2

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2是唯一的偶数素数，因此是“最奇怪的素数”

核心序列中的成员

偶数	0中，2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...	A005843号
素数	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...	A000040型
斐波那契数	1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, ...	A000045号
卢卡斯数字	2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ...	A000032号
加泰罗尼亚数字	1, 1,2, 5, 14, 42, 132, ...	A000108号
阶乘	1, 1,2, 6, 24, 120, 720, ...	A000142号
Primorials公司	1,2, 6, 30, 210, 2310, ...	A002110号

在帕斯卡三角形，2只出现一次，实际上是三角形中唯一只出现一个正整数。1无限频繁地出现，而所有其他整数至少出现两次。（英寸洛扎尼奇三角形，2出现四次）。

与2有关的序列

${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{n}}）}}$有类别编号2	−5、−6、−10、−13、−15、−22、−35、−37、−51、−58、−91、−115、−123、−187。。。	A005847号
${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{n}}）}}$有2级	10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, 66, 70, 74, 78, 85, 87, 91, 95, ...	A029702号

第2部分

只有两个分区2:{1、1}和{2}。因此，2到素数的唯一划分是一个平凡的划分。

2的根和权力

在下表中，无理数被截断到小数点后八位。

${\显示样式{\sqrt{2}}$	1.41421356	A002193号	2 2	4
${\显示样式{\sqrt[{3}]{2}}}$	1.25992104	A002580型	2 三	8
${\显示样式{\sqrt[{4}]{2}}}$	1.18920711	A010767号	2 4	16
${\显示样式{\sqrt[{5}]{2}}}$	1.14869835	A005531号	2 5	32
${\显示样式{\sqrt[{6}]{2}}}$	1.12246204	A010768号	2 6	64
${\显示样式{\sqrt[{7}]{2}}$	1.10408951	A010769号	2 7	128
${\显示样式{\sqrt[{8}]{2}}}$	1.09050773	A010770号	2 8	256
${\显示样式{\sqrt[{9}]{2}}}$	1.08005973	A010771号	2 9	512
${\显示样式{\sqrt[{10}]{2}}}$	1.07177346	A010772号	2 10	1024
${\显示样式{\sqrt[{11}]{2}}}$	1.06504108	A010773号	2 11	2048
${\显示样式{\sqrt[{12}]{2}}}$	1.05946309	A010774号	2 12	4096
${\显示样式{\sqrt[{13}]{2}}}$	1.05476607	A010775号	2 13	8192
${\显示样式{\sqrt[{14}]{2}}}$	1.05075663	A010776号	2 14	16384
${\显示样式{\sqrt[{15}]{2}}}$	1.04729412	A010777美元	2 15	32768
${\显示样式{\sqrt[{16}]{2}}}$	1.04427378	A010778号	2 16	65536
				A000079号

当然，上面给出的根是主要的实根。也有负实根和复根。

• $｛\displaystyle｛\sqrt｛2｝｝｝$,${\显示样式-{\sqrt{2}}$（都是真实的）
• ${\显示样式{\sqrt[{3}]{2}}}$,${\displaystyle-{\frac{\sqrt[{3}]{2}}{2}{pm{\frac{\sqrt{-3}}{\sqart[{3{]{4}}}$（除了符号虚部)
• ${\显示样式{\sqrt[{4}]{2}}}$,${\显示样式-{\sqrt[{4}]{2}}$,$｛\displaystyle i｛\sqrt[｛4｝]｛2｝｝｝$,${\显示样式-i{\sqrt[{4}]{2}}}$
• ${\显示样式{\sqrt[{5}]{2}}}$等等。

简单连分式中的数字2表示其主平方根：

${\displaystyle{\scrt{2}}=1+{\cfrac{1}{2+{\frac{1{2+}\cfrac}{1}}{2+/{\cfac{1}{2+\\ddots}}}}{}}}$

有趣的是，还用连分数表示了3的平方根：

$1+{\scrt{3}}=2+{\cfrac{2}{2+{\crac{2}}{2+/{\cfac{2{2}{2+}\cfrac}2}{2\cfrac{2]{2+\ddots}}}}{}}$

（请参见A090388号).

