搜索： a091866-编号：a091866
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A127156号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是以k个连续金字塔开始的半长n的Dyck路径数。Dyck路径中的金字塔是形式为U^j D^j（j>0）的因子，从x轴开始。这里U=（1,1）和D=（1，-1）。该定义与A091866美元. |
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1
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 3, 3, 1, 19, 7, 5, 6, 4, 1, 67, 26, 12, 11, 10, 5, 1, 232, 93, 38, 23, 21, 15, 6, 1, 804, 325, 131, 61, 44, 36, 21, 7, 1, 2806, 1129, 456, 192, 105, 80, 57, 28, 8, 1, 9878, 3935, 1585, 648, 297, 185, 137, 85, 36, 9, 1, 35072, 13813, 5520
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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G.f.=G（t，z）=（1-2z）C/（1-z-tz），其中C=[1-sqrt（1-4z）]/（2z）是加泰罗尼亚函数。T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-1，k-1），对于n，k>=1。
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例子
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T（5,2）=5，因为我们有（UDUD）UUDUDD、（UUDDUUUDDD）、（UUUDDDUDD）、（UDUUUDTDD）和（UUUUDddUD）（括号中显示了最初的两个金字塔）。
三角形开始：
1;
0,1;
0,1,1;
1,1,2,1;
5,2,3,3,1;
19,7,5,6,4,1;
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MAPLE公司
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C： =（1-sqrt（1-4*z））/2/z:G:=（1-2*z）*C/（1-z-t*z）：Gser:=简化（系列（G，z=0，15））：P[0]：=1:对于从1到12的n do P[n]：=排序（展开（系数（Gser，z^n）））od:对于从0到12的n do seq（系数（P[n'，t，j），j=0..n）od；#以三角形形式生成序列
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作者
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经核准的
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A114277号
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| 半长n+2的所有Dyck路径中第二次上升的长度之和。 |
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1, 5, 19, 67, 232, 804, 2806, 9878, 35072, 125512, 452388, 1641028, 5986993, 21954973, 80884423, 299233543, 1111219333, 4140813373, 15478839553, 58028869153, 218123355523, 821908275547, 3104046382351, 11747506651599
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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另外，不以金字塔开始的半长n+3的Dyck路径数（Dyck道路中的金字塔是U^j D^j（j>0）形式的因子，从x轴开始；这里U＝（1，1）和D＝（1，-1）；此定义与中的定义不同A091866美元). 等价地，a（n）=A127156号（n+3.0）。例如：a（1）=5，因为我们有UUDUDD、UUDUD、UUUDUDDD、UUDUUDDD和UUUDDUDD-Emeric Deutsch公司2007年2月27日
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配方奶粉
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a（n）=4*Sum_{j=0..n}二项式（2*j+3，j）/（j+4）。
G.f.：C^4/（1-z），其中C=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。
带递归的D-有限：n*（n+4）*a（n）=（5*n^2+14*n+6）*a（n-1）-2*（n+1）*（2*n+3）*b（n-2）-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日
a（n）~2^（2*n+7）/（3*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日
a（n）=exp（（2*i*Pi）/3）-4*二项式（2*n+5，n+1）*超几何（[1,3+n，n+7/2]，[n+2，n+6]，4）/（n+5）-彼得·卢什尼2017年2月26日
a（n-1）=和{i+j+k+l<n}C（i）C（j）C（k）C（l），其中C=A000108号加泰罗尼亚数字-宇春记2019年1月10日
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例子
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a（3）=5，因为UD（U）DUD、UD（UU）DD、UUDD（U）D、UUD（U）DD和UUUDDD（显示在括号中）中第二次上升的总长度为5。
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MAPLE公司
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a： =n->4*和（二项式（2*j+3，j）/（j+4），j=0..n）：seq（a（n），n=0..28）；
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数学
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表[4*和[二项式[2j+3，j]/（j+4），{j，0，n}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日*）
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黄体脂酮素
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（Python）
从functools导入缓存
@高速缓存
定义B（n，k）：
如果n<=0或k<=0：返回0
如果n==k：返回1
返回B（n-1，k）+B（n，k-1）
