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1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 17, 21, 25, 29, 35, 41, 48, 56, 66, 76, 89, 103, 119, 137, 159, 181, 209, 239, 273, 312, 356, 404, 460, 522, 591, 669, 757, 853, 963, 1085, 1219, 1371, 1539, 1725, 1933, 2164, 2418, 2702, 3016, 3362, 3746, 4171, 4637, 5155
评论
这些“将n划分为不同部分>=k”和“将n分为不同部分，最小的是k-1”以相似的、几乎移位但不相同的序列对出现：
定义中的区别在于，“distinct parts>=k”为所有部分设置了下限，而“The least being…”意味着下限必须由其中一个部分达到。（结束）
上述列表第一列和第二列中序列的生成函数和Maple程序分别为：
f： =过程（k）乘积（1+x^j，j=k..100）：系列（%，x，100）：系列列表（%）；结束；
g： =程序（k）x^（k-1）*乘积（1+x^j，j=k..100）：系列（%，x，100）：系列列表（%）；结束；（结束）
此外，n+1划分为不同部分的分区数，最少为1。
1+[1,3]+[1,4]+的不同和数+[1，n]-乔恩·佩里2004年1月1日
另外，如果k是最大的部分，那么从1到k的所有部分都会发生，k至少会发生两次。例如：a（7）=3，因为我们有[2,2,2,1]、[2,2,1,1,1]和[1,1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年4月9日
还有n+1的分区数，如果k是最大的部分，那么从1到k的所有部分都会发生，k只发生一次。例如：a（7）=3，因为我们有[3,2,2,1]、[3,2,1,1]和[2,1,1,1]（有一个简单的双射，其中包含前面定义的分区）-Emeric Deutsch公司2006年4月9日
此外，n+1划分为不同部分的分区数，其中部分数本身就是一个部分-莱因哈德·祖姆凯勒2007年11月4日
通常，将n划分为不同部分的分区数（如升序列表），例如第一部分不是1，第二部分不是2，第三部分不是3，等等，请参见示例-乔格·阿恩特2013年6月10日
参考文献
Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的概括》，《数学与计算机教育》，第31卷，第1期，第24-28页，1997年冬季。数学教育数据库（Zentralblatt MATH，1997c.01891）。
Mohammad K.Azarian，《爬楼梯问题的一般化II》，《密苏里数学科学杂志》，第16卷，第1期，2004年冬季，第12-17页。Zentralblatt MATH，Zbl 1071.05501。
配方奶粉
G.f.：产品{k>=2}（1+x^k）。
a（n）=t（n，1），其中t（n、k）=1+Sum_{i>j>k和i+j=n}t（i，j），2<=k<=n-莱因哈德·祖姆凯勒，2003年1月1日
通用公式：1+Sum_{k=1..infinity}（x^（k*（k+3）/2）/Product_{j=1..k}（1-x^j））-Emeric Deutsch公司2006年4月9日
前面的g.f.是g.f.的特例，用于将其划分为不同的部分>=L，Sum_{n>=0}（x^（n*（n+2*L-1）/2）/Product_{k=1..n}（1-x^k））-乔格·阿恩特2011年3月24日
G.f:Sum_{n>=1}（x^（n*（n+1）/2-1）/Product_{k=1..n-1}（1-x^k）），是G.f.的特例，用于划分成不同部分>=L，Sum_}n>=L-1}-乔格·阿恩特2011年3月27日
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（8*3^（1/4）*n^（3/4））。
（结束）
例子
a（7）=3，来自{{3,4}，{2,5}，}
有一个17的（17）=21分区，分成不同的部分>=2：
01: [ 2 3 4 8 ]
02: [ 2 3 5 7 ]
03: [ 2 3 12 ]
04: [ 2 4 5 6 ]
05: [ 2 4 11 ]
06: [ 2 5 10 ]
07: [ 2 6 9 ]
08: [ 2 7 8 ]
09: [ 2 15 ]
10: [ 3 4 10 ]
11: [ 3 5 9 ]
12: [ 3 6 8 ]
13: [ 3 14 ]
14: [ 4 5 8 ]
15: [ 4 6 7 ]
16: [ 4 13 ]