对数和平方

在OEIS中，特别是在一般数学中，${\显示样式\log x}$指的是自然对数属于${\显示样式x}$，而所有其他基都是用下标指定的。在信息论中二进制对数经常引起人们的兴趣。

发件人费马小定理，我们可以推断，如果${\显示样式n}$不是3的倍数，那么${\显示样式n^{2}-1}{2}-1}$是。

如果${\显示样式n}$也不是5的倍数${\显示样式n^{2}-1}{2}-1}$或${\显示样式n^{2}+1}$是。因此Legendre符号 ${\displaystyle\left（{\frac{a}{5}}\right）=a^{2}\mod 5}$。

如上所述，下表中的无理数被截断到小数点后八位。

${\显示样式\log_{2}2}{2}2}$			1			2 2	4
${\显示样式\log_{2} e（电子）}{2} e（电子）}$	1.44269504	A007525号	${\显示样式\log 2}$	0.69314718	A002162号	${\显示样式e^{2}}$	7.38905609	A072334号
${\显示样式\log_{2}3}{2}3}$	1.58496250	A020857号	${\显示样式\log_{3}2}{3}2}$	0.63092975	A102525号	三 2	9
${\显示样式\log_{2}\pi}$	1.65149612	216582英镑	${\显示样式\log_{\pi}2}$	0.60551156	A104288号	${\显示样式\pi^{2}}$	9.86960440	A002388号
${\显示样式\log_{2}4}{2}4}$	2	A000038号	${\显示样式\log_{4}2}{4}2}$	0.50000000	A020761号	4 2	16
${\显示样式\log_{2}5}{2}5}$	2.32192809	A020858型	${\显示样式\log_{5}2}{5}2}$	0.43067655	A152675号	5 2	25
${\显示样式\log_{2}6}{2}6}$	2.58496250	A020859美元	${\显示样式\log_{6}2}{6}2}$	0.38685280	A152683号	6 2	36
${\显示样式\log_{2}7}{2}7}$	2.80735492	A020860型	${\显示样式\log_{7}2}{7}2}$	0.35620718	A152713号	7 2	49
${\显示样式\log_{2}8}{2}8}$	3		${\显示样式\log_{8}2}{8}2}$	0.33333333	A010701号	8 2	64
${\显示样式\log_{2}9}{2}9}$	3.16992500	A020861美元	${\显示样式\log_{9} 2个}{9} 2个}$	0.31546487	A152747号	9 2	81
${\显示样式\log_{2}10}{2}10}$	3.32192809	A020862型	${\显示样式\log_{10}2}{10}2}$	0.30102999	A007524号	10 2	100

（请参见A000290型对于整数正方形）。

以2为参数的数论函数的值

${\显示样式\mu（2）}$	–1
${\显示样式M（2）}$	0
${\显示样式\pi（2）}$	1
${\显示样式\sigma{1}（2）}$	三
$｛\displaystyle\西格玛｛0｝（2）｝$	2
${\显示样式\phi（2）}$	1
${\显示样式\Omega（2）}$	1
${\显示样式\omega（2）}$	1
${\显示样式\lambda（2）}$	1	这是Carmichael lambda函数。
${\显示样式\lambda（2）}$	–1	这是Liouville lambda函数。
${\displaystyle\zeta（2）={\frac{\pi^{2}}{6}}$	1.6449340668482264364724…（参见A013661号).
2!	2
$｛\displaystyle\Gamma（2）｝$	1

某些二次整数环中2的因式分解

如上所述，2是${\显示样式\mathbb{Z}}$。但它在某些方面是复合的二次整数环事实上，为了使2成为${\显示样式{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{D}）}}$这是一个唯一的因子分解域，同余${\显示样式D\equiv 5\mod 8}$必须保持。如果不是这样${\显示样式D\equiv 3\mod 4}$，这意味着2是素数平方的关联，而${\显示样式D\equiv 1\mod 8}$意味着2是两个不同素数的乘积。

