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1, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 5, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 20, 9, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52, 64, 48, 17, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52, 64, 49, 22, 15, 23, 28, 35, 52, 65, 56, 43, 53, 74, 91, 122, 168, 176, 112, 33, 4, 7, 9, 10, 15, 22, 21, 14, 15, 23, 28, 35, 52
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
配方奶粉
通用公式:(1+x)*Prod_{n>=1}(1+x^(2^n-1)+2*x^-N.J.A.斯隆,2009年5月20日,2009年05月21日更正
例子
三角形开始:
.1;
.2;
.3,3;
.4,7,8,5;
.4,7,9,10,15,22,20,9;
.4,7,9,10,15,22,21,14,15,23,28,35,52,64,48,17;
....
MAPLE公司
Maple代码来自N.J.A.斯隆,2009年5月18日。首先定义偏移量为1的旧版本:
S: =proc(n)选项记忆;局部i,j;
如果n<=0,则返回(0);fi;
如果n<=2,则返回(2^(n-1));fi;
i: =地板(对数(n)/对数(2));
j: =n-2^i;
如果j=0,则返回(n/2+1);fi;
如果j<2^i-1,则返回(2*S(j)+S(j+1));fi;
如果j=2^i-1,则返回(2*S(j)+S(j+1)-1);fi;
-1;
结束;
#现在更改偏移:
T: =n->S(n+1);
G:=(1+x)*mul(1+x^(2^k-1)+2*x^;
数学
nmax=78;
G=x*((1+x)/(1-x))*乘积[(1+x^(2^n-1)+2*x^;
交叉参考
对于(a,b,c)的下列值,有关形式为Prod_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)的生成函数,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
作者
奥马尔·波尔,2008年12月16日,2008年11月19日,2009年1月2日
G.f.:产品{k>=1}(1+x^(2^k-1)+x^(2^k))。
+10 18
1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 5, 7, 8, 9, 12, 14, 11, 5, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 5, 7, 8, 9, 12, 14, 11, 5, 2, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 5
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
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对于0≤n≤3,a(n)=1;然后写n=2^i+j,其中0<=j<2^i,然后写a(n)=a(j)+a(j+1),除了a(2^(i+1)-2)=a。
例子
写成三角形:
1;
1;
1,1;
2,2,1,1;
2,2,2,3,4,3,1,1;
2,2,2,3,4,3,2,3,4,4,5,7,7,4,1,1;
2,2,2,3,4,3,2,3,4,4,5,7,7,4,2,3,4,4,5,7,7,5,5,7,8,9,12,14,11,5,1,1;
2,2,2,3,4,3,2,3,4,4,5,7,7,4,2,3,4,4,5,7,7,5,5,7,8,9,12,14,11,5,2,3,4,4,5,7,7,5,5,...
MAPLE公司
G:=mul(1+x^(2^n-1)+x^(2^n),n=1..20);
wt:=proc(n)局部w,m,i;w:=0;m:=n;当m>0时,i:=m mod 2;w:=w+i;m:=(m-i)/2;od;w;结束时间:
f: =proc(n)局部t1,k;全局wt;t1:=0;对于从0到20的k,如果n+k模2=0,则t1:=t1+二项式(wt(n+k),k);fi;od;t1;结束;
数学
a[n_]:=总和[If[EvenQ[n+k],二项式[DigitCount[n+k,2,1],k],0],{k,0,Floor[Log2[n+1]]}];数组[a,100,0](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月29日*)
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
g.f.Product_{n>=1}(1+x^(2^n-1)+2*x^。
+10 16
1, 1, 2, 1, 3, 4, 4, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 8, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 9, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 32, 16, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 9, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 32, 17, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 33, 23, 20, 33, 41, 50, 72, 96, 80, 32, 1, 3, 4, 5, 5, 10, 12, 9, 5, 10, 13, 15, 20, 32, 32, 17, 5, 10, 13
评论
这个序列和亚当森的评论都在Applegate-Pol-Sloane文章中提到,参见第8章“生成函数”-奥马尔·波尔,2011年9月20日
参考文献
D.Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,《细胞自动机中的牙签序列和其他序列》,国会数值,第206卷(2010年),第157-191页
配方奶粉
要获得良好的重现性,请将偏移量更改为0,然后将g.f.乘以x,就像示例行中的三角形一样。那么我们有:a(0)=0;a(2^i)=1;当i>=1时,a(2^i-1)=2^(i-1);否则写n=2^i+j,其中1<=j<=2^i-2,则a(n)=a(2^i+j)=2*a(j)+a(j+1)。
例子
可以写为三角形:
0;
1;
1,2;
1,3,4,4;
1,3,4,5,5,10,12,8;
1,3,4,5,5,10,12,9,5,10,13,15,20,32,32,16;
1,3,4,5,5,10,12,9,5,10,13,15,20,32,32,17,5,10,13,15,20,32,33,23,20,33,41,...