17: [ 5 12 ]
18: [ 6 11 ]
19: [ 7 10 ]
20: [ 8 9 ]
21: [ 17 ]
（结束）
MAPLE公司
g： =乘积（1+x^j，j=2.65）：gser：=系列（g，x=0，62）：seq（系数（gser，x，n），n=0..57）#Emeric Deutsch公司2006年4月9日
带（combstruct）：ZL:=｛L=PowerSet（Sequence（Z，card>=2））｝，未标记：seq（count（[L，ZL]，size=i），i=0..57）#零入侵拉霍斯2007年3月9日
数学
系数列表[系列[积[1+q^n，{n，2，60}]，{q，0，60}]，q]
FoldList[分区Q[#2+1]-#1&，0，范围[64]]
（*也*）
d[n_]：=选择[IntegerPartitions[n]，最大[Length/@Split@#]==1&Min[#]>=2&]；表[d[n]，{n，12}]（*严格分区，部分>=2*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a025147=p 2，其中
p _ 0=1
p k m=如果m<k，则0，否则p（k+1）（m-k）+p（k+1m）
（PARI）a（n）=如果（n，my（v=分区（n））；求和（i=1，#v，v[i][1]>1&&v[i]==向量排序（v[i]，8）），1）\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
0, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 17, 21, 25, 29, 35, 41, 48, 56, 66, 76, 89, 103, 119, 137, 159, 181, 209, 239, 273, 312, 356, 404, 460, 522, 591, 669, 757, 853, 963, 1085, 1219, 1371, 1539, 1725, 1933, 2164, 2418, 2702, 3016, 3362, 3746, 4171, 4637
评论
a（n）也是n划分为不同部分的所有分区中1的总数。对于n=6，有分区[6]、[5,1]、[4,2]、[3,2,1]，只有两个包含1，因此a（6）=2-T.阿姆德伯汉2012年5月13日
a（n），n>1是[0,1,1]与周期[0,1]结合的Euler变换-乔治·菲舍尔2020年8月15日
配方奶粉
G.f.：x*产品{j=2..无限}（1+x^j）-R.J.马塔尔2008年7月31日
G.f.：x/（（1+x）*Product_｛k>0｝（1-x^（2*k-1）））-迈克尔·索莫斯2016年9月10日
通用公式：和{k>0}x^（k*（k+1）/2）/产品{j=1..k-1}（1-x^j）-迈克尔·索莫斯2016年9月10日
例子
G.f.=x+x ^3+x ^4+x ^5+2*x ^6+2*x^7+3*x ^8+3*x^9+5*x ^10+5*x^11+。。。
MAPLE公司
b： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（n=0，1，`如果`（（i-1）*（i+2）/2<n，0，
加（b（n-i*j，i-1），j=0..分钟（1，n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n<1，0，b（n-1$2））：
#使用函数EULER from Transforms（请参阅页面底部的链接）。
[0，1，op（欧拉（[0,1，seq（irem（n，2），n=1..56）]）#彼得·卢什尼2020年8月19日
数学
a[n_]：=系列系数[x/（（1+x）乘积[1-x^j，{j，1，n，2}]），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯2016年9月10日*）
a[n_]：=如果[n<0，0，级数系数[Sum[x^（k（k+1）/2）/积[1-x^j，{j，1，k-1}]，{k，1，商[-1+Sqrt[8n+1]，2]}]，}，{x，0，n}]]；(*迈克尔·索莫斯2016年9月10日*）
联接[{0}，表[Count[Last/@Select[整数分区@n，删除重复项[#]==#&]，1]，{n，66}]](*罗伯特·普莱斯2020年6月13日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（x/（1+x）*prod（k=1，（n+1）\2，1-x^（2*k-1），1+O（x^n）），n））}/*迈克尔·索莫斯2016年9月10日*/
