加泰罗尼亚数字

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加泰罗尼亚语数字也称为塞格纳数.

定义

(...)

公式

C_{n}={\frac{1}{n+1}}{\binom{2n}{n}}，\quadn\geq0，\，

哪里 ${\displaystyle\scriptstyle{\binom{2n}{n}}\，}$ 是中心二项系数.

重复关系

{\显示样式C_{0}=1，\，}

显示样式C_{n}={frac{2（2n-1）}{n+1}}~C_{n-1}，四n\geq1.\，}

正在生成函数

这个普通生成函数加泰罗尼亚数字是

{显示样式G_{{C_{n}}（x）\equiv\sum_{n=0}^{infty}C_{n}~x^{n}={frac{1-{sqrt{1-4x}}}{2x}}，}

可以用连分数

G_{\{C_{n}}（x）={\frac{1}{1+{\underset{i=2}{\overset{\infty}{\rm{K}}}}~{\frac{-x}{1}}}={\cfrac{1}{1-{\cfac{x}{1-{.\，

自从 ${\displaystyle\scriptstyle{\frac{1-{\sqrt{1-4x}}}{2x}}\，}$ 是二次函数方程

显示样式x~{big（}G_{{C_{n}}（x）{big）}^{2} -G_{{C_{n}}（x）+1=0.\，}

依据的顺序

(...)

远期差额

｛\displaystyle C_｛n+1｝-C_｛n｝=｛\frac｛3n｝｛n+2｝｝~C_｛n｝，\fquad n\geq 0.\，｝

部分金额

{\显示样式\sum_{n=0}^{m} C类_{n} =~？\，}

往复运动的部分和

{\显示样式\sum_{n=0}^{m}{\frac{1}{C_{n}}=~？\，}

倒数总和

{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{C_{n}}}=~？\，}

序列

加泰罗尼亚数字: ${\显示样式\脚本样式C_{n}\，}$ 给出的平衡括号数 ${\显示样式\脚本样式n，\，n\，\geq\，0，\，}$ “（”和 ${\显示样式\脚本样式n，\，n\，\geq\，0，\，}$ “）”（分别用“1”和“0”表示）（参见。A000108号)

{1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, ...} =

{#{ { } }, #{ {10} }, #{ {1010}, {1100} }, #{ {101010}, {101100}, {110010}, {110100}, {111000} }, #{ {10101010}, {10101100}, {10110010}, {10110100}, {10111000}, {11001010}, {11001100}, {11010010}, {11010100}, {11011000}, {11100010}, {11100100}, {11101000}, {11110000} }, ...}

另请参见