搜索： a097054-编号：a097052
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5, 11, 46, 2536, 558640, 572783, 3362407, 7928108, 8928803, 67460050, 106938971, 1763350849, 2501641555, 2756149047, 4584349318, 5713606932, 17941228664, 375376083513, 411124334926, 452894760105, 1167680330892, 1933159894790, 1946131548918, 2506032014606, 2507269866902, 8217688694093
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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经验上，包含两个以上非方完全幂的连续正方形之间似乎没有间隔。
很容易看出，n^2和（n+1）^2之间的两个不同幂必然是x^p和y^q的形式，其中p，q是不同的奇素数。在前180个术语中，只有4个属于（p，q）=（3,7）类型，其他所有术语都属于（3,5）类型。q=11的第一项，如果存在，则为>（1e6）^（11/2）=1e33-M.F.哈斯勒2021年1月18日
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链接
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例子
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a（1）=5:5^2＜3^3＜2^5＜6^2，
a（2）=1:11^2＜5^3＜2^7＜12^2，
a（3）=46:46^2=2116<3^7=2187<13^3=2197<47^2=2209。
a（4）=2536:2536 ^2=6431296<186 ^3=6434856<23 ^5=6436343<2537 ^2=64 36369。
22不在序列中，因为2^9和8^3（22^2<512<23^2）不不同。
此外，181没有列出，因为在181^2和182^2之间只有32^3=8^5。
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=我的（s，t）；对于素数（p=3,2*log（n+1.5）\log（2），t=楼层（n+1）^（2/p））；如果（t^p>n^2&&！ispower（t）&&s++>1，返回（1））；0 \\查尔斯·格里特豪斯四世2012年12月11日
（PARI）haspow（下，上，eMin，eMax）=如果（sqrtnint（上，3）^3>下，返回（1））；对于素数（e=eMin，eMax，if（sqrtnint（upper，e）^e>lower，return（1）））；0
列表（lim）=lim\=1；my（v=列表（），M=（lim+1）^2，L=登录（M，2），s）；forprime（e=5，L，forprime（p=2，sqrtnint（M，e），s=平方（p^e）；if（haspow（s^2，（s+1）^2-1，e+1，L）&&s<=lim，listput（v，s））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年11月5日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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a（21）-a（26）来自大卫·沃瑟曼2007年12月17日
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状态
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经核准的
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2, 5, 11, 14, 15, 18, 22, 31, 36, 41, 45, 46, 52, 55, 58, 70, 76, 82, 88, 89, 90, 96, 103, 110, 117, 129, 132, 140, 148, 156, 164, 172, 181, 189, 198, 207, 225, 234, 243, 252, 262, 272, 279, 281, 291, 301, 311, 316, 322, 332, 353, 362, 364, 374, 385, 396, 401
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（1）=2是因为2^2<2^3<3^2，a（2）=5:5^2<3^3<2^5<6^2，b（3）=11:11^2<5^3<2 ^7<12^2。
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数学
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nn=1000^2；pp=选择[Union[Flatten[Table[n^i，{i，Prime[Range[2，PrimePi[Log[2，nn]]]}，{n，2，nn^（1/i）}]]！整数Q[Sqrt[#]]&]；工会[楼层[Sqrt[pp]]](*T.D.诺伊，2011年4月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）为（n）=my（n2=n^2，t=n2+2*n）；对于（e=3，logint（t，2），如果（sqrtnint（t，e）^e>n2，return（1）））；0 \\查尔斯·格里特豪斯四世2016年8月28日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A001597号
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| 完美幂：m^k，其中m>0且k>=2。
（原名M3326 N1336）
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+10
566
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1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1331, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1728, 1764
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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a（1）=1，对于n>=2:a（n）=数字m，使得x=m的完美除数之和没有解。n的完美除数是除数d，因此对于某些k>=1，d^k=n。对于n>=2，a（n）是175082英镑. -雅罗斯拉夫·克里泽克2010年1月24日
加泰罗尼亚猜想（现在是一个定理）是1只出现一次，作为8和9之间的差异。
有关加泰罗尼亚猜想的证明，请参阅Metsänkylä的论文-L.埃德森·杰弗里2013年11月29日
m^k是最大的数字n，因此（n^k-m）/（n-m）是一个整数（对于k>1和m>1）-德里克·奥尔2014年5月22日
a（n）对n^2是渐近的，因为立方体和高次方之间的密度为0。例如。，
a（10^1）=49（10^2的49%），
a（10^2）=6400（10^4的64%），
a（10^3）=804357（10^6的80.4%），
a（10^4）=90706576（10^8的90.7%），
a（10^n）~10^（2n）-o（10^（2 n））。（结束）
a（10^n）：1，49，6400，804357，90706576，9565035601，979846576384，9906667994176，995676024324489-罗伯特·威尔逊v，2014年8月15日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第66页。
雷内·斯科夫（RenéSchoof），《加泰罗尼亚人的猜想》，斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag），2008年，第1页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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H.W.古尔德，问题H-170，光纤。夸脱。，8（1970年），第268页，问题H-170。
拉斐尔·贾基姆祖克，论完全权力的分配，《整数序列杂志》，第14卷（2011年），第11.8.5条。
唐纳德·纽曼，问题研讨会，施普林格；参见问题#72。
M.A.Nyblom，完全幂序列的计数函数澳大利亚。数学。Soc.Gaz公司。33 (2006), 338-343.
