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A010815号 根据欧拉五角定理:乘积{m>=1}(1-q^m)中的q^n系数。 1523

%I#207 2024年1月24日07:58:08

%S 1,-1,-1,0,0,1,0,0,1,0,0,-1,0,0,0,

%T 0,0,0,-1,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,

%U 0,0,0,1,0,-1,0,0,0,00,0

%欧拉五角定理:乘积{m>=1}(1-q^m)中q^N的系数。

%C当与分区数A000041卷积时,得到1,0,0。。。

%C此外,将n的不同分区划分为-1个不同类型的部分的数量(基于形式类比)Michele Dondi(blazar(AT)lcm.mi.infn.it),2004年6月29日

%C注释“当与分区数卷积时给出[1,0,0,0,…]”等价于三角形A145975的行和=1,0,0,1,…];其中A145975是分区数卷积三角形_Gary W.Adamson_,2008年10月25日

%C当与A000041的第n个部分和卷积时=二项式序列开始(1,n,…)。示例:A010815与A014160卷积(对分区数应用三次部分和运算)=(1,3,6,10,…).-_Gary W.Adamson_,2008年11月11日

%C(A000012^(-n)*A000041)与A010815卷积=帕斯卡三角形倒数的第n行(作为向量,后跟零);其中A0000012^(-1)=成对差分运算符。示例:(A000012^(-4)*A000041)与A010815=(1,-4,6,-4,1,0,0,…)卷积_Gary W.Adamson_,2008年11月11日

%C此外,2010年9月16日,n.-Wouter Meeussen_的所有分区上的[乘积(1-2/(钩长)^2)]之和

%C Cayley(1895)在第387条中以“写短sqrt(2k'K/pi)/[1-q^{2m-1}]^2=G,…”开头,这是一种令人费解的书写方式G=[1-q*{2m}]=(1-q^2)(1-q*4)…-_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2011年8月1日

%C这是一个形式为f(a*b^4,a^2/b)-(a/b)*f(a^4*b,b^2/a)=f(-a*b,-a^2*b^2)*f(-a/b,-b^2)/f(a,b)的五元产品标识的示例,其中a=x^3,b=x.-Michael Somos_,2012年1月21日

%C Ramanujan theta函数:f(q)(见A121373)、phi。

%C由D.Zagier在“模形式的1-2-3”第30页列出的14个原始eta-products中的第1个,它们是重量为1/2的全纯模形式_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2016年5月4日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,美国国家标准局应用数学。第55辑,第十次印刷,1972年,第825页。

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%H Robert M.Ziff,<a href=“http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/5/013“>关于二维渗流中临界穿越概率的Cardy公式,J.Phys.a.281249-1255(1995)。

%H<a href=“/index/Pro#1mxtok”>Product_{k>=1}(1-x^k)^m扩展的索引项</a>

%如果n的形式为m(3m+-1)/2,则F a(n)=(-1)^m;否则a(n)=0。使得|a(n)|=1的n的值是广义五边形数A0001318。使a(n)=0的n值为A090864。

%F Dedekind eta函数在q的幂中不含q^(1/24)因子的展开式。

%周期1序列的F Euler变换[-1,-1,-1…]。

%F G.F.:(q;q){无穷}=Product_{k>=1}(1-q^k)=Sum_{n=-oo..oo}(-1)^n*q^(n*(3n+1)/2)。第一个符号是q-Pochhammer符号。

%F(-x)的展开:=F(-x,-x^2)的x次幂。Ramanujan广义θ函数的特例;参见Berndt参考_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2003年4月8日

%F a(n)=A067661(n)-A067659(n).-_乔恩·佩里(Jon Perry),2003年6月17日

%F(x^5,x^7)-x*F(x,x^11)的x次幂展开式,其中F(,)是Ramanujan的一般θ函数_Michael Somos,2012年1月21日

%F G.F.:q^(-1/24)*eta(t),其中q=exp(2 Pi i t),eta是Dedekind eta函数。

%财务报表:1-x-x^2(1-x)-x^3(1-x,1-x^2)-…-_乔恩·佩里(Jon Perry),2004年8月7日

%F给定g.F.A(x),则B(q)=q*A(q^3)^8满足0=F(B(q,B(q^2),B(q ^4)),其中F(u,v,w)=u^2*w-v^3+16*u*w^2_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2005年5月2日

%F给定g.F.A(x),则B(q)=q*A(q^24)满足0=F(B(q_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2005年5月2日

%F a(n)=b(24*n+1),其中b()与b(p^2e)=(-1)^e相乘,如果p==5或7(mod 12),b(p*2e)=+1如果p==1或11(mod 2),b_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2005年5月8日

%F给定g.F.A(x),则B(q)=q*A(q^24)满足0=F(B(q,B(q^2),B(q ^4)),其中F(u,v,w)=u^16*w^8-v^24+16*u^8*w^16_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2005年5月8日

%F a(n)=(-1)^n*A121373(n)。a(25*n+1)=-a(n)。a(5*n+3)=a(5*n+4)=0。a(5*n)=A113681(n)。a(5*n+2)=-A116915(n).-_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2006年2月26日

%F G.F:1+和{k>0}(-1)^k*x^((k^2+k)/2)/((1-x)*(1-x^2)*…*(1-x^k))_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2006年8月18日

%F a(n)=-(1/n)*和{k=1..n}σ(k)*a(n-k).-_Vladeta Jovovic_,2002年8月28日

%F G.F.:A(x)=1-x/G(0);G(k)=1+x-x^(k+1)-x*(1-x^;(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2012年1月25日