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1, 1, 2, 6, 22, 88, 368, 1584, 6968, 31192, 141656, 651136, 3023840, 14166496, 66876096, 317809216, 1519163456, 7299577216, 35237444736, 170812433536, 831127053696, 4057858988416, 19873611712896, 97609555091456
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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克里斯蒂安·比恩，求置换集的结构雷克雅未克大学计算机科学学院博士论文，2018年。
克里斯蒂安·比恩（Christian Bean）、埃米尔·纳多（Ed mile Nadeau）和海宁·阿尔法森（Henning Ulfarsson），置换类和加权标记独立集的枚举，arXiv:1912.07503[math.CO]，2019年。
Darla Kremer和Wai Chee Shiu，避免长度四模式对的置换的有限转移矩阵，离散数学。268 (2003), 171-183. MR1983276（2004b:05006）。见表1。
E.Rowland和R.Yassawi，有理函数对角线的自动同余，arXiv预印本arXiv:1310.8635[math.NT]，2013-2014。
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配方奶粉
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总面积：（1-sqrt（1-8*x+16*x^2-8*x^3）/（4*x*（1-x））。
发件人保罗·巴里，2008年12月15日：（开始）
G.f.：（1-x）*c（2*x*（1-x）^2），其中c（x）是A000108号;
a（n）=和{k=0..n，（-1）^（n-k）*C（2k+1，n-k）*2^k*A000108号（k） }。（结束）
G.f.：1/（1-x/（1-x/（1-2x/（1-x/（1-x/（1-2 x……）（连分数））-保罗·巴里2008年12月15日
a（n）~平方（5平方（5））*（5平方+3）^n/（2*sqrt（2*Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日。等价地，a（n）~5^（1/4）*2^（n-1）*phi^（2*n-1/2）/（sqrt（Pi）*n^（3/2）），其中phi=A001622号是黄金比例-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年12月10日
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例子
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a（4）=22，因为1234的所有排列都符合条件，1342和2143除外。
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MAPLE公司
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G： =（1-sqrt（1-8*x+16*x^2-8*x^3））/4/x/（1-x）：Gser:=系列（G，x=0,30）：1，seq（系数（Gser，x^n），n=1..27）；
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数学
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系数列表[系列[（1-Sqrt[1-8x+16x^2-8x^3]）/（4x（1-x）），{x，0，30}]，x](*哈维·P·戴尔2011年7月2日*）
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A121462号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是半长n的非递减Dyck路径数，具有金字塔权重k（1<=k<=n）。 |
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5
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1, 0, 2, 0, 1, 4, 0, 1, 4, 8, 0, 1, 5, 12, 16, 0, 1, 6, 18, 32, 32, 0, 1, 7, 25, 56, 80, 64, 0, 1, 8, 33, 88, 160, 192, 128, 0, 1, 9, 42, 129, 280, 432, 448, 256, 0, 1, 10, 52, 180, 450, 832, 1120, 1024, 512, 0, 1, 11, 63, 242, 681, 1452, 2352, 2816, 2304, 1024, 0, 1, 12, 75, 316
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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Dyck单词（path）中的金字塔是U^h D^h形式的因子，其中U=（1,1），D=（1，-1），h是金字塔的高度。如果作为w中的一个因子，Dyck单词w中的金字塔前面不紧跟u，后面紧跟d，则它是最大的。Dyck路径（单词）的金字塔权重是其最大金字塔的高度之和。
基本三角形由（0,1/2.1/2,0,0,0-0,00,0,1,0,0，…）DELTA（2,0,0.0,0,0.0,0.0，…）给出，其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月30日
A121462号与联合生成A208341型作为多项式u（n，x）的系数数组：最初，u（1，x）=v（1，x）=1；对于n>1，u（n，x）=x*u（n-1，x）+x*v（n-1）和v（n，x）=x*u（n-1,x）+（x+1）*v（n-1，x）。请参阅Mathematica部分-克拉克·金伯利2012年3月11日
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=2<=k<=n的二项（k-1，j）*二项（n-k-1+j，j-1）之和{j=0..k-1}；T（1,1）=1；当n>=2时，T（n，1）=0。
G.f.：G=G（t，z）=tz（1-z）/（1-2tz-z+tz^2）。
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例子
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T（4,3）=4，因为我们有（UD）U（UD，UD）D，U。
三角形开始：
1;
0, 2;
0, 1, 4;
0, 1, 4, 8;
0, 1, 5, 12, 16;
0, 1, 6, 18, 32, 32;
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MAPLE公司
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T： =proc（n，k）如果n=1，k=1，则1 elif k=1，然后0 elif k<=n，然后求和（二项式（k-1，j）*二项式（n-k-1+j，j-1），j=0..k-1）否则0 fi结束：对于从1到13的n，执行seq（T（n，k），k=1..n）od；#以三角形形式生成序列
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数学
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u[1，x_]：=1；v[1，x_]：=1；z=16；
u[n，x_]：=x*u[n-1，x]+x*v[n-1，x]；