${\显示样式\mathbb{Z}[i]}$	${\显示样式（1-i）（1+i）}$
${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{2}}$	${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{2}}]}$	${\显示样式（{\sqrt{2}}）^{2}$
${\显示样式\mathbb{Z}[\omega]}$	Prime（主要）	$｛\displaystyle\mathbb｛Z｝〔｛\sqrt｛3｝｝〕｝$	${\显示样式（-1）（1-{\sqrt{3}}）（1+{\sqart{3}）}$
${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-5}}]}$	不可约的	${\显示样式\mathbb{Z}[\phi]}$	Prime（主要）
${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-6}}]}$		${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{6}}]}$	${\显示样式（-1）（2-{\sqrt{6}}）（2+{\sqart{6}）}$
${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{-7}}）}}$	${\displaystyle\left（{\frac{1}{2}}-{\frac{\sqrt{-7}}{2{}\right）\left$	${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{7}}]}$	${\显示样式（3-{\sqrt{7}}）（3+{\sqart{7}）}$
${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-10}}]}$	不可约的	${\显示样式\mathbb{Z}[{\sqrt{10}}]}$	不可约的
${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{-11}}）}}$	Prime（主要）	${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{11}}]}$	${\显示样式（-1）（3-{\sqrt{11}}）（3+{\sqart{11}）}$
${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-13}}]}$	不可约的	${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{13}}）}}$	Prime（主要）
${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-14}}]}$		${\显示样式\mathbb{Z}[{\sqrt{14}}]}$	${\显示样式（4-{\sqrt{14}}）（4+{\sqart{14}）}$
${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{-15}}）}}$		${\显示样式\mathbb{Z}[{\sqrt{15}}]}$	不可约的
${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-17}}]}$		${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{17}}）}}$	${\显示样式（-1）\左（{\frac{3}{2}}-{\frac{\sqrt{17}}{2{}\right）\左$
${\displaystyle{\mathcal{O}}_{\mathbb{Q}（{\sqrt{-19}}）}}$	Prime（主要）	$｛\displaystyle\mathbb｛Z｝〔｛\sqrt｛19｝〕｝$	$｛\displaystyle（-1）（13-3｛\sqrt｛19｝｝）（13+3｛\sqrt｛19｝）｝$

由于虚二次环中的范数从不为负，因此几乎所有虚环中的2都是不可约的，事实上，唯一的例外情况如上表所示。它是否也是质数是一个单独的问题，但我们可以概括如下：如果${\显示样式d<-4}$是偶数且无平方的，则2是不可约的但不是素$｛\displaystyle\mathbb｛Z｝〔｛\sqrt｛d｝〕｝$，用于${\显示样式2|（{\sqrt{d}}）^{2}}$但不是${\显示样式{\sqrt{d}}}$。

在实环中情况更复杂。如果${\显示样式d}$是正数和偶数，并且${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{d}}]}$是唯一的因式分解，那么2是复合的，所以${\显示样式{\frac{d}{2}}}$，无论这是否是素数${\显示样式\mathbb{Z}}$然后事实是${\显示样式2|（{\sqrt{d}}）^{2}}$但不是${\显示样式{\sqrt{d}}}$不是多重因子分解的证据。

邻−2，2平方根的二次整数环中一些小整数的因式分解

${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[{\sqrt{2}}]\，}$是一个具有单位的可交换二次整数环，并且唯一分解域.其单位为${\displaystyle\scriptstyle\pm（1+{\sqrt{2}}）^{n}\，}$（带有${\displaystyle\scriptstylen\，\in\，\mathbb{Z}\，}$). 如果是奇数素数$｛\displaystyle p\in\mathbb｛Z｝｝$是模8的1或-1的同余，它是在${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[{\sqrt{2}}]\，}$，显然2也是（参见A038873号).

表示连续单位${\显示样式\脚本样式（1+{\sqrt{2}}）^{n}\，}$在里面${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[{\sqrt{2}}]\，}$作为${\显示样式a+b{\sqrt{2}}}$，序列${\显示样式a}$由提供A001333号，而${\显示样式b}$由Pell数字给出，A000129号。

${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$也是唯一的因子分解域。但其中只有两个单位：1和-1。这个惯性素数在里面${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$素数在${\显示样式\mathbb{Z}}$等于模8的5或7。

