搜索: a025238-编号:a025239
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A002212号
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| 具有n个单元的受限六边形多边形的数量。 (原M2850 N1145)
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1, 1, 3, 10, 36, 137, 543, 2219, 9285, 39587, 171369, 751236, 3328218, 14878455, 67030785, 304036170, 1387247580, 6363044315, 29323149825, 135700543190, 630375241380, 2938391049395, 13739779184085, 64430797069375, 302934667061301, 1427763630578197
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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从(0,0)到(2n,0)的Schroeder路径数(即,由步长U=(1,1)、D=(1,-1)、H=(2,0)和从不低于x轴组成),奇数级无峰值。例如:a(2)=3,因为我们有UUDD、UHD和HH-Emeric Deutsch公司2003年12月6日
长度为n-1的3-Motzkin路径数(即从(0,0)到(n-1,0)的晶格路径,其不低于直线y=0,由步骤U=(1,1)、D=(1,-1)和三种类型的步骤H=(1,0)组成)。例如:a(4)=36,因为我们有27条HHH路径、3条HUD路径、3个UHD路径和3条UDH路径-Emeric Deutsch公司2004年1月22日
边由带权和n的严格正整数(多棵树)加权的有根平面树的数量-罗兰·巴赫2005年2月28日
半长n的斜交Dyck路径数。斜交Dick路径是第一象限中的一条路径,它从原点开始,在x轴上结束,由步骤U=(1,1)(向上)、D=(1,-1)(向下)和L=(-1,-1)。路径的长度定义为其步数-Emeric Deutsch公司2007年5月10日
等价地,在第一象限中,从原点开始,弱地停留在对角线上方,结束于对角线,并由步骤r=(+1,0)(右)、U=(0,+1)(上)和D=(0、-1)(下)组成的半长n的自空路径数。自我回避意味着禁止因子UD和DU以及步骤D在结束前到达对角线。a(3)=10这样的路径是UrUrUr、UrUUrD、UrU Urr、UUrr Ur Ur D、UUr Urr,UUUDrD、UU UrDD、UU urrD和UUUrrr-乔格·阿恩特2024年1月15日
卷曲了A026375美元, (1, 3, 11, 45, 195, ...) =A026378号: (1, 4, 17, 75, ...)
起始(1,3,10,36,…)=的逆变换A007317号: (1, 2, 5, 15, 51, ...). (结束)
a(n)=具有n个顶点的根树的数量,其中每个顶点最多有2个子节点,如果一个顶点正好有一个子节点,则将其标记为左、中或右。这些是德意志、穆纳里尼和里纳尔迪连接的十六进制树。这种解释产生了下面的第二个数学循环-大卫·卡伦2012年10月14日
该序列的左移位(1,3,10,36,…)是左移位加泰罗尼亚数(1,2,5,14,…)的二项式变换。例如:36=1*14+3*5+3*2+1*1-大卫·卡伦2014年2月1日
从(0,0)到(2n,0)的Schroeder路径数,在偶数级上没有级步长H=(2,0)。例如:a(2)=3,因为我们有UUDD、UHD和UDUD-何塞·路易斯·拉米雷斯2015年4月27日
a(n)是避开模式132和231的大小为n的停车功能的数量-劳拉·普德威尔2023年4月10日
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参考文献
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J.Brunvoll、B.N.Cyvin和S.J.Cyvan,一些化学相关多边形系统的研究:单q聚己烷,化学中的ACH模型。,133(3)(1996),277-298,等式14。
S.J.Cyvin、J.Brunvoll、G.Xiaofeng和Z.Fuji,具有一个内顶点的perifusenes的数量,鲁梅因化学评论。,38(1) (1993), 65-78.