1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 20, 24, 28, 32, 38, 44, 51, 59, 68, 78, 91, 103, 118, 136, 155, 176, 201, 228, 259, 294, 332, 375, 425, 478, 538, 607, 681, 764, 858, 961, 1075, 1203, 1343, 1499, 1673, 1863, 2073, 2308, 2564, 2847, 3161, 3504
配方奶粉
G.f.：产品{k>=3}（1+x^k）。
G.f.：总和（n>=0，x^（n*（n+5）/2）/prod（k=1..n，1-x^k））；g.f.的特例，用于划分成不同部分>=L，sum（n>=0，x^（n*（n+2*L-1）/2）/prod（k=1..n，1-x^k））-乔格·阿恩特2011年3月24日
G.f.：总和（n>=2，x^（n*（n+1）/2-3）/prod（k=1..n-2，1-x^k）），对于划分成不同部分的G.f.的特例>=L，总和（n>=L-1，x^1（n*n+1）/2-L*（L-1）/2）/pod（k=1.n-（L-1，1-x*k）））-乔格·阿恩特2011年3月27日
MAPLE公司
带（combstruct）；sys:={L=PowerSet（序列（Z，卡>2））}；seq（计数（[L，sys]，大小=i），i=0..56）#零入侵拉霍斯2007年3月8日
A025148号：=程序（n）mul（1+x^k，k=3..n+1）；扩展（%）；coeftayl（%，x=0，n）；结束进程：#R.J.马塔尔2011年3月28日
#第三个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（n=0，1，`如果`（（i-2）*（i+3）/2<n，0，
加（b（n-i*j，i-1），j=0..分钟（1，n/i））
结束时间：
a： =n->b（n$2）：
数学
d[n_]：=选择[IntegerPartitions[n]，最大[Length/@Split@#]==1&Min[#]>=3&]；表[d[n]，{n，16}]（*严格分区，部分>=3*）
b[n_，i_]：=b[n，i]=If[n=0，1，If[（i-2）*（i+3）/2<n，0，Sum[b[n-i*j，i-1]，{j，0，Min[1，n/i]}]]；a[n]：=b[n，n]；表[a[n]，{n，0，100}](*Jean-François Alcover公司，2015年10月22日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
0, 0, 1, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 8, 8, 14, 14, 20, 44, 50, 74, 104, 128, 158, 326, 356, 524, 698, 986, 1160, 1592, 2606, 3158, 4316, 5708, 7706, 10082, 12920, 16136, 25718, 30614, 41756, 53396, 71978, 91058, 122144, 149384, 193670, 279614, 342860, 447764, 581234
配方奶粉
G.f.：求和{k>=1}k！*x^（k*（k+3）/2）/产品{j=1..k-1}（1-x^j）。
例子
a（9）=8，因为我们有[7，2]，[4，3，2]、[4，2，3]、[3，4，2]和[3，2，4]、[2，7]、[2、4、3]和[2，3，4]。
MAPLE公司
b： =proc（n，i，p）选项记忆；
`如果`（n=0，p！，`如果`（（i-2）*（i+3）/2<n，0，
加（b（n-i*j，i-1，p+j），j=0..分钟（1，n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n<2，0，b（n-2$2，1））：
数学
nmax=47；系数列表[级数[和[k！x^（k（k+3）/2）/积[1-x^j，{j，1，k-1}]，{k，1，nmax}]
0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 17, 20, 23, 27, 31, 36, 41, 47, 55, 62, 71, 81, 93, 105, 120, 135, 154, 174, 197, 221, 251, 281, 317, 356, 400, 447, 502, 561, 628, 701, 782, 871, 972, 1081, 1202, 1336, 1483, 1645, 1825, 2021, 2237, 2476
评论
