搜索: a122857-编号:a122857
|
|
|
|
1, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 0, 0, 2, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 3, 2, 2, 0, 2, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
偏移
|
1,5
|
|
参考文献
|
布鲁斯·伯恩特(Bruce C.Berndt),《拉马努扬的笔记本第四部分》(Ramanujan’s Notebooks Part IV),施普林格-弗拉格出版社,1994年,见第197页,条目44。
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
-1+(θ_3(q)^2+θ_3(q^3)^2)/2的q次幂展开-迈克尔·索莫斯,2013年7月9日
Moebius变换是周期12序列[1,0,0,0,1,0,-1,0,0,0,-1,0,…]。
与a(2^e)=a(3^e)=1相乘,如果p==1(mod 4),a(p^e)=e+1;如果p==3(mod4),则a(p*e)=(1+(-1)^e)/2。(结束)
Dirichlet g.f.:zeta(s)*L(chi,s),其中chi(n)=克罗内克(-36,n)。和{n>0}a(n)/n^s=Product_{p素数}1/((1-p^-s)*(1-Kronecker(-36,p)*p^/s))-迈克尔·索莫斯2011年6月24日
通用公式:和{n>=0}(-1)^n*(x^(6*n+1)/(1-x^-保罗·D·汉纳2011年12月14日
通用格式:x/(1-x)+x^5/(1-x^5)-x^7/。。。
|
|
例子
|
G.f.=x+x ^2+x ^3+x ^4+2*x ^5+x ^6+x ^8+x ^9+2*x ^10+x ^12+2*x^13+。。。
|
|
数学
|
a[n_]:=如果[n<1,0,和[KroneckerSymbol[-36,d],{d,除数[n]}];(*迈克尔·索莫斯2011年6月24日*)
a[n_]:=级数系数[(-2+椭圆Theta[3,0,q]^2+椭圆Theta[3,0,q^3]^2)/4,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2013年7月9日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,sumdiv(n,d,kronecker(-36,d)))}/*迈克尔·索莫斯2006年7月30日*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,direuler(p=2,n,1/((1-X)*(1-kronecker(-36,p)*X))[n])}/*迈克尔·索莫斯2006年7月30日*/
(PARI){a(n)=polcoeff(和(m=0,n\6+1,(-1)^m*(x^(6*m+1)/(1-x^/*保罗·D·汉纳*/
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,多重
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A125061号
|
| psi(q)*psi(q^2)*chi(q^3)*chi(-q^6)的q次幂展开式,其中psi(),chi()是Ramanujanθ函数。 |
|
+10 9
|
|
|
1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 2, 0, 6, 1, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 3, 2, 3, 0, 2, 6, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 2, 0, 6, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 1, 3, 6, 2, 2, 3, 0, 0, 0, 2, 0, 6, 2, 0, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 9, 0, 0, 6, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 6, 0, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
偏移
|
0,4
|
|
评论
|
|
|
参考文献
|
Nathan J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第82页,等式(32.53)。
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
eta(q^2)*eta(q ^4)^2*eta。
(θ_3(q)^2+3*theta_3(q^3)^2)/4的q次幂展开。
周期12序列的欧拉变换[1,0,2,-2,1,-2,-1,-2,2,0,1,-2,…]。
莫比乌斯变换是周期12序列[1,0,2,0,1,0,-1,0,-2,0,-1,0,…]。
a(n)与a(2^e)=1相乘,a(3^e)=2-(-1)^e相乘,如果p==1(mod 4),a(p^e)=e+1,如果p==3(mod 4),a(p^e)==(1-(-1)^e)/2相乘。
通用公式:1+Sum_{k>0}(x^k+x^(3*k))/(1-x^。
G.f.是周期1傅里叶级数,满足f(-1/(12 t))=3(t/i)G(t),其中q=exp(2 Pi it),G()是G.fA122857号.
