搜索： a094572-编号：a094572
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1, 0, 2, -1, 2, 0, 2, -2, 3, 0, 2, -2, 2, 0, 4, -3, 2, 0, 2, -2, 4, 0, 2, -4, 3, 0, 4, -2, 2, 0, 2, -4, 4, 0, 4, -3, 2, 0, 4, -4, 2, 0, 2, -2, 6, 0, 2, -6, 3, 0, 4, -2, 2, 0, 4, -4, 4, 0, 2, -4, 2, 0, 6, -5, 4, 0, 2, -2, 4, 0, 2, -6, 2, 0, 6, -2, 4, 0, 2, -6, 5, 0, 2, -4, 4, 0, 4, -4, 2, 0, 4, -2, 4
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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作为A001227号（n） 是将n写成三边形数之差的次数，a（n）描述了将n写为{0,1,4,8}中e的e边形数的差的次数。如果pe（n）：=（1/2）*n*（（e-2）*n+（4-e Z X Z的k）；pe（-1）（m+k）-pe（m-1）=n}|对于e=8。（e=-1相同，参见A035218号.）-Volker Schmitt（clamsi（AT）gmx.net），2004年11月9日
加雷思·麦考恩（Gareth McCaughan）的一个论点表明，这个序列的平均值是log（2）-汉斯·哈弗曼2013年2月10日[由图表支持-瓦茨拉夫·科特索维奇，2023年3月1日]
a（n）取所有可能的整数值，包括正、负和零。证明：对于所有非负整数k，a（3^k）=1+k，b（2^k）=1-k。
a（n）取除1和-1以外的所有可能整数值无限次。证明：对于所有正整数k和奇素数o，a（o^（k-1））=k和a（4*o^。当n=2（mod 4）时，a（n）=0。当n=1时，a（n）=1。当n=4时，a（n）=-1。
a（n）只对n=o^（p-1）取素数p，其中o是任何奇数素数。
术语有一个简单的模式，以4为周期重复：正、零、正、负。
（结束）
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参考文献
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Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第162页，#16，（6），第一个公式。
S.Ramanujan，塔塔基础研究所笔记本，孟买，1957年，第1卷，见第97、7（ii）页。
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链接
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P.A.MacMahon，分划理论中的数字除数及其延续，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，19（1921），75-113；科尔。论文二，第303-341页。
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配方奶粉
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和{n>=1}x^n/（1+x^n）=和{n>=1}（-1）^（n-1）*x ^n/。将总和1/（1+x^n）展开为1/x的幂。
如果n=2^p1*3^p2*5^p3*7^p4*11^p5*。。。，a（n）=（1-p1）*产品{i>=2}（1+p_i）。
如果p>2，则与a（2^e）=1-e和a（p^e）=1+e相乘-弗拉德塔·乔沃维奇2002年1月27日
莫比乌斯变换是周期2序列[1，-1，…]-迈克尔·索莫斯2006年7月22日
通用公式：和{k>0}-（-1）^k*x^（k^2）*（1+x^-迈克尔·索莫斯2006年7月22日
对数g.f.：log（Product_{n>=1}（1+x^n）^（1/n））=Sum_{n>=1}a（n）*x^n/n。
（产品{n>=0}（1-x^（2*n+1））^（1/（2*1）））^2=Product{n>=1}（（1-x*n）/（1+x^n））^（1/n）。（结束）
Dirichlet g.f.：zeta（s）*eta（s）=zeta（s^2*（1-2^（-s+1））-拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日
G.f.：和{n>=0}x^n*和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（n+1）-x^k）^（n-k）=和{n>=0}a（n）*x^。
G.f.：求和{n>=0}x^n*求和{k=0..n}二项式（n，k）*（x^（n+1）+x^k）^（n-k）*。（结束）
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例子
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a（20）=-2，因为20=2^2*5^1和（1-2）*（1+1）=-2。
G.f.=x+2*x ^3-x ^4+2*x ^5+2*x ^7-2*x ^8+3*x ^9+2*x ^11-2*x ^12+。。。
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MAPLE公司
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加法（x^n/（1+x^n），n=1..60）：级数（%，x，59）；
局部a；
a:=1；
对于ifactors（n）[2]do中的pfac
如果pfac[1]=2，则
a:=a*（1-pfac[2]）；
其他的
a:=a*（pfac[2]+1）；
结束条件：；
结束do：
a；
结束进程：#Schmitt，符号已更正R.J.马塔尔2016年6月18日
#备选Maple计划：
a： =n->-加（（-1）^d，d=numtheory[除数]（n））：
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数学
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Rest[系数列表[级数[和[x^k/（1-（-x）^k），{k，111}]，{x，0，110}]，x]](*罗伯特·威尔逊v2005年9月20日*）
dif[n_]：=模[{divs=Divisors[n]}，计数[divs，_？OddQ]-Count[divs，_？EvenQ]]；数组[dif，100](*哈维·P·戴尔2011年8月21日*）
