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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A002034号 Kempner数:n除m的最小正整数m!。
(原M0453 N0167)
127
1、2、2、3、3、4、5、3、7、4、6、5、11、4、13、7、5、5、6、17、6、6、17、6、19、19、5、7、11、23、4、10、10、13、9、7、29、5、31、31、8、11、11、17、7、6、17、7、6、11、17、7、6、6、23、47、6、14、14、10、17、17、13、13、13、13、53、53、9、11、7、19、19、29、59、59、59、61、31、31、7、8、13、11、67、17、23、7、7、17、23、7、7、71、7、73、37、37、10、10、10 19、11、13、79、6、9、41、83、7 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

有时以佛罗伦萨人的名字命名,虽然奥布里·肯普纳早在60年前研究过,卢卡斯在35年前就研究过了。

肯普纳最初将a(1)定义为0,并且有充分的理由倾向于这样(参见Hungerbühler和Specker),但是我们现在将使用传统的值a(1)=1-N。J。A。斯隆2021年1月2日

Kempner给出了一个由n的素数分解计算a(n)的算法。偏解在1883年卢卡斯和1887年由纽伯格给出-乔纳森·桑多2004年12月23日

a(n)是Z上的最低次一元多项式的次数,它在n[Newman]整数上相同地消失。

最小的k,使n除以从n+1开始的k个连续整数的乘积-阿玛纳特·穆尔蒂2002年10月26日

如果m和n是n>1的整数,那么| e-m/n |>1/(a(n)+1)(见Sondow 2006)。

贝尔数满足的最小线性递归度(A000110号)读模n[Lunnon等人。]-N。J。A。斯隆2009年2月7日

参考文献

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唐纳德J。纽曼,一个问题研讨会。问题17,Springer Verlag,1982年。

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N。J。A。斯隆和西蒙·普劳夫,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

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链接

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康斯坦丁·杜米特雷斯库和瓦西里·塞拉库,Smarandache函数,Erhus大学出版社,维尔,137页,1996年【WaybackMachine缓存版本由费利克斯·弗利希2018年9月10日]。

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奥布里J。肯普纳,杂记《美国数学月刊》,第25卷第5期(1918年5月),第201-210页(见第二节,关于最小整数m!可被给定整数整除n。)

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李秀梅和闵莎,关于Smarandache函数的Sondow猜想的一个证明数学预印本,2019年arXiv年第70期,第14期。数学。月刊,127:10(2020年),939-943。

W。F。Lunnon等人。,复合模I的Bell数的算术性质《算术学报》,第35卷(1979年),第1-16页N。J。A。斯隆2009年2月7日]

乔恩·佩里,计算Smarandache数,Smarandache概念期刊,第14卷,第1期(2004年),第124-127页。

Euler项目,问题549:阶乘的可除性.

塞巴斯蒂安·马丁鲁伊斯,与Smarandache函数的一个同余,Smarandache概念期刊,第10卷,第1-3期(1999年),第130-132页。

József Sándor先生,Smarandache最小和最大函数,Scientia Magna,第1卷,第2期(2005年),第162-166页。164

乔纳森·桑多,e是无理的几何证明及其非理性的新测度,艾默尔。数学。月刊,第113卷(2006年),第637-641页和第114卷(2007年),p。659

乔纳森·桑多和凯尔·沙尔姆,泰勒级数的哪些部分和收敛于e(以及质数2,5,13,37,463)的链接实验数学中的宝石(T。阿姆德伯翰,L。A。麦地那和V。H。Moll,eds.),当代数学,第517卷,Amer。数学。加州,普罗维登斯,RI,2010年。

乔纳森·桑多和埃里克·W。韦斯坦,数学世界:Smarandache函数.

J。汤普森,smarandache函数的一个适当性(sic),摘要878-11-758,注意到艾默尔。数学。Soc.,第14卷(1993年),p。41.[注释扫描件]

维基百科,凯普纳函数.

与阶乘数相关的序列的索引项.

公式

A000142号(a(n))=A092495号(n) 一-莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月24日

乔尔阿恩特2012年7月14日:(开始)

肯普纳(1918)给出了以下身份:

a(1)=1。

a(n!)=n。

a(p)=p素数的p。

a(p1*p2*…*pu)=如果p1<p2<…<pu是不同的素数。

a(p^k)=p*k表示p素数,k<=p。

设n=p1^e1*p2^e2*…*pu^eu是n的正则因式分解,那么a(n)=max(a(p1^e1),a(p2^e2),…,a(pu^eu))。

(结束)

显然a(n)>=P(n),n的最大素数因子(=A006530). a(n)=P(n)几乎适用于所有n(Erdős和Kastanas 1994,Ivic 2004)。例外情况是A057109号. a(n)=P(n)当且仅当a(n)是素数,因为如果a(n)>P(n)和a(n)是素数,那么既然n除以a(n)!,n也可以除(a(n)-1)!,与a(n)的最小值相矛盾-乔纳森·桑多2005年1月10日