米歇尔·沃尔德施米特，开放丢番图问题，arXiv:math/0312440[math.NT]，2003-2004。
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配方奶粉
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哥德巴赫证明了Sum{n>=2}1/（a（n）-1）=1。
2002年不同作者发布到数论列表的公式：
和{i>=2}和{j>=2}1/i^j=1；
和{k>=2}1/（a（k）+1）=Pi^2/3-5/2；
求和{k>=2}1/a（k）=求和{n>=2}mu（n）（1-泽塔（n））近似值=0.87443686840494…参见A072102号.
有关渐近线，请参阅Newman。
a（n）=n^2-2*n^（5/3）-2*n（7/5）+（13/3）*n（4/3）-2*n（9/7）+2*n-阿米拉姆·埃尔达尔，2023年6月30日
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MAPLE公司
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isA001597:=进程（n）
局部e；
e:=seq（op（2，p），p=ifactors（n）[2]）；
返回（igcd（e）>=2或n=1）；
结束进程：
选项记忆；
局部a；
如果n=1，则
1;
其他的
对于来自procname（n-1）+1 do的a
如果是A001597（a），则
返回a；
结束条件：；
结束do；
结束条件：；
结束进程：
N： =10000:#以获取所有条目<=N
排序（{1，seq（seq（a^b，b=2..floor（log[a]（N））），a=2..floor[平方码（N）]）}）#罗伯特·费雷奥2023年7月18日
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数学
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最小值=0；最大值=10^4；Union@Flatten@桌子[n^expo，{expo，Prime@Range@PrimePi@Log2@max}，{n，地板[1+min^（1/expo）]，max^（1/expo）}](*T.D.诺伊2011年4月18日；由略微修改罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）
perfectPowerQ[n_]：=n==1||GCD@@FactorInteger[n][[All，2]]>1；选择[Range@1765，perfectPowerQ](*蚂蚁王2013年6月29日；由略微修改罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）
nextPerfectPower[n_]：=如果[n==1，4，Min@Table[（Floor[n^（1/k）]+1）^k，{k，2，1+Floor@Log2@n}]]；NestList[nextPerfectPower，1，55](*罗伯特·威尔逊v2014年8月11日*）
连接[{1}，选择[Range[2000]，GCD@@FactorInteger[#][[All，2]]>1&]](*哈维·P·戴尔2018年4月30日*）
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黄体脂酮素
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（Magma）[1]cat[2..1000]|IsPower（n）]中的n：n；
（PARI）{a（n）=局部（m，c）；如果（n<2，n==1，c=1；m=1；而（c<n，m++；if（ispower（m），c++））；m）}/*迈克尔·索莫斯2009年8月5日*/
（PARI）列表（lim）=my（v=列表（向量（平方（lim=1），n，n^2））；对于（e=3，logint（lim，2），对于（n=2，sqrtnint（lim、e），listput（v，n^e））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2019年12月10日
（圣人）
如果k是perfect_power（），则返回[k代表（1..n）中的k
（哈斯克尔）
导入数据。映射（singleton、findMin、deleteMin、insert）
a001597 n=a001597_列表！！（n-1）
（a001597_列表，a025478_列表，a 025479_列表）=
解压缩3$（1,1,2）：f 9（3,2）（单例4（2,2）），其中
f zz（bz，ez）米
|xx<zz=（xx，bx，ex）：
f zz（bz，ez+1）（插入（bx*xx）（bx，ex+1）$删除最小值m）
|xx>zz=（zz，bz，2）：
f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）（插入（bz*zz）（bz，3）m）
|否则=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）m
其中（xx，（bx，ex））=findMin m--bx^ex==xx
（Python）
来自sympy import perfect_power
def-ok（n）：返回n==1或perfect_power（n）
打印（[m表示范围内的m（1765），如果正常（m）]）#迈克尔·布拉尼基2021年1月4日
（Python）
导入交响乐
定义__init__（自身）：
自身.a=[1]
定义（self，n）：
如果n<=len（self.a）：
返回自身。a[n-1]
其他：
cand=（n-1）+1时的自身
while sympy.perfect_power（cand）==错误：
坎迪+=1
自我a.append（cand）
返回cand
对于范围（1，20）中的n：
打印（a001597.at（n））#R.J.马塔尔2023年3月28日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A023055号,A023057号,A025478号,A070428号,A072102号,A074981号,A076404号,239728元,A239870型,A097054美元,A089579号,A089580型.
