（2/Pi*椭圆k（k）的q次幂展开）-乔格·阿恩特2011年8月15日
Dirichlet g.f.Sum_{n>=1}a（n）/n^s=4*zeta（s）*L_（-4）（s），其中L是（移位）的D.g.fA056594号[Raman.J.7（2003）95-127]-R.J.马塔尔2012年7月2日
a（n）=楼层（1/（n+1））+4*楼层（cos（Pi*sqrt（n））^2）-4*楼层（cos（Pi*sqrt（n/2））^2）+8*Sum_{i=1.floor（n/2）}楼层（cos（Pi*sqrt（i））^2）*楼层（cos（Pi*sqrt（n-i））^2）-韦斯利·伊万·赫特2013年1月9日
发件人沃尔夫迪特·朗2016年8月1日：（开始）
雅可比恒等式：theta_3（0，q）^2=1+4*Sum_{r>=0}（-1）^r*q^（2*r+1）/（1-q^。参见，例如，格罗斯瓦尔德参考文献（第15页，第116页，但第32页，引理2和证明，在总和中输入了r>=1，而不是r>=0，也在证明中）。请参阅Jacobi-Legendre信件的链接。
Weierstraß使用的恒等式（参见König-Prekels书，第187页，等式（5.12）和第281页，以及参考文献，但第186页（5.11）中的F（x）应该以nu=1而不是0开头）：theta_3（0，q）^2=1+4*Sum_{n>=1}q^n/（1+q^（2*n））。证明：类似于前面的雅可比恒等式。（结束）
a（n）=（4/n）*和{k=1..n}A186690型（k） *a（n-k），a（0）=1-Seiichi Manyama先生2017年5月27日
G.f.：Theta_3（q）^2=超几何（[1/2，1/2]，[1]，lambda（q））A115977号（j） *q^j.参见Kontsevich和Zagier链接，带有Theta->Theta_3、z->2*z和q->q^2-沃尔夫迪特·朗2018年5月27日
例子
G.f.=1+4*q+4*q^ 2+4*q^ 4+8*q^5+4*q ^ 8+4*q ^ 9+8*q ^ 10+8*q^ 13+4*-约翰·坎农2006年12月30日
MAPLE公司
（总和（x^（m^2），m=-10..10））^2；
#备选方案：
A004018列表：=proc（len）系列（JacobiTheta3（0，x）^2，x，len+1）；
seq（系数（%，x，j），j=0.len-1）结束：
t1:=A004018列表（102）；
r2:=n->t1[n+1]#彼得·卢什尼2018年10月2日
数学
平方R[2，范围[0，110]](*哈维·P·戴尔2011年10月10日*）
a[n_]：=平方R[2，n]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=级数系数[EllipticTheta[3，0，q]^2，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2011年11月15日*）
a[n_]：=具有[{m=反椭圆NomeQ@q}，级数系数[EllipticK[m]/（Pi/2），{q，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*）
a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，4和[KroneckerSymbol[-4，d]，{d，除数@n}]]; （*或*）a[n_]：=级数系数[QPochhammer[q^2]^10/；(*迈克尔·索莫斯2015年5月17日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=polcoeff（1+4*和（k=1，n，x^k/（1+x^（2*k）），x*O（x^n）），n）}/*迈克尔·索莫斯2003年3月14日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，4*总和（n，d，（d%4==1）-（d%4==3））}/*迈克尔·索莫斯2004年7月19日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，2*qfrep（[1,0；0,1]，n）[n]）}/*迈克尔·索莫斯，2005年5月13日*/
（PARI）a（n）=如果（n==0，返回（1））；my（f=因子（n））；4*prod（i=1，#f~，如果（f[i，1]%4==1，f[i，2]+1，如果（f[i，2]%2&&f[i，1]>2，0，1））\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年9月2日
（岩浆）基础（模块形式（Gamma1（4），1），100）[1]/*迈克尔·索莫斯2014年6月10日*/
（鼠尾草）
Q=对角线二次型（ZZ，[1]*2）
Q.representation_number_list（102）#彼得·卢什尼2014年6月20日
（朱莉娅）#JacobiTheta3定义于A000122号.
A004018列表（len）=JacobiTheta3（len，2）
A004018列表（102）|>打印#彼得·卢什尼，2018年3月12日
（Python）
来自sympy导入因子
定义a（n）：
如果n==0：返回1
安=4
对于因子（n）.items（）中的pi，ei：
如果pi%4==1:an*=ei+1
elif pi%4==3和ei%2：返回0
返回
打印（[a（n）代表范围（102）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年9月24日
（Python）
来自数学导入产品
来自sympy导入因子
定义A004018号（n） ：return prod（1 if p==2 else（e+1 if p&3==1 else（e+1）&1）for p，e in factorint（n）.items（））<<2#柴华武2022年7月7日
交叉参考
第d=2行，共2行A122141号和，共A319574型，第2列，共列A286815型.
部分总和-1给出A014198号.
A071385号提供记录；A071383号给出记录发生的位置。
参见。A001481号,A004020号,A005883号,A057655号（部分金额），A057961号,A057962号,A002654号,
A104271号,A105673号.
上下文中的序列：A279365型 A164613号 A104794号*A253185型 A028658号 A241535型
相邻序列：A004015号 A004016号 A004017号*A004019号 A004020号 A004021号
关键词
非n,容易的,美好的,核心
作者
N.J.A.斯隆
状态
已批准

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上次修改时间：美国东部夏令时2024年5月23日07:08。包含372760个序列。（在oeis4上运行。）