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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阿约米昆·阿德尼兰(Ayomikun Adeniran)和劳拉·普德威尔(Lara Pudwell),停车功能中的模式避免,枚举器。梳子。申请。3:3(2023),第S2R17条。
Jean-Luc Baril、JoséL.Ramírez和Lina M.Simbaqueba,计算斜交Dyck路径的前缀,J.国际顺序。,第24卷(2021年),第21.8.2条。
L.W.Beineke和R.E.Pippert,关于六边形平面树的计数格拉斯哥数学。J.,15(1974),131-147。见V(n)。
L.W.Beineke和R.E.Pippert,关于六边形平面树的计数格拉斯哥数学。J.,15(1974),131-147-带注释的扫描副本]
Nachum Dershowitz,Touchard的醉汉《整数序列杂志》,第20卷(2017年),#17.1.5。
E.Deutsch、E.Munarini和S.Rinaldi,倾斜Dyck路径,J.Stat.Plann。推断。140(8)(2010)2191-2203
N.S.S.Gu、N.Y.Li和T.Mansour,2-二叉树:双射和相关问题,离散。数学。,308 (2008), 1209-1221.
F.Harary和R.C.Read,树状多边形的计数,程序。爱丁堡数学。Soc.(2)17(1970),1-13。
C.Heuberger、H.Prodinger和S.Wagner,多边缘平面树的高度,arXiv预印本arXiv:153.04749[math.CO],2015。
Lily L.Liu,三项递推序列的正性《电子组合数学杂志》,17(2010),#R57。
Toufik Mansour和Jose Luis Ramirez,Fuss-skew路径枚举,安。数学。通知。55(2022)125-136,表1。
H.D.Nguyen和D.Taggart,挖掘OEIS:十个实验推测, 2013; http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.391.2522&rep=rep1&type=pdf格式。提到这个序列发件人N.J.A.斯隆2014年3月16日
E.Rowland和R.Yassawi,有理函数对角线的自动同余,arXiv预印本arXiv:1310.8635[math.NT],2013。
A.Sapounakis和P.Tsikouras,关于k色Motzkin词《整数序列杂志》,第7卷(2004年),第04.2.5条。
孙毅和王振中,非杂交树的连续模式避免,图。Combinat公司。26(2010)815-832,表1,{uu,ud}
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配方奶粉
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a(0)=1,对于n>0:a(n)=和{j=0..n-1}和{i=0..j}a(i)*a(j-i)。通用公式:A(x)=1+x*A(x)^2/(1-x)马里奥·卡塔拉尼(Mario Catalani),2003年6月19日
a(n)=总和{i=上限((n-1)/2)..n-1}(3^(2i+1-n)*二项式(n,i)*二项式(i,n-i-1))/n-Emeric Deutsch公司2002年7月23日
a(n)=Sum_{k=1..n}二项式(2k,k)*binominal(n-1,k-1)/(k+1),即加泰罗尼亚数1,2,5,14,42,…的二项式变换。。。(A000108号). a(n)=和{k=0..floor((n-1)/2)}3^(n-1-2*k)*二项式(2k,k)*二项式(n-1,2k)/(k+1)-Emeric Deutsch公司2002年8月5日
a(n)渐近于c*5^n/n^(3/2),c=0.63-贝诺伊特·克洛伊特2003年6月23日
闭合形式下,c=(1/2)*sqrt(5/Pi)=0.63078313050504-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月4日
Sum_{n>0}a(n)x^n=-Sum_{n>0}的可逆性A001906号(n) (-x)^n个。
G.f.A(x)满足xA(x。
总面积:(1-x-sqrt(1-6x+5x^2))/(2x)。对于n>1,a(n)=3*a(n-1)+和{k=1..n-2}a(k)*a(n-k-1)-约翰·W·莱曼2001年2月22日
这个序列的Hankel变换给出了A001519号= 1, 2, 5, 13, 34, 89, ... 例如,Det([1,1,1,3,10,36;1,3,10,36,137;3,10,136,137,543;10,36,137/543,2219;36,137-543,2219,9285])=34-菲利普·德尔汉姆2004年1月25日
a(n+1)=和{k=0..n}2^(n-k)*M(k)*二项式(n,k),其中M(k=A001006号(k) 是第k个Motzkin数(从这里可以看出a(n+1)和M(n)具有相同的奇偶校验)-Emeric Deutsch公司2007年5月10日
G.f.:1/(1-x/(1-x-x/(1-x/(1-x-x/(1-x/(1-x-x/)1-…(续分数))-保罗·巴里2009年5月16日
G.f.:(1-x)/(1-2x-x^2/(1-3x-x^2/(1-3x-x^2/(1-3x-x^2/(1-3x-x^2/(1-3x-x^2/(1-…))(续分数)-保罗·巴里2009年10月17日
G.f.:1/(1-z/(1-z/[(…))),其中z=x/(1-x)(连分数);更一般的g.f.C(x/(1-x)),其中C(x)是加泰罗尼亚数的g.f(A000108号)-乔格·阿恩特2011年3月18日
a(n)=-5^(1/2)/(10*(n+1))*(5*超几何([1/2,n],[1],4/5)-3*超几何-马克·范·霍伊2009年11月12日
对于n>=1,a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=1..5}x^(n-1)*sqrt((x-1)*(5-x))dx-格鲁·罗兰2011年3月16日
a(n+1)=[x^n](1-x^2)(1+3*x+x2)^n-伊曼纽尔·穆纳里尼,2011年5月18日
a(n)=M^(n-1)中的左上项,M=无限平方生产矩阵,如下所示(以3,2,2,2,…作为主对角线):
3, 1, 0, 0, 0, 0, ...