%F F(-x^2)*chi(-x)=psi(-x)*chi(-x*2)=psi_Michael Somos_,2015年11月16日

%F G.F.:exp(总和{n>=1}-西格玛(n)*x^n/n)_Seiichi Manyama,2017年3月4日

%F G.F:和{n>=0}x ^(n*(2*n-1))*(2*x ^,2*n)-1)/产品{k=1..2*n}1-x^k.-Peter Bala_,2021年2月2日

%F g.F.A(x)满足A(x^2)=Sum_{n>=0}x^(n*(n+1)/2)*Product_{k>=n+1}1-x^k=1-x^2-x^4+x^10+x^14-x^24-x^30++-_彼得·巴拉(Peter Bala),2021年2月12日

%e G.f=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+x^26-x^35-x^40+。。。

%e G.f=q-q^25-q^49+q^121+q^169-q^289-q^361+q^529+q^625+。。。

%e从2017年3月4日的Seiichi Manyama开始:(开始)

%e通用。

%e=1+(-x-3*x^2/2-4*x^3/3-7*x^4/4-6*x^5/5-…)

%e+1/2*(x^2+3*x^3+59*x^4/12+15*x^5/2+…)

%e+1/6*(-x^3-9*x^4/2-43*x^5/4-…)

%e+1/24*(x^4+6*x^5+…)

%e+1/120*(-x^5-…)

%e+。。。

%e=1-x-x^2+x^5+。。。。(结束)

%p A010815:=倍数((1-x^m),m=1..100);

%p A010815:=程序(n)局部x,m;

%p乘积(1-x^m,m=1..n);

%p膨胀(%);

%p系数(%,x,n);

%结束程序:#R.J.Mathar_,2016年6月18日

%p A010815:=程序(n)24*n+1;如果issqr(%),则sqrt(%);

%p(-1)^irem(iquo(%+irem(%,6),6)),2)其他0结束:#_Peter Luschny_,2022年10月2日

%t a[n_]:=系列系数[乘积[1-x^k,{k,n}],{x,0,n}];(*迈克尔·索莫斯,2011年11月15日*)

%t a[n_]:=如果[n<0,0,级数系数[(级数[EllipticTheta[3,Log[y]/(2I),x^(3/2)],{x,0,n+楼层@平方米[n] }]//正常//TrigToExp)/。{y->-x^(1/2)},{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯,2011年11月15日*)

%t系数列表[系列[积[(1-x^k),{k,1,70}],{x,0,70}],x]

%t(*hooklength[]cfr A047874*)表[Tr[(Times@@(1-2/Flatten[hooklendth[#]]^2))和/@Partitions[n]],{n,26}](*_Wouter-Meeussen_2010年9月16日*)

%t系数列表[系列[QPochhammer[q],{q,0,100}],q](*_Jean-François Alcover_,2013年12月4日*)

%t a[n_]:=使用[{m=Sqrt[24n+1]},如果[IntegerQ[m],KroneckerSymbol[12,m],0]];(*迈克尔·索莫斯,2015年6月4日*)

%t nmax=100;poly=常数阵列[0,nmax+1];聚[1]]=1;聚[[2]]=-1;Do[Do[poly[[j+1]]-=聚[[j-k+1]],{j,nmax,k,-1}];,{k,2,nmax}];poly(*Vaclav Kotesovec_,2018年5月4日*)

%t表[m=(1+Sqrt[1+24*k])/6;如果[IntegerQ[m],(-1)^m,0]+If[Integer Q[m-1/3],(-1)^(m-1/3),0],{k,0,100}](*_Vaclav Kotesovec_,2020年7月9日*)

%o(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(eta(x+x*o(x^n)),n))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2002年6月5日*/

%o(PARI){a(n)=polceoff(prod(k=1,n,1-x^k,1+x*o(x^n)),n)};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2011年11月19日*/

%o(PARI){a(n)=if(issquare(24*n+1,&n),kronecker(12,n))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2006年2月26日*/

%o(PARI){a(n)=if(发行方(24*n+1,&n),if((n%2)&&(n%3),(-1)^圆形(n/6))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2006年2月26日*/

%o(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=1+o(x^n);polcoeff(sum(k=1,(sqrtint(8*n+1)-1)\2,a*=x^k/(x^k-1)+x*o(x^(n-(k^2-k)/2)),1),n)};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2006年8月18日*/

%o(PARI)列表a(nn)={q='q+o('q^nn);Vec(eta(q))}\\阿尔图加·阿尔坎,2018年3月21日

%o(岩浆)系数(&*[1-x^m:m in[1..100]])[1..100],其中x是多项式环(整数())。1;//_Vincenzo Librandi_,2017年1月15日

%o(Julia)#DedekindEta在A000594中定义。

%o A010815列表(len)=DedekindEta(len,1)

%o A010815列表(93)|>println#_Peter Luschny_,2018年3月9日

%o(Python)

%o从数学导入isqrt

%o定义A010815(n):

%o m=isqrt(24*n+1)

%o如果m**2!=,则返回024*n+1 else((-1)**((m-1)//6)if m%6==1else(-1)***((m+1)//6”)#_Chai Wah Wu_,2021年9月8日

%o(朱莉娅)

%o函数A010815(n)

%o r=24*n+1

%o m=isqrt(r)

%o米*米!=r&&返回0

%o iseven(div(m+m%6,6))?1 : -1

%o结束#_Peter Luschny_,2021年9月9日

%Y参见A000041、A001318(特征函数)、A000326、A080995。

%Y参见A067659、A067661。

%Y参考A145975、A002865、A014160。

%Y另请参阅A170925、A143374、A194087、A242168、A258232、A143062、A203568。

%K符号,很好,很容易

%0、1

%A _N.J.A.斯隆_

%E Michael Somos_的补充意见,2002年6月5日

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