|
|
例子
|
G.f.=1+q+q^2+3*q^3+q^4+2*q^5+3*qq^6+q^8+q^9+2*q ^10+3*q ^12+。。。
|
|
数学
|
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,sumdiv(n,d,(d%2)*(d%3==0)+1)*(-1)^(d\6))};
(PARI){a(n)=my(a,p,e);如果(n<1,n==0,a=因子(n);prod(k=1,matsize(a)[1],
[p,e]=A[k,];如果(p==2,1,p==3,1+e%2*2,p%4==1,e+1,!(e%2))};
(PARI){a(n)=我的(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);polceoff(eta(x^2+a)*eta(x^4+a)^2*eta;
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n,容易的,多重
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A281451型
|
| x(x,x)*f(x,x^17)的x次幂展开式,其中f(,)是Ramanujan的一般θ函数。 |
|
+10 6
|
|
|
1, 3, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 3, 2, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 2, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 1, 4, 0, 0, 4, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 4, 4, 0, 2, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
偏移
|
1,2
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
f(x,x^m)=1+Sum_{k>=1}x^((m+1)*k*(k-1)/2)(x^k+x^(m*k))-N.J.A.斯隆,2017年1月30日
周期36序列的欧拉变换。
通用公式:x*(Z}x^k^2中的和{k)*(Z{k}x^(9*k^2+8*k)中的和_k)。
通用格式:x*产品{k>0}(1+x^(2*k-1))^2*(1-x^。
a(4*n)=a(8*n+7)=a。
|
|
例子
|
G.f.=x+3*x^2+2*x^3+2*x^5+2*x^6+2*x^10+2*x^11+2*x^17+。。。
G.f.=q^16+3*q^25+2*q^34+2*q^52+2*q^61+2*q^97+2*q^106+。。。
|
|
数学
|
a[n_]:=如果[n<0,0,DivisorSum[9 n+7,KroneckerSymbol[-4,#]&]];
a[n_]:=如果[n<0,0,Times@@(其中[#<3,1,Mod[#,4]==1,#2+1,True,(1+(-1)^#2)/2]&@@@FactorInteger[9 n+7])];
a[n_]:=级数系数[x椭圆Theta[3,0,x]Q赭石[-x,x^18]Q赭石[-x^17,x^18]Q赭石[x^18],{x,0,n}];
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,sumdiv(9*n+7,d,(d%4==1)-(d%4==3))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,my(a,p,e);a=因子(9*n+7);prod(k=1,matsize(a)[1],[p,e]=a[k,];如果(p==2,1,p%4==1,e+1,1-e%2))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,my(m=9*n+7,k,s);对于步骤(j=0,平方(m),3,if(issquare(m-j^2,&k)&&(k%9==4||k%9==5),s+=(j>0)+1);s)};
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A132003型
|
| (phi(q^3)/phi(q))*phi(-q^2)*pi(-q ^6)的q次幂展开式,其中phi()是Ramanujan theta函数。 |
|
+10 4
|
|
|
1,-2,2,-2,2,-4,2,0,2,-2,4,0,2,-4,0,-4,2,0,4,0,0,2,-6,4,-2,0,-4,4,0,2,0,4,0,2,0,4,0,2,-4,0,-4,0,0,-4,0,0,-4,0,2,-2,6,-4,4,-4,2,0,0,4,0,4,-4,0,2,8,0,0,4,0,0,2,-4,4,-6,0,0,4,0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
偏移
|
0,2
|
|
评论
|
|
|
参考文献
|
N.J.Fine,《基本超几何级数与应用》,美国。数学。Soc.,1988年;第85页,方程式(32.72)。
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
eta(q)^2*eta(q^4)*eta。
a(n)=-2*b(n),其中b()与b(2^e)=2*0^e-1相乘,b(3^e)=1,b(p^e)=e+1,如果p==1(mod 4),b(p ^e)=(1+(-1)^e)/2,如果p=3(mod4)。
周期12序列[-2,1,0,0,-2,-4,-2,0,1,-2,-2,…]的欧拉变换。
通用公式:1-2*Sum_{k>0}Kronecker(-36,k)*x^k/(1+x^k)。
a(12*n+7)=a(12*n+11)=0。a(4*n+1)=-2*A008441号(n) ●●●●。
a(n)=(-1)^n*A122857号(n) ●●●●。(φ(-q)^2+φ(-q^3)^2)/2的q次幂展开式,其中phi()是Ramanujanθ函数-迈克尔·索莫斯2023年3月5日
|
|
例子
|
G.f.=1-2*x+2*x^2-2*x ^3+2*x*^4-4*x ^5+2*x^6+2*x ^8-2*x ^9+4*x ^10+。。。
|
|
数学
|
a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],-2除数和[n,(-1)^(n+#)KroneckerSymbol[-36,#]&]];(*迈克尔·索莫斯2015年11月1日*)
a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],-2倍@@(其中[#<5,-(-1)^#,Mod[#,4]==3,1-Mod[#2,2],True,#2+1]@@@FactorInteger@n)];(*迈克尔·索莫斯2015年11月1日*)
a[n_]:=系列系数[EllipticTheta[3,0,q^3]椭圆Theta[4,0,q^2]椭圆Theta[4,0、q^6]/椭圆Theta[3],{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2015年11月1日*)
