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（来自的问候整数序列在线百科全书！）
搜索： a122215-编号：a122215
显示找到的5个结果中的1-5个。 第页1
    排序：关联|参考文献|数|被改进的|创建     格式：长的|短的|数据
A001113号 e的十进制展开式。
（原名M1727 N0684） 		+10
643
2, 7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, 9, 0, 4, 5, 2, 3, 5, 3, 6, 0, 2, 8, 7, 4, 7, 1, 3, 5, 2, 6, 6, 2, 4, 9, 7, 7, 5, 7, 2, 4, 7, 0, 9, 3, 6, 9, 9, 9, 5, 9, 5, 7, 4, 9, 6, 6, 9, 6, 7, 6, 2, 7, 7, 2, 4, 0, 7, 6, 6, 3, 0, 3, 5, 3, 5, 4, 7, 5, 9, 4, 5, 7, 1, 3, 8, 2, 1, 7, 8, 5, 2, 5, 1, 6, 6, 4, 2, 7, 4, 2, 7, 4, 6 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
评论
e有时被称为欧拉数或纳皮尔常数。
此外，sinh（1）+cosh（1）的十进制展开式-穆罕默德·阿扎里安，2006年8月15日
如果m和n是n>1的任何整数，则|e-m/n|>1/（S（n）+1）！，其中S（n）=A002034号（n） 是n除以S（n）！的最小值-乔纳森·桑多2006年9月4日
极限{n->infinity}A000166号（n） *电子-A000142号（n） =0-基里卡米（Seiichi Kirikami）2011年10月12日
欧拉常数（也称为欧拉-马尔切罗尼常数）为伽马=0.57721……，欧拉数为e=2.71828-穆罕默德·阿扎里安，2011年12月29日
e的许多连续分式表达式之一是2+2/（2+3/（3+4/（4+5/（5+6/（6+……来源于Ramanujan（1887-1920））-罗伯特·威尔逊v2012年7月16日
在x>0的范围内，e使任何实正常数c的x^（c/x）的值最大化，并使负常数的值最小。这解释了为什么A000792号主要由3个因子组成，必要时还包括2个因子。这是最接近e的两个素数-理查德·福伯格2014年10月19日
当c，x>0和c！=时，有两个实解x到c^x=x^ce、 其中一个是x=c，当c=e时只有一个实解，其中解是x=e-理查德·福伯格2014年10月22日
这是从区间（0，1）到其和超过1之间独立一致随机选择的实数的期望值（Bush，1961）-阿米拉姆·埃尔达尔2020年7月21日
参考文献
S.R.Finch，《数学常数》，剑桥，2003年，第1.3节。
E.Maor，E:《数字的故事》，普林斯顿大学出版社，1994年。
Clifford A.Pickover，《对数学的热爱》，威利出版社，2005年；见第52页。
G.W.Reitwiesner，ENIAC对pi和e的测定，精确到2000多个小数位。数学。表格和其他计算辅助工具4，（1950年）。11-15.
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
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穆罕默德·阿扎里安，基于差分方程的欧拉数，《国际当代数学科学杂志》，2012年第7卷，第22期，第1095-1102页。
L.E.布什，威廉·洛厄尔·普特南数学竞赛《美国数学月刊》，第68卷，第1期（1961年），第18-33页，第3期。
Ed Copeland和Brady Haran，e是无理的证明，数字视频（2021）。
戴夫的数学表，e（电子）
X.Gourdon，普劳夫逆变器，e到12.50亿位数
X.Gourdon和P.Sebah，常数e及其计算
ICON项目，e至50000个名额
罗杰·曼西，不感兴趣的人。。。数学竞赛《数学图像》，CNRS，2023年。法语。
R.Nemiroff和J.Bonnell，数字e的前500万位数
雷姆科·尼梅耶，E的数字，编程实践
J.J.O'Connor和E.F.Robertson，数字e
迈克尔·佩恩，e是无理的，YouTube视频，2020年。
西蒙·普劳夫，一百万位数
G.W.Reitwesner，ENIAC测定pi和e到2000多个小数位，Pi，《来源》一书，第277-2812000页。
E.Sandifer，Euler是如何做到的，谁证明了e是非理性的？，MAA在线（2006）
D.柄和J.W.小扳手。，e到100000位小数的计算，数学。公司。，23 (1969), 679-680.