${\显示样式n}$	${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$	${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{2}}]}$
1	单位
2	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{2}}$	${\显示样式\脚本样式（{\sqrt{2}}）^{2}\，}$
三	${\显示样式（1-{\sqrt{-2}}）（1+{\sqrt{-2}）}$	Prime（主要）
4	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{4}}$	${\显示样式\脚本样式（{\sqrt{2}}）^{4}\，}$
5	Prime（主要）
6	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{2}（1-{\sqrt{-2-}）（1+{\sqrt{-2}）}$	$｛\displaystyle\scriptstyle（｛\sqrt｛2｝｝）^{2}3\,}{2}3\,}$
7	Prime（主要）	${\displaystyle\scriptstyle（3+{\sqrt{2}}）（3-{\sqart{2}）\，}$
8	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{6}}$	${\显示样式\脚本样式（{\sqrt{2}}）^{6}\，}$
9	${\显示样式（1-{\sqrt{-2}}）^{2}（1+{\sqrt{-2}）$	三 2
10	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{2}5}{2}5}$	${\显示样式\脚本样式（{\sqrt{2}}）^{2}5\,}{2}5\,}$
11	${\显示样式（3-{\sqrt{-2}}）（3+{\sqrt{-2}）}$	Prime（主要）
12	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{2}（1-{\sqrt{-2-}）（1+{\sqrt{-2}）}$	${\显示样式\脚本样式（{\sqrt{2}}）^{4}3\,}{4}3\,}$
13	Prime（主要）
14	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{2}7}{2}7}$	${\displaystyle\scriptstyle（{\sqrt{2}}）^{2}（3+{\sqrt{2]}）（3-{\sqart{2}{）\，}$
15	${\显示样式（1-{\sqrt{-2}}）（1+{\sqrt{-2}）5}$	3 × 5
16	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{8}}$	$｛\displaystyle\scriptstyle（｛\sqrt｛2｝｝）^｛8｝\，｝$
17	$显示样式（3-2）（3+2）}$	${\displaystyle\scriptstyle（-1）（1+3{\sqrt{2}}）（1-3{\sqart{2}）\，}$
18	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{2}（1-{\sqrt{-2-}）$	${\显示样式\脚本样式（{\sqrt{2}}）^{2}3^{2} \，｝{2}3^{2} \，｝$
19	$显示样式（1-3{\sqrt{-2}}）（1+3{\sqart{-2}）}$	Prime（主要）
20	${\显示样式（-1）（{\sqrt{-2}}）^{4}5}{4}5}$	${\显示样式\脚本样式（{\sqrt{2}}）^{4}5\,}{4}5\,}$

然后我们说${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$是正常核素，并由此自动得出它是一个主理想域因此是唯一的因子分解域。

定理ZI2EUC。域${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$是一个欧几里德域其中范数的绝对值是一个合适的欧几里德函数。给定任意两个非零数字${\显示样式m，n\in\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$，总是可以找到其他两个数字${\显示样式q，r\in\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}$使得${\显示样式n=qm+r}$,${\显示样式q\neq 0}$和${\显示样式0\leq N（r）<N（m）}$。

证明。如果$｛\displaystyle m｝$是的除数${\显示样式n}$或者反过来${\显示样式q={\压裂{n}{m}}}$或${\显示样式{\压裂{m}{n}}}$根据需要，以及${\显示样式r=0}$。如果不是这样，它并不自动意味着$｛\displaystyle m｝$和${\显示样式n}$是互质的，但它确实意味着${\显示样式{\frac{n}{m}}\不在\mathbb{Z}[{\sqrt{-2}}]}中$但是${\显示样式{\frac{n}{m}}\in\mathbb{Q}（{\sqrt{-2}}）}$.注释${\显示样式n=a+b{\sqrt{-2}}}$和${\显示样式m=c+d{\sqrt{-2}}}$。我们有：

${\显示样式{\frac{a+b{\sqrt{-2}}}{c+d{\sqrt{-2}{}}={\frac{（a+b}\sqrt}-2}}）（c+d}\sqrt}-2}）}{c^{2}+2d^{2{}}}=s+t{\sqart{-2}}}}$

哪里$｛\displaystyles，t\in\mathbb｛Q｝（｛\sqrt｛-2｝）｝$。现在选择${\显示样式u，v\in\mathbb{Z}}$使得${\displaystyle|s-u|，|t-v|\leq{\frac{1}{2}}$然后设置$｛\displaystyle q＝u+v｛\sqrt｛-2｝｝｝$和${\显示样式r=n-qm}$由于范数是乘法的，因此如下所示$显示样式N（r）=N（m）N（（s-u）+（t-v）{\sqrt{-2}}）}$因此

${\显示样式0<N（r）<{\frac{3}{4}}N（m）}$

如定理所规定。□

在各种基础上表示2

显然，在二元的，2表示为10。对于所有普通的高整数基数，2是2。在平衡三元数系，2是{1，−1}，意思是${\显示样式3^{1}-3^{0}}{1}-3^{0}}$.英寸否定的，2是110，因为${\显示样式（-2）^{2}+（-2）p{1}=4-2=2}$.英寸四元虚数基，2是2。在这两个阶乘数制和中${\显示样式{\sqrt{2}}$-基数，2是100。并且在phi数字系统，2是10.01，因为${\displaystyle\phi+\phi^{-2}=1.618…+0.381966…=2}$。

另请参见

• 2^n模块

工具书类

一些整数

							${\显示样式-1}$
0	1	2	三	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
					1729