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 8, 27, 32, 64, 125, 128, 216, 243, 343, 512, 729, 1000, 1024, 1331, 1728, 2048, 2187, 2197, 2744, 3125, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 7776, 8000, 8192, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 16384, 16807, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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链接
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配方奶粉
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求和{n>=1}1/a（n）=1+求和{k>=1}mu（2*k+1）*（1-zeta（2*k+1））=1.2479294392-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月21日
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MAPLE公司
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N： =10^6:#获取所有术语<=N
{1，seq（seq（a^（2*k+1），k=1..层（log[a]（N）-1）/2）），a=2..层（N^（1/3））}；
#如果使用Maple 11或更早版本，请取消注释下一行
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数学
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nn=27000；连接[{1}，并集[Flatten[表[n^i，{i，素数[Range[2，PrimePi[Log[2，nn]]]}，{n，2，nn^（1/i）}]](*T.D.诺伊2011年4月19日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（[1]））；对于步骤（e=3，log（lim）\log（2），2，对于（n=2，sqrtnint（lim\1，e），listput（v，n^e））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2015年4月20日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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32, 128, 243, 2048, 2187, 3125, 7776, 8192, 16807, 78125, 100000, 131072, 161051, 177147, 248832, 279936, 371293, 524288, 537824, 759375, 823543, 1419857, 1594323, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 8388608, 10000000, 11881376, 17210368
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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链接
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配方奶粉
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求和{n>=1}1/a（n）=1-泽塔（2）-泽塔[3]+泽塔（6）+求和{k>=2}μ（k）*（1-泽塔（k））=0.0448164603-阿米拉姆·埃尔达尔2020年12月21日
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例子
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279936包含在内，因为279936=6^7是幂，而这不是正方形或立方体。
59049=9^5不包括在内，因为这是一个正方形243^2=59049。
32768=8^5不包括在内，因为这是一个立方体32^3=32768。
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（i=1,2^25，如果（gcd（ispower（i），6）==1，print（i）））
（哈斯克尔）
导入数据。映射（singleton、findMin、deleteMin、insert）
a239728 n=a239728_列表！！（n-1）
a239728_list=f 9（3，2）（单例4（2，2）），其中
f zz（bz，be）米
|xx<zz&&gcd 6 be>1=
f zz（bz，be+1）（插入（bx*xx）（bx，be+1，$deleteMin m）
|xx<zz=xx：
f zz（bz，be+1）（插入（bx*xx）（bx，be+1）$deleteMin m）
|xx>zz=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）（插入（bz*zz）（bz，3）m）
|否则=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）m
其中（xx，（bx，be））=findMin m
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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4, 9, 16, 32, 36, 49, 81, 121, 128, 144, 169, 196, 243, 256, 324, 400, 441, 484, 576, 625, 841, 900, 961, 1024, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1849, 1936, 2025, 2048, 2187, 2209, 2304, 2401, 2601, 2704, 2916, 3025, 3125, 3249, 3364, 3600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
导入数据。映射（singleton、findMin、deleteMin、insert）
a239870 n=a239870_列表！！（n-1）
a239870_list=f 9（3，2）（单例4（2，2）），其中
f zz（bz，ez）米
|xx<zz=如果ex`mod`3>0
然后xx:f zz（bz，ez+1）（插入（bx*xx）（bx，ex+1）$deleteMin m）
其他f zz（bz，ez+1）（插入（bx*xx）（bx，ex+1）$deleteMin m）
|xx>zz=如果ez`mod`3>0
然后是zz:f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）（插入（bz*zz）（bz，3）m）
否则f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）（插入（bz*zz）（bz，3）m）
|否则=f（zz+2*bz+1）（bz+1，2）m
其中（xx，（bx，ex））=findMin m--bx^ex==xx
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交叉参考
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关键词
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非n,光电池
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作者
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状态
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经核准的
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4, 9, 25, 225, 676, 2116, 6724, 7921, 8100, 16641, 104329, 131044, 160801, 176400, 372100, 389376, 705600, 4096576, 7306209, 7884864, 47444544, 146385801, 254817369, 373262400, 607622500, 895804900, 1121580100, 1330936324, 1536875209, 2097182025, 2258435529, 2749953600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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显然，所有已知项（通过10^18检查）都是最大指数为2的平方，即A111245号（不是高次方的正方形）。这意味着在三个紧邻的完全幂中，至少有一个是11245英镑.是否有一个已知的3个连续完全幂的反例，其中没有一个A111245号?