此外，n的分区数，如果k是最大的部分，那么k正好出现3次，每个数字1,2，。。。，k-1至少出现一次（这些是定义中描述的分区的共轭）。例如：a（14）=3，因为我们有[3,3,3,1,2,1]、[3,5,2,1,1]和[2,2,2,1,1,1,1,1,1,1]-Emeric Deutsch公司2006年4月17日
对于n>3，a（n）是[0,0,0,1,1,1]与周期2序列[0,1，…]结合的Euler变换-乔治·菲舍尔2020年8月18日
配方奶粉
G.f.：（x^3）*产品{j=4..无限}（1+x^j）。
G.f.：求和{k=1..无穷大}x^（k*（k+5）/2）/（乘积{j=1..k-1}（1-x^j））。（结束）
a（n）~exp（Pi*sqrt（n/3））/（32*3^（1/4）*n^（3/4））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月30日
例子
a（14）=3，因为我们有[11,3]、[7,4,3]和[6,5,3]。
MAPLE公司
g： =x^3*乘积（1+x^j，j=4..80）：gser：=系列（g，x=0,70）：seq（系数（gser，x，n），n=1.59）#Emeric Deutsch公司2006年4月17日
#第二个Maple项目：
b： =proc（n，i）选项记忆；
`如果`（n=0，1，`如果`（（i-3）*（i+4）/2<n，0，
加（b（n-i*j，i-1），j=0..分钟（1，n/i））
结束时间：
a： =n->`如果`（n<3，0，b（n-3$2））：
数学
b[n_，i_]：=b[n，i]=如果[n==0，1，如果[（i-3）（i+4）/2<n，0，和[b[n-i*j，i-1]，{j，0，最小值[1，n/i]}]]；a[n_]：=如果[n<3，0，b[n-3，n-3]]；表[a[n]，{n，0，60}](*Jean-François Alcover公司2015年5月13日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
nmax=100；系数列表[级数[x^3/（（1+x）*（1+x^2）*（1+x^3））*乘积[1+x^k，{k，1，nmax}]，{x，0，nmax{]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年10月30日*）
联接[{0}，表[Count[Last/@Select[整数分区@n，删除重复项[#]==#&]，3]，{n，1，66}]](*罗伯特·普莱斯2020年6月13日*）
n的整数组合数，其最大严格递增游程的前导数之和为2。
+10
2
0, 0, 2, 0, 2, 3, 4, 7, 8, 14, 17, 27, 33, 48, 63, 84, 112, 147, 191, 248, 322, 409, 527, 666, 845, 1062, 1336, 1666, 2079, 2579, 3190, 3936, 4842, 5933, 7259, 8854, 10768, 13074, 15826, 19120, 23048, 27728, 33279, 39879, 47686, 56916, 67818, 80667, 95777, 113552, 134396
评论
通过将序列分解为最大严格增加子序列并取每个子序列的第一项，得到序列中严格增加游程的导子。
配方奶粉
G.f.：（x*Q（x）/（1+x））^2+x^2*Q（x）/（（1+x）*（1+x^2）），其中Q（xA000009号. -安德鲁·霍罗伊德2024年8月14日
例子
a（0）=0到a（9）=14组分：
. . (2) . (112) (23) (24) (25) (26) (27)
(11) (121) (113) (114) (115) (116) (117)
(131) (141) (151) (161) (171)
(1212) (1123) (1124) (234)
(1213) (1214) (1125)
(1231) (1241) (1134)
(1312) (1313) (1215)
(1412) (1251)
(1314)
(1341)
(1413)
(1512)
(12123)
(12312)
数学
表[Length[Select[Join@@Permutations/@IntegerPartitions[n]，Total[First/@Split[#，Less]]==2&]]，{n，0，15}]
黄体脂酮素
（PARI）seq（n）={my（A=O（x^（n-1）），q=eta（x^2+A）/eta（x+A））；Vec（（q*x/（1+x））^2+q*x^2/（（1+x）*（1+x^2）），-n-1）}\\安德鲁·霍罗伊德2024年8月14日
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