1, 2, 1, 0, 0, 0, ...
1, 1, 2, 1, 0, 0, ...
1, 1, 1, 2, 1, 0, ...
1, 1, 1, 1, 2, 0, ...
...
或者,让M=前面的矩阵,但将3改为2。则a(n)=M^(n-1)的顶行项之和。(结束)
a(n)=超几何([1-n,3/2],[3],-4),对于n>0-彼得·卢什尼2012年8月15日
a(n)=GegenbauerC(n-1,-n,-3/2)/n,对于n>=1-彼得·卢什尼2016年5月9日
例如:1+积分(exp(3*x)*BesselI(1,2*x)/x)dx-伊利亚·古特科夫斯基,2020年6月1日
G.f.:1+x/G(0),G(k)=(1-3*x-x^2/G(k+1))(连分数)-尼古拉·潘泰利迪斯2022年12月12日
G.f.:1+x/(1-x)*c(x/(1-x))^2=1+x/A000108号.
a(n+1)=和{k=0..n}二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。
a(n+1)=上层([-n,3/2],[3],-4)。
a(n+1)=5^n*和{k=0..n}(-5)^(-k)*二项式(n,k)*加泰罗尼亚语(k+1)。
a(n+1)=5^n*超深层([-n,3/2],[3],4/5)。(结束)
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例子
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G.f.=1+x+3*x^2+10*x^3+36*x^4+137*x^5+543*x^6+2219*x^7+9285*x^8+。。。
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MAPLE公司
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t1:=系列(1+(1-3*x-(1-x)^(1/2)*(1-5*x)^(1/2))/(2*x),x,50):
a[0]:=1:a[1]:=1:对于从2到50的n,执行a[n]:=(3*(2*n-1)*a[n-1]-5*(n-2)*a[2])/(n+1)od:打印(转换(a,列表))#零入侵拉霍斯2007年1月1日
a:=n->`如果`(n=0,1,simplize(GegenbauerC(n-1,-n,-3/2)/n)):
seq(a(n),n=0..23)#彼得·卢什尼2016年5月9日
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数学
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反级数[级数[(y)/(1+3*y+y^2),{y,0,24}],x](*则A(x)=1+y(x)*)(*Len Smiley,2000年4月14日*)
(*更快*)
a[0]=1;a[1]=1;
a[n]/;n> =2:=a[n]=a[n-1]+和[a[i]a[n-1-i],{i,0,n-1}];
表[a[n],{n,0,14}](*见上述注释[大卫·卡伦2012年10月14日]*)
(*最快*)
s[0]=s[1]=1;
s[n]/;n> =2:=s[n]=(3(2n-1)s[n-1]-5(n-2)s[n-2])/(n+1);
表[s[n],{n,0,14}](*见Deutsch,Munarini,Rinaldi链接[大卫·卡伦2012年10月14日]*)
(*第二快*)
系数列表[系列[(1-x-Sqrt[1-6x+5x^2])/(2x),{x,0,20}],x](*尼古拉·潘泰利迪斯2023年1月30日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=polceoff((1-x-sqrt(1-6*x+5*x^2+x^2*O(x^n))/2,n+1)};
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,polceoff(serreverse(x/(1+3*x+x^2)+x*O(x^n)),n))}/*迈克尔·索莫斯*/
(PARI)我的(N=66,x='x+O('x^N));Vec((1-x-sqrt(1-6*x+5*x^2))/(2*x))\\乔格·阿恩特2024年1月13日
(极大值)makelist(和(二项式(n,k)*二项式的(n-k,k)*3^(n-2*k)/(k+1),k,0,n/2),n,0,24);/*对于a(n+1)*//*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月18日*/
(鼠尾草)
x、 y,n=1,1,1
为True时:
收益率x
n+=1
x、 y=y,((6*n-3)*y-(5*n-10)*x)/(n+1)
[接下来的(a)对于范围(24)中的i]#彼得·卢什尼2013年10月12日
(岩浆)I:=[1,3];[1] cat[n le 2 select I[n]else((6*n-3)*Self(n-1)-5*(n-2)*Selv(n-2”)div(n+1):[1..30]]中的n//文森佐·利班迪2015年6月15日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A045868号
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| g.f.的扩展:(1-x-sqrt(1-6*x+5*x^2))/(2*x))^2。 |
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+10 10
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1, 2, 7, 26, 101, 406, 1676, 7066, 30302, 131782, 579867, 2576982, 11550237, 52152330, 237005385, 1083211410, 4975796735, 22960105510, 106377393365, 494674698190, 2308015808015, 10801388134690, 50691017885290, 238503869991926, 1124828963516896, 5316520644648026, 25179670936870021