Jean-Louis Sigrist，首席执行官
J.Sondow，e是无理的几何证明及其非理性的新度量阿默尔。数学。月刊，113（2006），637-641（文章）和114（2007），659（增编）。
J.Sondow和K.Schalm，e的泰勒级数的哪些部分和收敛于e？（和素数2，5，13，37，463的链接），II《实验数学中的宝石》（T.Amdeberhan，L.A.Medina和V.H.Moll编辑），《当代数学》，第517卷，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2010年。
G.维尔曼的《数字年鉴》，常数“e”
埃里克·魏斯坦的数学世界，e（电子）
埃里克·魏斯坦的数学世界，e位数
埃里克·魏斯坦的数学世界，阶乘和
埃里克·魏斯坦的数学世界，均匀和分布
埃里克·魏斯坦的数学世界，e近似值
维基百科，E（数学常数）
“核心”序列的索引条目
超越数的索引项
配方奶粉
e=和{k>=0}1/k！=lim{x->0}（1+x）^（1/x）。
e是方程Integral_{u=1..x}du/u=1的唯一正根。
exp（1）=（（16/31）*（1+Sum_{n>=1}（（1/2）^n*（1/2）*n^3+（1/2）*n+1）/n！））^2罗伯特·伊斯雷尔证实了上述公式的正确性，即：“实际上，求和{n=0..oo}n^j*t^n/n！=P_j（t）*exp（t），其中P_0（t-亚历山大·波沃洛茨基2009年1月4日
exp（1）=（1+Sum_{n>=1}（（1+n+n^3）/n！）/7. -亚历山大·波沃洛茨基2011年9月14日
e=1+（2+（3+（4+…）/4）/3）/2=2+（1+（1+…）/4）/3）/2-罗克·塞斯特尼克2017年1月19日
发件人彼得·巴拉2019年11月13日：（开始）
级数表示e=Sum_{k>=0}1/k！是更一般的结果e=n的情形n=0*Sum_｛k>=0｝1/（k！*R（n，k）*R（n，k+1）），n=0,2,3,4，。。。，其中R（n，x）是的第n行多项式A269953型.
e=2+Sum_{n>=0}（-1）^n*（n+2）/（d（n+2）*d（n+3）），其中d（n）=A000166号（n） ●●●●。
e=Sum_{n>=0}（x^2+（n+2）*x+n）/（n！（n+x）*（n+1+x）），前提是x不是零或负整数。（结束）
等于lim_｛n->oo｝（2*3*5*…*素数（n））^（1/素数（n））-彼得·卢什尼2020年5月21日
e=3-和{n>=0}1/（（n+1）^2*（n+2）^2*n！）-彼得·巴拉2022年1月13日
e=lim{n->oo}素数（n）*（1-1/n）^素数-托马斯·奥多夫斯基2023年1月31日
e=1+（1/1）*（1+（1/2）*（1+（1/3）*（1%（1/4）*（1'（1/5）*（++（1/6）*（…）））），相当于第一个公式-大卫·乌尔吉尼斯2023年12月1日
发件人米查尔·保罗维奇，2023年12月12日：（开始）
等于lim_{n->oo}（1+1/n）^n。
等于x^（x^…）（无限功率塔），其中x=e^（1/e）=A073229号.（结束）
例子
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663...
MAPLE公司
数字：=200:it：=evalf（（exp（1））/10，200）：对于i从1到200执行printf（`%d，`，floor（10*it））：it：=10*it-floor（10*1it）：od：#詹姆斯·塞勒斯2001年2月13日
数学
真数字[E，10，120][[1](*哈维·P·戴尔2011年11月14日*）
黄体脂酮素
（PARI）默认值（realprecision，50080）；x=exp（1）；对于（n=150000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b001113.txt”，n，“”，d））\\哈里·史密斯2009年4月15日
（Haskell）——见Niemeijer链接。
a001113 n=a001113_列表！！（n-1）
a001113_list=电子流（1，0，1）
[（n，a*d，d）|（n，d，a）<-map（\k->（1，k，1））[1..]]其中
电子流z xs'@（x:xs）
|lb/=约z 2=eStream（mult z x）xs
|否则=lb:eStream（mult（10，-10*lb，1）z）xs'
其中lb=约z 1
近似（a，b，c）n=div（a*n+b）c
多重（a，b，c）（d，e，f）=（a*d，a*e+b*f，c*f）
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年6月12日
交叉参考
参见。A002034号,A003417号（连分数），A073229号,A122214号,A122215号,A122216号,2017年12月17日,A122416号,A122417号.
