无理数

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无理数是不能用比率共两个整数（不是有理数); 换句话说，它们不是任何线性多项式，即不代数数一级。无理数是

• 无理代数数（a的根多项式的最小二次或更高，即二次或更多代数数）；或
• 超越数（一个根无穷幂级数).

先验数显然是无理的；最多（无数：

2 ℵ0

)无理数是超越的，而只有可数的多，

ℵ0

，是代数的.

无理数的有理逼近

有理数可以用来近似无理数。最好的有理逼近从收敛从简单连分式.

赫尔维茨的一个定理改进了Dirichlet早期的工作和Vahlen，表示对于任何无理数

ξ

，有无穷多个有理逼近

米 /n个

具有

${\displaystyle\left|\xi-{\frac{m}{n}}\right|<{\frac{1}{n^{2}{\sqrt{5}}}}$

这个定理在以下意义上是尖锐的

2√  5

不能用较大的数字替换，指数也不能

2

替换为较大的数字（即使允许用任意小的正数代替

2√  5

). 然而，通过省略某些类别的代数数（例如黄金比率

φ

)，常数可以改进为

2√  9 − 4 / [A002559号(n个)] 2

例如，对于任何无理数

ξ

不符合形式

${\显示样式{\frac{a\varphi+b}{c\varphi+d}}，\quad ad-bc=\pm 1，}$

有无穷多的有理逼近

米 /n个

具有

${\displaystyle\left|\xi-{\frac{m}{n}}\right|<{\frac{1}{n^{2}{\sqrt{8}}.}$出于这个原因

φ

有时被认为是“最无理数”：部分分母它的单连分式是

1

使其成为收敛逼近的最坏情况。

数字的无理性

给定数字的不合理性并不总是可以肯定的。自年月日起毕达哥拉斯，众所周知

2√  2

是不合理的，但直到18岁^第个世纪证明了

e（电子）

和

π

是非理性的（和超越的），20^第个世纪阿佩里常数

ζ (3)

以及Euler-Mascheroni常数

γ

是一个未决问题.