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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从UU开始的半长n+1的斜Dyck路径数。斜交Dyck路径是第一象限中的一条路径,它从原点开始,在x轴结束,由步骤U=(1,1)(向上)、D=(1,-1)(向下)和L=(-1,-1)。路径的长度定义为其步数。例如:a(2)=7,因为我们有UUDDUD、UUDUDD、UUDUDL、UUUDDD、UUUDDL、UUDLD和UUUDLL-Emeric Deutsch公司2007年5月11日
a(n)也是具有以下六个属性的路径路径数(u,v):1)u和v的长度之和为2n,2)u和v都从(0,0)开始,3)(0,00)是u和v唯一的共同顶点,4)u可以执行的步骤是(1,0),(0,1)和(0,-1),5)v可以执行的步数是(1,0,0,6)如果A和B分别是u和v的终点,则B=A+(1,-1)-Svjetlan Feretic公司2013年6月9日
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链接
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E.Deutsch、E.Munarini和S.Rinaldi,倾斜Dyck路径,J.Stat.Plann。推断。140 (8) (2010) 2191-2203.
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配方奶粉
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a(n)=(2/n)*Sum_{j=1..n}二项式(n,j)*binominal(2j+1,j-1)对于n>=1。
递归D-有限:(n+2)*a(n)=(6*n+2,*a(n-1)-(5*n-10)*a(n-2)-弗拉德塔·乔沃维奇2004年7月16日
a(n)~2*5^(n+1/2)/(sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇,2012年10月8日
一般公式:1-1/x+Q(0)*(1-x)/x,其中Q(k)=1+(4*k+1)*x/(1-x;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日
G.f.:1/x-1-2*(1-x)/x/(G(0)+1),其中G(k)=1+2*x*(4*k+1)/(2*k+1;(续分数)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年6月24日
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MAPLE公司
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a:=n->(2/n)*和(二项式(n,j)*二项式(2*j+1,j-1),j=1.n):1,seq(a(n),n=1..22);
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数学
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=波尔科夫(1-x-sqrt(1-6*x+5*x^2+x^2*O(x^n))^2/4,n+2)
(PARI)我的(x='x+O('x^66));维奇(((1-x-sqrt(1-6*x+5*x^2))/(2*x))^2)\\乔格·阿恩特2013年5月4日
(岩浆)[n le 2选择n else(2*(3*n-2)*Self(n-1)-5*(n-3)*Selve(n-2))/(n+1):n in[1..30]]//G.C.格鲁贝尔2024年1月12日
(SageMath)
定义A045868号(n) :如果n==0,则返回1 else(2/n)*和(二项式(n,j)*二项式
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A126186号
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| 行读取的三角形:T(n,k)是具有n条边的十六进制树的数量,第一片叶子的级别(在预序遍历中)等于k(1<=k<=n)。 |
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+10 1
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3, 1, 9, 3, 6, 27, 10, 19, 27, 81, 36, 66, 90, 108, 243, 137, 245, 325, 378, 405, 729, 543, 954, 1242, 1416, 1485, 1458, 2187, 2219, 3848, 4944, 5563, 5760, 5589, 5103, 6561, 9285, 15942, 20286, 22620, 23235, 22410, 20412, 17496, 19683, 39587, 67442, 85194
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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十六进制树是一个有根的树,其中每个顶点都有0、1或2个子节点,当只有一个子节点时,它要么是左子节点,要么是中间子节点,或者是右子节点(名称来源于带有某些树状多边形的明显双射;请参阅Harary-Read参考)。
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链接
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F.Harary和R.C.Read,树状多边形的计数,程序。爱丁堡数学。Soc.(2)17(1970),1-13。
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配方奶粉