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链接
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例子
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第一项，假设1至少是一个立方体：
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n p1 x ^p1 p2 a（n）p3 z ^p3
=y^p2
1 >2 1 2 4 3 8
2 3 8 2 9 4 16
3 4 16 2 25 3 27
4 3 216 2 225 5 243
5 4 625 2 676 6 729
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黄体脂酮素
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（PARI）a340642（极限）={my（p2=999，p1=2，n2=1，n1=4）；对于（n=5，极限，my（p0=i功率（n））；如果（p0>1，如果（p2>2&p0>2，打印1（n1，“，”）；n2=n1；n1=n；p2=p1；p1=p0））}；
a340642（50000000）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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4, 9, 16, 25, 32, 36, 49, 81, 100, 121, 128, 144, 169, 196, 225, 243, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2048, 2116, 2187, 2209, 2304, 2401, 2500
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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filter：=proc（n）局部g；
g： =igcd（op（i因子（n）[2][..，2]））；
g>1和（g mod 3<>0）
结束进程：
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数学
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选择[Range[2，2500]，（g=GCD@@FactorInteger[#][[；；，2]]）>1&&！可分[g，3]&](*阿米拉姆·埃尔达尔2021年1月12日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）对于（n=22500，如果（ispower（n）%3，print1（n，“，”））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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2, 3, 5, 15, 26, 46, 82, 89, 90, 129, 323, 362, 401, 420, 610, 624, 840, 2024, 2703, 2808, 6888, 12099, 15963, 19320, 24650, 29930, 33490, 36482, 39203, 45795, 47523, 52440, 66050, 69168, 83408, 94248, 94863, 103683, 114284, 164399, 185364, 206442, 222785, 227530, 229180
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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在数据范围内，a（n）^2=A340642型（n） 即，没有3个min（p1，p2，p3）>2的立即连续完美幂x^p1，y^p2，z^p3。有反例吗？
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链接
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黄体脂酮素
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（PARI）a340643（极限）={my（p2=999，p1=2，n2=1，n1=4）；对于（n=5，极限，my（p0=ispower（n））；如果（p0>1，如果（issquare（n1）&p2>2&p0>2，打印1（平方（n1，“，”））；n2=n1；n1=n；p2=p1；p1=p0）}；
a340643（10^8）
（PARI）小于等于（n）={n*=n；我的（v=列表（），res=列表（[2]））；对于（i=2，sqrtnint（n，3），对于（e=3，logint（n，i），listput（v，i^e））；）；列表排序（v，1）；对于-发行方（v[i+1））；））；res}
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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24, 40, 54, 56, 88, 96, 104, 120, 135, 136, 152, 160, 168, 184, 189, 216, 224, 232, 248, 250, 264, 270, 280, 296, 297, 312, 328, 344, 351, 352, 375, 376, 378, 384, 408, 416, 424, 440, 456, 459, 472, 480, 486, 488, 513, 520, 536, 544, 552, 568, 584, 594, 608, 616
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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配方奶粉
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例子
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24=2^3*3^1在这个序列中，因为它有两个不同的素因子，它们的重数是奇数，其中一个重数超过1。
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数学
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选择[Select[Range[1000]，Nor[SquareFreeQ[#]，PrimePowerQ[#]]&]，Times@@FactorInteger[#][[All，1]]==（Sqrt[#]/.（c_1）*a_^（b_0）：>（c*a^b）^2）&]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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