|
| |
|
| A036969号 |
| 按行读取的三角形：T（n，k）=T（n-1，k-1）+k^2*T（n-l，k），1<k<=n，T（n、1）=1。 |
|
16
|
|
|
|
1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 21, 14, 1, 1, 85, 147, 30, 1, 1, 341, 1408, 627, 55, 1, 1, 1365, 13013, 11440, 2002, 91, 1, 1, 5461, 118482, 196053, 61490, 5278, 140, 1, 1, 21845, 1071799, 3255330, 1733303, 251498, 12138, 204, 1, 1, 87381, 9668036, 53157079, 46587905
(列表;桌子;图表;参考文献;听;历史;文本;内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
1,5
|
|
|
评论
|
或者，中心阶乘数T（2n，2k）的三角形（Riordan表示法）。
可用于通过公式B_2n=（1/2）*Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*（k-1）计算伯努利数*k*T（n，k）/（2*k+1）。例如，n=1:B_2=（1/2）*1/3=1/6。n=2:B_4=（1/2）*（1/3-2/5）=-1/30。n=3:B_6=（1/2）*（1/3-2*5/5+2*6/7）=1/42-菲利普·德尔汉姆2003年11月13日
第二类广义斯特林数。T（n，k）等于集合{1,1'，2,2'，…，n，n'}划分为k个不相交的非空子集V1，。。。，这样，对于每1<=j<=k，如果i是最小整数，使得i或i'属于Vj，那么{i，i'}是Vj的子集。下面给出了一个示例。
因此，T（n，k）可以被认为是第二类双色斯特林数。参见松本和诺瓦克，他们也给出了这些数字的另一种组合解释。（结束）
|
|
|
参考文献
|
L.Carlitz，关于Genocchi数的一个猜想。挪威维德。塞尔斯克。Skr.（特隆赫姆）1971年，第9期，第4页[三角形出现在第2页。]
J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.8。
|
|
|
链接
|
P.L.Butzer、M.Schmidt、E.L.Stark和L.Vogt。中心阶乘数；它们的主要性质及其应用，功能编号。分析。最佳。，10 (1989) 419-488.
P.A.MacMahon，分划理论中的数字除数及其延续，程序。伦敦数学。《社会学杂志》，（2）19（1919），75-113；科尔。论文II，第303-341页。
B.K.Miceli，多圈数的两个q类比，J.整数序列。，14 (2011), 11.9.6.
|
|
|
配方奶粉
|
O.g.f.：求和{n>=1}x^n*t^n/Product_{k=1..n}（1-k^2*t^2）=x*t+（x+x^2）*t^2+（x+5*x^2+x^3）*t*3+。。。。
定义多项式x^[2*n]=Product_{k=0..n-1}（x^2-k^2）。这个三角形给出了单项式x^（2*n）展开式中的系数，作为x^[2*m]，1<=m<=n的线性组合。例如，第4行给出了x^8=x^[2]+21*x^[4]+14*x^6]+x^[8]。
T（n，k）=（2/（2*k）！）*求和{j=0..k-1}（-1）^（j+k+1）*二项式（2*k，j+k/1）*（j+1）^。该公式适用于n>=0和0<=k<=n-彼得·卢什尼2012年2月3日
设E（x）=cosh（sqrt（2*x））=Sum_{n>=0}x^n/（（2*n）/2^n）。三角形的生成函数是E（t*（E（x）-1））=1+t*x+t*（1+t）*x^2/6+t*。。。，其中分母[1，1，6，90，…]的序列由（2*n）给出/2^n.参考。A008277号它具有生成函数exp（t*（exp（x）-1））。例如f.是e（t*（e（x^2/2）-1））=1+t*x^2/2！+t*（1+t）*x^4/4！+t*（1+5*t+t^2）*x^6/6！+。。。。
放c（n）：=（2*n）/2^n.列k的生成函数是（1/c（k））*（E（x）-1）^k=Sum_{n>=k}T（n，k）*x^n/c（n）。逆数组为204579英镑.
生产阵列开始：
1, 1;
0, 4, 1;
0, 0, 9, 1;
0, 0, 0, 16, 1;
…（结束）
x^n=Sum_｛k=1..n｝T（n，k）*产品_｛i=0..k-1｝（x-i^2），请参阅Stanley链接-米歇尔·马库斯2014年11月19日；已由更正科洛索夫石油公司2023年7月26日
T（n，k）=（1/（2*k）！）*求和{j=0..2k}二项式（2k，j）*（-1）^j*（k-j）^（2n）。
T（n，k）=（1/（k*（2k-1）！））*求和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（2k，k-j）*j^（2n）。
（结束）
|
|
|
例子
|
三角形开始：
1;
1, 1;
1, 5, 1;
1, 21, 14, 1;
1, 85, 147, 30, 1;
...
T（3,2）=5：将五个集合划分为两个集合，分别是{1,1'，2,2'}{3,3'}，{1,1'，3,3'}{2,2'{，{1'}{2,2,2'，3,3'}、{1,1'、3}{2,2'，3'}和{1,1',3'{2,2'、3}。
|
|
|
MAPLE公司
|
A036969号：=程序（n，k）局部j；2*加上（j^（2*n）*（-1）^（k-j）/（（k-j）*（k+j）！），j=1..k）；结束；
|
|
|
数学
|
t[n_，k_]：=2*和[j^（2*n）*（-1）^（k-j）/（（k-j）！*（k+j）！），{j，1，k}]；扁平[表[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]](*Jean-François Alcover公司2011年10月11日*）
t1[n，k_]：=（1/（2 k）！）*和[二项式[2k，j]*（-1）^j*（k-j）^（2n），{j，0，2k}]；列[表[t1[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]](*科洛索夫石油公司2023年7月26日*）
|
|
|
黄体脂酮素
|
（PARI）T（n，k）=如果（1<k&&k<=n，T（n-1，k-1）+k^2*T（n-l，k），k==1）\\为了说明目的，无效；M.F.哈斯勒2012年2月3日
（PARI）T（n，k）=2*总和（j=1，k，（-1）^（k-j）*j^（2*n）/（k-j/（k+j）！）\\M.F.哈斯勒2012年2月3日
（鼠尾草）
定义A036969号（n，k）：返回（2/阶乘（2*k））*add（（-1）^j*二项式（2*k，j）*（k-j）^（2*n）for j in（0..k））
对于（1..7）中的n：打印([A036969号（n，k）代表k in（1..n）]）#Peter Luschny，2012年2月3日
（哈斯克尔）
a036969 n k=a036969_tabl！！（n-1）（k-1）
a036969_行n=a036969 _ tabl！！（n-1）
a036969_tabl=迭代f[1]，其中
f行=zipWith（+）
（[0]++行）（zipWith（*）（尾部a000290_list）（行++[0]））
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键字
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
扩展
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