a[n_]:=级数系数[(椭圆Theta[4,0,q]^2+椭圆Theta[4,0、q^3]^2)/2,{q,0,n}];(*迈克尔·索莫斯2023年3月5日*)
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,-2*sumdiv(n,d,(-1)^(n+d)*kronecker(-36,d))};
(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=x*O(x^n);极系数(eta(x+a)^2*eta(x^4+a)*eta(x^6+a)^7/(eta(x^2+a)^3*eta(x^3+a)^2*eta(x^12+a)^3),n)};
(PARI){a(n)=my(a,p,e);如果(n<1,n==0,a=因子(n);-2*prod(k=1,矩阵大小(a)[1],[p,e]=a[k,];如果(p==3,1,p==2,-1,p%4==1,e+1,1-e%2))};
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
签名
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A281452型
|
| f(x,x)*f(x^5,x^13)的x次幂展开式,其中f(,)是Ramanujan的一般θ函数。 |
|
+10 三
|
|
|
1, 2, 0, 0, 2, 1, 2, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 1, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 4, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 5, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
偏移
|
0,2
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
f(a,b)=1+和{k=1..oo}(ab)^(k(k-1)/2)*(a^k+b^k)-N.J.A.斯隆2017年1月30日
周期36序列的欧拉变换。
G.f.:(Sum_{k in Z}x^k^2)*(Sum_{k in Z}x^(9*k^2+4*k))。
G.f.:产品{k>0}(1+x^(2*k-1))^2*(1-x^。
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+2*x^4+x^5+2*x^6+4*x^9+x^13+4*x^14+2*x*^16+。。。
G.f.=q^4+2*q^13+2*q ^40+q ^49+2*q ^58+4*q ^85+q ^121+4*q^130+。。。
|
|
数学
|
a[n_]:=如果[n<0,0,除数和[9n+4,克罗内克符号[-4,#]&]];
a[n_]:=系列系数[EllipticTheta[3,0,x]QPochhammer[-x^5,x^18]QPochhammer[-x^13,x^18]QPochhammer[x^18],{x,0,n}];
a[n_]:=如果[n<0,0,Times@@(其中[#<3,1,Mod[#,4]==1,#2+1,True,(1+(-1)^#2)/2]&@@@FactorInteger[9 n+4])];
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,sumdiv(9*n+4,d,(d%4==1)-(d%4==3))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,my(m=9*n+4,k,s);对于步骤(j=0,平方(m),3,if(issquare(m-j^2,&k)&&(k%9==2||k%9==7),s+=(j>0)+1);s)};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,my(a,p,e);a=因子(9*n+4);prod(k=1,matsize(a)[1],[p,e]=a[k,];如果(p==2,1,p%4==1,e+1,1-e%2))};
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
|
|
A281453型
|
| f(x,x)*f(x^7,x^11)的x次幂展开式,其中f(,)是Ramanujan的一般θ函数。 |
|
+10 三
|
|
|
1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 1, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 3, 4, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
偏移
|
0,2
|
|
链接
|
|
|
配方奶粉
|
f(a,b)=1+和{k=1..oo}(ab)^(k(k-1)/2)*(a^k+b^k)-N.J.A.斯隆,2017年1月30日
周期36序列的欧拉变换。
G.f.:(Z}x^k^2中的和{k)*(Z}x^中的和_{k(9*k^2+2*k))。
G.f.:产品{k>0}(1+x^(2*k-1))^2*(1-x^。
a(4*n+2)=a(8*n+5)=一(16*n+3)=(32*n+31)=一个(64*n+55)=a(128*n+39)=0。
|
|
例子
|
G.f.=1+2*x+2*x^4+x^7+2*x|8+2*x*9+3*x^11+2*x*12+。。。
G.f.=q+2*q ^ 10+2*q^ 37+q ^ 64+2*q ^ 73+2*q^ 82+3*q^100+。。。
|
|
数学
|
a[n_]:=如果[n<0,0,DivisorSum[9 n+1,KroneckerSymbol[-4,#]&]];
a[n_]:=级数系数[EllipticTheta[3,0,x]QPochhammer[-x^7,x^18]QPoch hammer[-x^11,x^18]QPochamer[x^18]{x,0,n}];
a[n_]:=如果[n<0,0,Times@@(其中[#<3,1,#==3,Mod[#2,2]2+1,Mod[#,4]==1,#2+1,True,(1+(-1)^#2)/2]&@@@FactorInteger[9 n+1])];
|
|
黄体脂酮素
|
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,sumdiv(9*n+1,d,kronecker(-4,d)))};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,my(m=9*n+1,k,s);对于步骤(j=0,平方(m),3,if(issquare(m-j^2,&k)&&(k%9==1||k%9==8),s+=(j>0)+1);s)};
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,my(a,p,e);a=因子(9*n+1);prod(k=1,matsize(a)[1],[p,e]=a[k,];如果(p==2,1,p==3,-2*(-1)^e,p%4==1,e+1,1-e%2))};
|
|
交叉参考
|
|
|
关键词
|
非n
|
|
作者
|
|
|
状态
|
已批准
|
|
|
搜索在0.009秒内完成
|