f[p_，e_]：=如果[p==2，1-e，1+e]；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；a[1]=1；数组[a，100](*阿米拉姆·埃尔达尔2022年6月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，-sumdiv（n，d，（-1）^d））}/*迈克尔·索莫斯2006年7月22日*/
（PARI）
N=17；默认值（系列精度，N）；x=z+O（z ^（N+1））
c=总和（j=1，N，j*x^j）；\\木箱
s=-log（prod（j=1，N，（1+x^j）^（1/j））；
s=卷积（s，c）
（PARI）a（n）=我的（o=估价（n，2），f=系数（n>>o）[，2]）；（1-o）*产品（i=1，#f，f[i]+1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年2月10日
（PARI）a（n）=方向（p=1，n，如果（p==2，（1-2*X）/（1-X）^2，1/（1-X，^2））[n]/*拉尔夫·斯蒂芬2015年3月27日*/
（PARI）{a（n）=my（d=n->if（frac（n），0，numdiv（n）））；如果（n<1，0，if（n%4，1，-1）*（d（n）-2*d（n/2）+2*d（n/4）））}/*迈克尔·索莫斯2017年8月11日*/
（哈斯克尔）
a048272 n=a001227 n-a183063 n--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月21日
（岩浆）[&+[（-1）^（d+1）：d in Divisor（n）]：n in[1..95]]//马吕斯·A·伯蒂2019年8月10日
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交叉参考
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关键词
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容易的,签名,美好的,多重
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作者
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经核准的
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A112329号
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| 如果n是奇数，则为n的除数；如果n可以被4整除，则为n/4的除数，否则为0。 |
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+10
12
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1, 0, 2, 1, 2, 0, 2, 2, 3, 0, 2, 2, 2, 0, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 4, 3, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 4, 4, 0, 4, 3, 2, 0, 4, 4, 2, 0, 2, 2, 6, 0, 2, 6, 3, 0, 4, 2, 2, 0, 4, 4, 4, 0, 2, 4, 2, 0, 6, 5, 4, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 6, 2, 0, 6, 2, 4, 0, 2, 6, 5, 0, 2, 4, 4, 0, 4, 4, 2, 0, 4, 2, 4, 0, 4, 8, 2, 0, 6, 3, 2, 0, 2, 4, 8
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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第一次出现k:2，1，3，9，15，64，45，256，96，144，192，4096，240？？？？，768, 576, 480, ????, 720, ..., . 请参见A246063型. -罗伯特·威尔逊v2013年10月31日
a（n）是NxZ中满足u^2-v^2=n的对数（u，v）。参见Kühleitner-米歇尔·马库斯2017年7月30日
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参考文献
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G.H.Hardy，Ramanujan：关于其生活和工作所建议主题的十二场讲座，AMS Chelsea Publishing，罗德岛普罗维登斯，2002年，第142页。
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链接
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John Shareshian和Sheila Sundaram，Ramanujan和和矩形幂和，arXiv:2305.12007[math.CO]，2023。提到这个序列。
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配方奶粉
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如果e>0，则与a（2^e）=e-1相乘，如果p>2，则a（p^e）=1+e。
通用公式：和{k>0}x^k/（1-（-x）^k）=和{k>0}-（-x。
莫比乌斯变换是周期4序列[1，-1，1，1，…]。
通用公式：和{k>=1}×^（k^2）*（1+x^（2*k））/（1-x ^（2×k））-乔格·阿恩特2010年11月8日
a（n）=d（n）-2*d（n/2）+2*d（n/4），其中，如果n不是整数，d（n）=0。请参阅Kühleitner。
a（n）=Sum_{d|n}[（dmod2）=（n/dmod2）]，其中[]是艾弗森括号-韦斯利·伊万·赫特2022年3月21日
Dirichlet g.f.：zeta（s）^2*（1+2^（1-2*s）-2^（1-s））。
Sum_｛k=1..n｝a（k）~n*log（n）/2+（2*gamma-1）*n/2，其中gamma是欧拉常数(A001620号). （结束）
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例子
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x+2*x^3+x^4+2*x^5+2*x^7+2*x^8+3*x^9+2*x^11+2*x^12+。。。
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MAPLE公司