基数b中e的膨胀：A004593号（b=2），A004594号（b=3），A004595号（b=4），A004596号（b＝5），A004597号（b=6），A004598号（b=7），A004599美元（b=8），A004600型（b=9），该序列（b=10），A170873号（b=16）-杰森·金伯利2012年12月5日
功率e^k：A092578号（k=-7），A092577美元（k=-6），A092560号（k=-5），A092553号-A092555号（k=-2至-4），A068985号（k=-1），A072334号（k=2），A091933号（k=3），A092426号（k=4），A092511号-092513加元（k=5至7）。
关键词
非n,缺点,美好的,核心
作者
N.J.A.斯隆
状态
已批准
A122214号 Pi/2、e和e^gamma的无穷乘积中的分子（约化）。 +10
7
1, 2, 4, 32, 4096, 67108864, 4503599627370496, 2535301200456458802993406410752, 4084620902943761579745625423246687265522976897405582347410338578593480704 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
链接
Seiichi Manyama，n=1..12时的n，a（n）表
穆罕默德·阿扎里安，基于差分方程的欧拉数《国际当代数学科学杂志》，2012年第7卷，第22期，第1095-1102页。
J.Baez，本周的数学物理发现
J.Guillera和Jonathan Sondow，通过Lerch超越的解析延拓得到一些经典常数的二重积分和无穷积，arXiv:math/0506319[math.NT]，2005-2006；Ramanujan J.16（2008）247-270。
乔纳森·桑多，Pi的更快乘积和ln Pi/2的新积分，arXiv:math/0401406[math.NT]，2004年。
乔纳森·桑多，Pi的更快乘积和ln Pi/2的新积分阿默尔。数学。月刊112（2005）729-734。
配方奶粉
a（n）=分子（乘积{k=1..n}k^（（-1）^k*二项式（n-1，k-1）））。
对于n>=2，a（n）=分子（exp（-2*Integral_{x=0..1}x^（2*n-1）/log（1-x^2）dx））（参见下面的数学代码）-约翰·M·坎贝尔2011年7月18日
对于n>=2，a（n）=分子（exp（（1/n）*Integral_{x=0..oo}（1-exp（-1/x））^ndx））-费德里科·普罗夫维迪2023年6月29日
例子
Pi/2=（2/1）^（1/2）*（4/3）^。。。，
e=（2/1）、（1/1）、（4/3）、（1/2）、（32/27）、（1/3）、（4096/3645）、（1/4）。。。和
e^伽马=（2/1）^（1/2）*（4/3）、（1/3）*（32/27）、（1/4）*（4096/3645）、（1/5）*。。。。
数学
表[Exp[-2*积分[x^（2n-1）/Log[1-x^2]，{x，0，1}]]，{n，2，8}]
分子@Exp@联接[｛0｝，积分[（1-Exp[-（#*x）^-1]）^#，｛x，0，无穷大｝]和/@范围[2，10]](*费德里科·普罗夫维迪2023年6月29日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=分子（prod（k=1，n，k^（（-1）^k*二项式（n-1，k-1）））}\\Seiichi Manyama先生2019年3月10日
交叉参考
参见。A092798号。分母为A122215号。未缩减的分子为A122216号.
关键词
压裂,非n
作者
乔纳森·桑多2006年8月26日
状态
已批准
A122217号 Pi/2、e和e^γ（未约化）无穷乘积中的分母。 +10
6
1, 1, 3, 27, 3645, 184528125, 3065257232666015625, 25071642180724968784488737583160400390625, 802200753381108669054307548505058630413812174354826201039259103708900511264801025390625 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
链接
n，a（n）的表（n=0..8）。
穆罕默德·阿扎里安，基于差分方程的欧拉数《国际当代数学科学杂志》，第7卷，2012年，第22期，第1095-1102页。
J.Baez，本周的数学物理发现
J.Guillera和J.Sondow，通过Lerch超越的解析延拓得到一些经典常数的二重积分和无穷积《拉马努扬期刊》第16卷（2008年）第247-270页；arXiv:math/0506319[math.NT]，2005-2006年。
J.Sondow，Pi的更快乘积和ln（Pi/2）的新积分，arXiv:math/0401406[math.NT]，2004年。
J.Sondow，Pi的更快乘积和ln（Pi/2）的新积分阿默尔。数学。月刊112（2005），729-734和113（2006），670。
配方奶粉
a（n）=产品{k=1..floor（n/2）+1}（2k-1）^二项式（n，2k-2）。
例子
Pi/2=（2/1）^（1/2）*（4/3）^*
(4096/3645)^(1/16) * ...,
e=（2/1）、（1/1）、（4/3）、（1/2）、（32/27）、（1/3）、（4096/3645）、（1/4）。。。和
e^伽马=（2/1）^（1/2）*（4/3）^*
...