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T(n,k)=[k/(n-k)]和(3^(2k+2j-n)*二项式(n-k,j)*二项式(k-1+j,n-k-1-j),j=上限((n-2k)/2)。。n-k)如果1<=k<n;T(n,n)=3^n。
G.f.:2/[2-t-3tz+t*sqrt(1-6z+5z^2)]-1。
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例子
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三角形开始:
三;
1, 9;
3, 6, 27;
10, 19, 27, 81;
36, 66, 90, 108, 243;
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MAPLE公司
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G: =2/(2-t-3*t*z+t*sqrt(1-6*z+5*z^2))-1:Gser:=简化(级数(G,z=0,14)):对于从1到10的n do P[n]:=排序(系数(Gser,z,n))od:对于从1至10的n,do seq(系数(P[n',t,k),k=1..n)od;#以三角形形式生成序列
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数学
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n=10;g[t,z_]=2/(2-t-3t*z+t*Sqrt[1-6z+5z^2])-1;压扁[Rest[CoefficientList[#,t]]&/@Rest[Cefficient List[Series[g[t,z],{z,0,n}],z]](*Jean-François Alcover公司2011年7月22日,在g.f.*之后)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A128888号
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| 带有g.f.[1-x*n-sqrt(x^2*n^2-2*n*x+1+4*x^2-4*x)]/(2*x)的表格。 |
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+10 0
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1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 3, 8, 10, 0, 1, 4, 15, 36, 36, 0, 1, 5, 24, 84, 176, 137, 0, 1, 6, 35, 160, 510, 912, 543, 0, 1, 7, 48, 270, 1152, 3279, 4928, 2219, 0, 1, 8, 63, 420, 2240, 8768, 21975, 27472, 9285, 0, 1, 9, 80, 616, 3936, 19605, 69504, 151905, 156864
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,8
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评论
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链接
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例子
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行数n>=0、列数m>=0的表格开始
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
1, 1, 3, 10, 36, 137, 543, 2219, 9285, 39587, 171369, ...
1, 2, 8, 36, 176, 912, 4928, 27472, 156864, 912832, 5394176, ...
1, 3, 15, 84, 510, 3279, 21975, 151905, 1075425, 7758777, 56839965, ...
1, 4, 24, 160, 1152, 8768, 69504, 568064, 4753920, 40537088, 350963712, ...
1, 5, 35, 270, 2240, 19605, 178535, 1675495, 16095765, 157527055, 1565170985, ...
1, 6, 48, 420, 3936, 38832, 398208, 4205904, 45459840, 500488512, 5593373184, ...
1, 7, 63, 616, 6426, 70427, 801423, 9387917, 112501809, 1372985957, 17007257421,...
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MAPLE公司
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H:=程序(n,x)(-x*n+1-(x^2*n^2-2*n*x+1+4*x^2-4*x)^(1/2))/(2*x);结束:T:=proc(n,m)coeftayl(H(n,x),x=0,m);结束:对于0到20的diag,do对于0到diag的m,don:=diag-m;打印f(“%d,”,T(n,m));od;od;
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交叉参考
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关键词
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作者
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