如果k<=0.p。因此,如果n=2^m*p(1)^e(1)*…*p(r)^e(r),如果存在b,1<=b<=r,那么Max(2*m+2,p(i)*e(i),1<=i<=r)=p(b)*e(b),其中e(b)<=p(b),则a(n)=e(b)*p(b)。E、 g.:a(2145986896455317997802121296896)=a(2^10*3^3*7^9*11^9*13^8)=13*8=104,因为8*13=Max(2*10+2,3*3,7*9,11*9,13*8),8<=13-贝诺伊特·克罗伊特2002年9月1日

似乎a(2^m-1)是2^m-1的最大素因子(A005420号).

a(n!)=n表示所有n>0和a(p)=p,如果p是素数-乔纳森·桑多2004年12月23日

猜想:a(n)=1+n-和{k=1..n}和{m=1..n}cos(-2*Pi*k/n*m!)/n。第一项500项的公式验证-马茨格兰维克2021年2月26日

Lim{n->oo}(1/n)*Sum{k=2..n}log(a(k))/log(k)=A084945号(芬奇,1999年)-阿米拉姆埃尔达2021年7月4日

例子

1!=但是很明显8不能除以1。

2!=2,但8不能除以2。

3!=但8不能除以6。

4!=24,8除以24,因此a(8)=4。

然而,9不能除以24。

5!=但是9不能除以120。

6!=720,9除以720,因此a(9)=6。

枫木

a: =proc(n)局部b:b:=proc(m)如果类型(m/n、 整数)则m else fi end:[seq(b(m),m=1..100)][1]:结束:seq(a(n),n=1..84)#德国金刚砂2005年8月1日

g: =过程(p,u)

本地i,t;

t:=0;

因为我从1开始,而t<u做

t:=t+1+padic[ordp](i,p);

外径;

p*(i-1)

结束;

A002034号:=x->max(地图(g@op公司,因子(x)[2])#罗伯特·以色列2014年4月20日

数学

Do[m=1;当[!整数/n] ,m++];打印[m],{n,85}](*或更大的n's*)

凯普纳[1]:=1;凯普纳[n\]:=Max[Kempner@@@factoringer[n]];凯普纳[p_1]:=p;Kempner[p,alpha_9]:=Kempner[p,alpha]=模块[{a,k,r,i,nu,k0=alpha(p-1)},i=nu=楼层[Log[p,1+k0]];[1];a[n_x]:=(p^n-1)/(p-1);k[nu]=商[alpha,a[nu]];r[nu]=α-k[nu]a[nu];当[r[i]>0时,k[i-1]=商[r[i],a[i-1];r[i-1]=r[i]-k[i-1]a[i-1];我--];k0+加@@k/@范围[i,nu]];表[Kempner[n],{n,85}](*埃里克W。韦斯坦,根据凯普纳公式,2004年5月17日*)

{![[100]范围,展平[Table[Position[facts,?(可除[#,n]&),{1},1],{n,90}]]](*哈维P。山谷2013年5月24日*)

黄体脂酮素

(PARI)a(n)=如果(n<0,0,s=1;同时%n> 0,s++);s)

(PARI)a(n)=my(s=系数(n)[,1],k=s[#s],f=Mod(k!)!,n) );式中(f,f*=k++);k\\查尔斯R格雷特豪斯四世2012年2月28日

(PARI)valp(n,p)=我的(s);式中(n\=p,s+=n);s

K(p,e)=如果(e<=p,返回(e*p));my(t=e*(p-1)\p*p);而(valp(t+=p,p)<e,);t

a(n)=my(f=系数(n),m=1);对于(i=1,#f~,m=max(K(f[i,1],f[i,2]),m));米\\查尔斯R格雷特豪斯四世2013年7月30日

(哈斯克尔)

导入数据列表(elemIndex)

导入数据。也许(从just)

a002034 1=1

a002034 n=fromJust(a092495 n`elemIndex`a000142 U列表)

--莱因哈德·祖姆凯勒2011年8月24日

(蟒蛇)

来自sympy import factorial

定义a(n):

m=1

如果是真的:

如果阶乘(m)%n==0:返回m

否则:m+=1

[a(n)表示范围(1101)内的n]#印度教2017年4月24日

交叉引用

囊性纤维变性。A000142号,A001113,A006530,A007672号,A046022型,A057109号,A064759号,A084945号,A094371号,A094372号,A094404号,A122378号,A122379号,A122416型,A122417号,邮编:A248937(费米-狄拉克模拟:使用n>1的唯一表示作为A050376号).

看到了吗A339594飞机-A339596飞机对于更高维的推广。

上下文顺序:A276035型 A077004号 A064760号*邮编:A248937 A088491号 A140271号

相邻序列:A002031号 A002032号 A002033号*A002035 A002036号 A002037号

关键字

,美好的,容易的

作者

N。J。A。斯隆

扩展

第45学期错误更正人大卫W。威尔逊1997年5月15日

状态

经核准的

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