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f： =进程（n）如果n：：奇数，则numtheory：-tau（n）elif n mod 4=0，则num theory：-tau（n/4），否则0为结束进程；
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数学
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Rest[系数列表[级数[和[x^k/（1-（-x）^k），{k，111}]，{x，0，110}]，x]](*罗伯特·威尔逊v2005年9月20日*）
表[If[OddQ[n]，DivisorSigma[0，n]，If[OddQ[n/2]，0，Divisor Sigma[0，n/4]]，{n，100}](*雷·钱德勒2014年8月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，（-1）^n*sumdiv（n，d，（-1）^d））}
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，if（n%2，numdiv（n），if/*迈克尔·索莫斯2006年9月2日*/
（PARI）d（n）=如果（分母（n）==1，numdiv（n），0）；
a（n）=numdiv（n）-2*d（n/2）+2*d（n/4）\\米歇尔·马库斯2017年7月30日
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关键词
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非n,多重
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作者
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经核准的
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0, 1, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 33, 35, 37, 39, 40, 41, 43, 45, 47, 48, 49, 51, 53, 55, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 65, 67, 69, 71, 72, 73, 75, 77, 79, 80, 81, 83, 85, 87, 88, 89
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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也可以用x^2-y^2原始表示非负整数-雷·钱德勒2014年8月23日
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配方奶粉
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G.f.：x ^2*（x ^2+1）*（1+x）^2/（（x ^4+x ^3+x ^2+x+1）*（x-1）^2）-R.J.马塔尔2011年10月7日
对于n>6，a（n）=a（n-1）+a（n-5）-a（n-6）。
a（n）=（40*n-40-2*（n模5）-2*（n+1）模5）-2-*（n+2）模5。（结束）
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非n,容易的
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经核准的
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2, 1, 3, 9, 15, 64, 45, 256, 96, 144, 192, 4096, 240, 16384, 768, 576, 480, 262144, 720, 1048576, 960, 2304, 12288, 16777216, 1440, 5184, 49152, 3600, 3840, 1073741824, 2880, 4294967296, 3360, 36864, 786432, 20736, 5040, 274877906944, 3145728, 147456, 6720
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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素数p>=5时，a（p）=2^（p+1）。
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数学
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g[lst_，p_]：=模块[{t，i，j}，并集[Flatten[表[t=lst[i]]；t[[j]]=p*t[[j]]；排序[t]，{i，长度[lst]}，{j，长度[ld[i]]}]，1]，表[Sort[Append[lst[i]]，p]]，{i，长度[lt]}]]；f[n_]：=模[{i，j，p，e，lst={{}}}，{p，e}=转置[FactorInteger[n]]；做[lst=g[lst，p[[i]]]，{i，长度[p]}，{j，e[[i]]}]；lst]；
nmax=100；
a1={2,1,3}；
做[
最小值=无穷大；
fn=f[n]；
做[
exps=反向[fnitem]-1；
奇数=偶数=1；
cnt＝0；
做[
cnt++；
奇数*=（素数[cnt+1]^exp）；
偶数*=（素数[cnt]^exp）；
，{exp，exps}]；
最小值=最小值[最小值，奇数，4偶数]；
，{fnitem，fn}]；
附加到[a1，最小值]；
，{n，3，nmax}]；
a1级
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黄体脂酮素
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（PARI）d（n）=如果（分母（n）==1，numdiv（n），0）；
f（n）=numdiv（n）-2*d（n/2）+2*d（n/4）；
a（n）={my（k=1）；while（f（k）！=n，k++）；k；}\\米歇尔·马库斯2017年7月30日
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非n
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作者
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经核准的
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