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)51550英镑, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
G.f.:产品{k>=0}(1+x^(2^k-1)+x^(2^k))。
+10 15
2, 3, 3, 3, 5, 6, 4, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 5, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 7, 8, 11, 12, 14, 19, 21, 15, 6, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 7, 8, 11, 12, 14, 19, 21, 15, 8, 8, 11, 12, 14, 19, 21, 17, 15, 19, 23, 26, 33, 40, 36, 21, 7, 3, 5, 6, 6, 8, 11, 10, 7, 8, 11, 12, 14, 19, 21, 15, 8, 8
评论
Applegate-Pol-Sloane文章中提到的顺序;参见第9节“显式公式”-奥马尔·波尔,2011年9月20日
参考文献
D.Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,《细胞自动机中的牙签序列和其他序列》,国会数值,第206卷(2010年),第157-191页
配方奶粉
对于k>=1,a(2^k-2)=k+1,a(2 ^k-1)=3;否则,如果n=2^i+j,0<=j<=2^i-3,a(n)=a(j)+a(j+1)。
例子
a(5)=二项式(2,0)+二项式1 + 2 + 3 + 0 + 0 + 0 + ... = 6
三角形开始:
2;
三;三;
3,5,6,4;
3,5,6,6,8,11,10,5;
3,5,6,6,8,11,10,7,8,11,12,14,19,21,15,6;
3,5,6,6,8,11,10,7,8,11,12,14,19,21,15,8,8,11,12,14,19,21,17,15,19,23,26,...
(结束)
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
G.f.:产品{n>=0}(1+x^(2^n-1)+2*x^。
+10 14
2, 4, 6, 6, 8, 14, 16, 10, 8, 14, 18, 20, 30, 44, 40, 18, 8, 14, 18, 20, 30, 44, 42, 28, 30, 46, 56, 70, 104, 128, 96, 34, 8, 14, 18, 20, 30, 44, 42, 28, 30, 46, 56, 70, 104, 128, 98, 44, 30, 46, 56, 70, 104, 130, 112, 86, 106, 148, 182, 244, 336, 352, 224, 66, 8, 14, 18, 20, 30, 44
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
配方奶粉
a(n)=和{k>=0}2^(wt(n+k)-k)*二项式。
例子
如果写为三角形,则开始:
2;
4;
6, 6;
8, 14, 16, 10;
8, 14, 18, 20, 30, 44, 40, 18;
8, 14, 18, 20, 30, 44, 42, 28, 30, 46, 56, 70, 104, 128, 96, 34;
...
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
a(n)=总和{k>=0}bin2(wt(n+k),k+1),其中bin2(i,j)=A013609号(i,j),重量(i)=A000120号(i) ●●●●。
+10 11
3, 7, 5, 7, 17, 17, 7, 7, 17, 17, 19, 41, 51, 31, 9, 7, 17, 17, 19, 41, 51, 31, 21, 41, 51, 55, 101, 143, 113, 49, 11, 7, 17, 17, 19, 41, 51, 31, 21, 41, 51, 55, 101, 143, 113, 49, 23, 41, 51, 55, 101, 143, 113, 73, 103, 143, 161, 257, 387, 369, 211, 71, 13, 7, 17, 17, 19, 41, 51
评论
或者,a(n)=和{k>=0}2^wt(k)*二项式(wt(n+k),k)。
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
配方奶粉
G.f.:产品{k>=0}(1+2*x^(2^k-1)+x^。
例子
三角形开始:
.3;
.7,5;
.7,17,17,7;
.7,17,17,19,41,51,31,9;
.7,17,17,19,41,51,31,21,41,51,55,101,143,113,49,11;
.7,17,17,19,41,51,31,21,41,51,55,101,143,113,49,23,41,51,55,101,143,113,...