v[n，x_]：=x*u[n-1，x]+（x+1）v[n-1、x]；
表[展开[u[n，x]]，{n，1，z/2}]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z/2}]
cu=表[系数列表[u[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cu]
表[展开[v[n，x]]，{n，1，z}]
cv=表[系数列表[v[n，x]，x]、{n，1，z}]；
表格[cv]
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A186338号
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| 1/（1-2x/（1-2x/（1-x/（1-2 x/（1-2 x/（1-…）（续分数））的展开。 |
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4
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1, 2, 8, 36, 172, 860, 4460, 23820, 130268, 726236, 4112972, 23599724, 136906748, 801671996, 4732110828, 28128179276, 168222049052, 1011509012636, 6111445499532, 37084090264364, 225899543897916, 1380918157453052, 8468524718133804, 52085281291575052
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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总面积：（平方（1-10x+25x^2-16x^3）+3x-1）/（2x（2x-1））。
猜想：（n+1）*a（n）+3*（1-4n）*a-R.J.马塔尔2011年11月17日
a（n）~平方（7*sqrt（17）-17）*（9+平方（17））/2）^n/（2*sqert（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日
a（n）=求和{j=0..n}求和{i=0..j}C（j+1，i）*C（2*j-i，j-i）*C（n-j+i-1，n-j）/（j+1）*2^（n-j）。
a（n）=和{i=0..n-1}a（i）*（2^（n-i-1）+a（n-i-l））。（结束）
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数学
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系数列表[系列[（Sqrt[1-10*x+25*x^2-16*x^3]+3*x-1）/（2*x*（2*x-1，）），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）
a（n）：=总和（总和（二项（j+1，i）*二项（2*j-i，j-i）*二项式（n-j+i-1，n-j），i，0，j）/（j+1）*2^（n-j）、j，0，n）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年1月25日*/
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交叉参考
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关键字
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A166302号
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| 长度为1且没有上升和下降的所有半长度为n的Dyck路径的金字塔权重之和。 |
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+10
2
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0, 0, 2, 3, 8, 19, 44, 106, 257, 628, 1549, 3844, 9588, 24020, 60391, 152298, 385085, 975904, 2478129, 6303861, 16060946, 40977605, 104682165, 267730426, 685451776, 1756593392, 4505537267, 11565724164, 29711413595, 76379060176, 196473781247
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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评论
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Dyck单词（path）中的金字塔是U^h D^h形式的因子，h是金字塔的高度。Dyck单词w中的金字塔是最大的，如果作为w中的一个因子，它前面没有U，后面没有D。Dyck路径（单词）的金字塔权重是其最大金字塔的高度之和。
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链接
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配方奶粉
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通用名称：z*（2-z）*[1+zz^2-sqrt（（1+z+z^2）*（1-3*z+z*2））]/[2*（1-z）*sqrt。
a（n）~（3+平方（5））^（n+1/2）/（5^（1/4）*sqrt（Pi*n）*2^（n+3/2）））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月20日
递归的D-有限2*（n-1）*（2494*n-8185）*a（n）+23*（-770*n^2+3867*n-3959）*a n-6149）*（n-7）*a（n-6）=0-R.J.马塔尔2022年7月24日
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例子
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a（5）=19，因为（UUDD）、（UUUDDD）、（U UUDD。
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MAPLE公司
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G:=（1/2）*z*（2-z）*（1+z-z^2-sqrt（（1+z+z^2）*（1-3*z+z^2））/（（1-z）*sqrt（（1+z+z^2）*（1-3*z+z^2）））:Gser:=系列（G，z=0，35）：seq（系数（Gser，z，n），n=0。。32);
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数学
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系数列表[级数[1/2*x*（2-x）*（1+x-x^2-Sqrt[（1+x+x^2）*(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）z='z+O（'z^50）；concat（[0,0]，Vec（z*（2-z）*（1+zz^2-sqrt（（1+z+z^2）*（1-3*z+z^ 2））/（2*（1-z）*sqrt\\G.C.格鲁贝尔2017年3月22日