数学
表[乘积[（2k-1）^二项式[n，2k-2]，｛k，1+楼层[n/2]｝]，｛n，0，8｝](*T.D.诺伊2006年11月16日*）
交叉参考
参见。A092799号。分子是A122216号减少分母为A122215号.
关键词
压裂,非n
作者
乔纳森·桑多2006年8月26日
扩展
更正人T.D.诺伊2006年11月16日
状态
已批准
A092799号 部分积的分母，近似于Pi/2。 +10
三
1, 3, 243, 215233605, 2849452841966467687734375, 34139907905802495953388390516678108673704867996275424957275390625 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,2
链接
n=1..6时的n，a（n）表。
J.Guillera和J.Sondow，通过Lerch超越的解析延拓得到一些经典常数的二重积分和无穷积《拉马努扬期刊》第16卷（2008年）第247-270页；arXiv:math/0506319[math.NT]，2005-2006年。
J.Sondow，Pi的更快乘积和ln（Pi/2）的新积分，arXiv:math/0401406[math.NT]，2004年。
J.Sondow，Pi的更快乘积和ln（Pi/2）的新积分阿默尔。数学。月刊112（2005），729-734和113（2006），670。
配方奶粉
a（n）=产品{k=1..n+1}A122215号（k） ^2^（n-k+1）-乔纳森·桑多2006年9月13日
a（n）=分母（乘积{k=1..n+1}(A122216号（k）/A122217号（k） ）^2^（n-k+1））-乔纳森·桑多2006年9月13日
例子
第一近似值为2^（1/2），（16/3），（1/4），（8192/243），（1/8），（274877906944/215233605），（1/16）。
黄体脂酮素
（PARI）对于（m=1，7，p=1；对于（n=1，m，p=p*p*（prod（k=1，ceil（n/2），（2*k）^二项式（n，2*k-1））/（prod（k=1，floor（n/2）+1，（2*k-1）^二项式（n，2*k-2））））；打印1（分母（p），“，”）
交叉参考
分子位于A092798号.
参见。A000246号,A001900型,A001901号,A001902号.
参见。A122215号,A122217号.
关键词
非n,容易的,压裂
作者
拉尔夫·斯蒂芬2004年3月5日
状态
已批准
A193548号 exp的十进制展开式（Pi^2/12）。 +10
2
2, 2, 7, 6, 1, 0, 8, 1, 5, 1, 6, 2, 5, 7, 3, 4, 0, 9, 4, 7, 9, 1, 0, 6, 1, 4, 1, 2, 0, 3, 1, 4, 9, 7, 4, 4, 6, 6, 9, 7, 9, 7, 4, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 2, 3, 7, 7, 5, 6, 1, 5, 5, 1, 6, 1, 7, 0, 9, 8, 2, 7, 5, 0, 6, 3, 7, 2, 8, 6, 3, 0, 1, 4, 3, 1, 8, 6, 6, 8, 4, 6, 5, 7 (列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
抵消
1,1
链接
n=1..89时的n，a（n）表。
配方奶粉
exp（Pi^2/12）=乘积_｛n>=1｝乘积_｛k=1..n+1｝k^（1/（n+1））*H（n）*（-1）^k*二项式（n，k-1），其中H（n）是n次谐波数。
exp（Pi^2/12）=lim_{n->infinity}乘积{k=1..n}（1+k/n）^（1/k）-彼得·巴拉2015年2月14日
数学
乘积[乘积[k^（（1/（n+1）））*（-1）^（k）*二项式[n，k-1]*调和数[n]），{k，1，n+1}]，{n，1，无限}]
真数字[E^（Pi^2/12），10，100]
黄体脂酮素
（PARI）出口（Pi^2/12）\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年7月30日
交叉参考
参见。A001113号,A022493号,A122214号,A122215号,A122216号,A122217号,A138265号,A207651型,A242153号,A242154号,A242155个,A242156号,A242157号,A242158号,A242159号,A242160型,A242161型,A242162型,A242163号,A242164型.
关键词
缺点,非n,容易的
作者
约翰·M·坎贝尔2011年7月30日
状态
已批准
第页1

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