(结束)
MAPLE公司
bin2:=proc(n,k)选项记忆;如果k<0或k>n,则为0
elif k=0,然后1个其他2*bin2(n-1,k-1)+bin2(n-1,k);fi;结束;
wt:=proc(n)局部w,m,i;
w:=0;m:=n;当m>0时,i:=m mod 2;w:=w+i;m:=(m-i)/2;od;w;结束时间:
f: =n->添加(bin2(wt(n+k),k),k=0..120);
#或:
f:=n->加(2^k*二项式(wt(n+k),k),k=0..20);
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号.
G.f.:产品{k>=1}(1+2*x^(2^k-1)+x^。
+10 11
1, 2, 1, 2, 5, 4, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 8, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 8, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 16, 29, 38, 41, 72, 105, 88, 41, 10, 1, 2, 5, 4, 5, 12, 13, 6, 5, 12, 13, 14, 29, 38, 25, 8, 5, 12, 13, 14, 29
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
例子
三角形开始:
1;
2,1;
2,5,4,1;
2,5,4,5,12,13,6,1;
2,5,4,5,12,13,6,5,12,13,14,29,38,25,8,1;
2,5,4,5,12,13,6,5,12,13,14,29,38,25,8,5,12,13,14,29,38,25,16,29,38,41,72,...
(结束)
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
G.f.:产品{k>=0}(1+2*x^(2^k-1)+2*x ^(2 ^k))。
+10 10
3, 8, 10, 10, 22, 36, 28, 14, 22, 36, 40, 64, 116, 128, 72, 22, 22, 36, 40, 64, 116, 128, 84, 72, 116, 152, 208, 360, 488, 400, 176, 38, 22, 36, 40, 64, 116, 128, 84, 72, 116, 152, 208, 360, 488, 400, 188, 88, 116, 152, 208, 360, 488, 424, 312, 376, 536, 720, 1136, 1696, 1776
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
例子
三角形开始:
三;
8,10;
10,22,36,28;
14,22,36,40,64,116,128,72;
22,22,36,40,64,116,128,84,72,116,152,208,360,488,400,176;
38,22,36,40,64,116,128,84,72,116,152,208,360,488,400,188,88,116,152,208,...
(结束)
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
G.f.:产品{k>=1}(1+2*x^(2^k-1)+2*x ^(2 ^k))。
+10 10
1, 2, 2, 2, 6, 8, 4, 2, 6, 8, 8, 16, 28, 24, 8, 2, 6, 8, 8, 16, 28, 24, 12, 16, 28, 32, 48, 88, 104, 64, 16, 2, 6, 8, 8, 16, 28, 24, 12, 16, 28, 32, 48, 88, 104, 64, 20, 16, 28, 32, 48, 88, 104, 72, 56, 88, 120, 160, 272, 384, 336, 160, 32, 2, 6, 8, 8, 16, 28, 24, 12, 16, 28, 32, 48, 88
链接
David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane,细胞自动机中的牙签序列和其他序列《国会数值》,第206卷(2010年),第157-191页。[定理6中有一个错误:对于n>=2,(13)应为u(n)=4.3^(wt(n-1)-1)。]
例子
三角形开始:
1;
2,2;
2,6,8,4;
2,6,8,8,16,28,24,8;
2,6,8,8,16,28,24,12,16,28,32,48,88,104,64,16;
2,6,8,8,16,28,24,12,16,28,32,48,88,104,64,20,16,28,32,48,88,104,72,56,88,...
(结束)
数学
系数列表[系列[积[1+2x^(2^k-1)+2x^2^k,{k,10}],{x,0,80}],x](*哈维·P·戴尔,2020年10月7日*)
交叉参考
对于Product_{k>=c}(1+a*x^(2^k-1)+b*x^2^k)形式的生成函数(a,b,c)的以下值,请参见:(1,1,0)A160573型, (1,1,1)A151552号, (1,1,2)A151692号, (2,1,0)A151685号, (2,1,1)A151691号, (1,2,0)A151688号和A152980型, (1,2,1)A151550号, (2,2,0)A151693号, (2,2,1)A151694号
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