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交叉参考
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关键字
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A168494号
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| Hankel变换等于3^floor（n^2/3）的序列。 |
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2
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1, 1, 2, 7, 32, 160, 830, 4405, 23798, 130498, 724748, 4069258, 23064608, 131809108, 758696492, 4394825647, 25600773272, 149877922228, 881394158558, 5204245242208, 30841413359186, 183381577399006, 1093695670905206
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f:1/（1-x/（1-x/（1-3x/（1-×/（1-x-（1-3x/（1-x/（1-3×/（1-……）（连分数））））；
G.f.：1/（1-x-x^2/（1-4x-3x^2/-（1-2x-3x*2/（2-4x-x^2）/（1-4x-3x^2，
序列为（1,3,3,1,3,3,1,3,3，3,1，…）和（1,4,4,4,1,4,2,4,4，…）。
总面积：（1+x-sqrt（1-10x+25x^2-12x^3））/（6x（1-x））。
猜想：（n+1）*a（n）+（4-11*n）*a-R.J.马塔尔2012年9月30日
a（n）~sqrt（33 sqrt（33））*（（7+sqrt（33））/2）^n/（12*sqrt（Pi）*n^（3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日
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数学
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系数列表[级数[（1+x-Sqrt[1-10*x+25*x^2-12*x^3]）/（6*x*（1-x）），{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日*）
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交叉参考
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关键字
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 3, 4, 4, 2, -3, -10, -14, -4, 34, 104, 172, 132, -197, -964, -1976, -2190, 652, 9294, 23626, 33762, 12140, -84438, -280850, -493930, -397666, 639678, 3248466, 6947462, 8068589, -2165978, -35591958, -94129444, -139864826, -56393480, 352505724
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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总面积：（平方（1-2x+x^2+4x^3）+3x-1）/（2x（1-x））；
G.f.：1/（1-x/（1-x/（1+x/（1x/（1-x/（1+x/（1-…（连分数）））。
猜想：（n+1）*a（n）-3*n*a（n-1）+3*（n-1。R.J.马塔尔2012年11月13日
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容易的,签名
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经核准的
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A094322号
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| 按行读取的三角形：T（n，k）是具有k个金字塔的半长n的Dyck路径的数目。 |
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 3, 3, 1, 13, 11, 7, 6, 4, 1, 42, 37, 23, 14, 10, 5, 1, 139, 122, 78, 43, 25, 15, 6, 1, 470, 408, 262, 145, 75, 41, 21, 7, 1, 1616, 1390, 887, 494, 251, 124, 63, 28, 8, 1, 5632, 4810, 3048, 1694, 864, 414, 196, 92, 36, 9, 1, 19852, 16857, 10622
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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G.f.：G=G（t，z）=（1-z）/（1-zC+z^2*C-tz），其中C=[1-sqrt（1-4z）]/（2z）是加泰罗尼亚函数。
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例子
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T（3,2）=2，因为有两条半长为3的Dyck路径有两个金字塔：（UD）（UUDD）和（UUDD）（UD，括号中显示的金字塔）。
三角形开始：
[1];
[0, 1];
[0, 1, 1];
[1, 1, 2, 1];
[4, 3, 3, 3, 1];
[13, 11, 7, 6, 4, 1];
[42, 37, 23, 14, 10, 5, 1];
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MAPLE公司
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C： =（1-sqrt（1-4*z））/2/z:G:=（1-z）/（1-z*C+z^2*C-t*z；
#第二个Maple项目：
b： =proc（x，y，u，t）选项记忆；展开（`if`（y<0或y>x，0，
`如果`（x=0，`如果`（t，z，1），（b（x-1，y-1，false，t）+
b（x-1，y+1，true，t和u或y=0））*“如果”（t和y=0，z，1）））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，z，i），i=0..n））（b（2*n，0，假$2））：
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数学
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b[x_，y_，u_，t_]：=b[x，y，u，t]=展开[If[y<0|y>x，0，If[x==0，If[t，z，1]，（b[x-1，y-1，False，t]+b[x-l，y+1，True，t&&u|y==0]）*If[t&y==0、z，1]]；T[n_]：=函数[p，表[系数[p，z，i]，{i，0，n}][b[2*n，0，False，False]]；表[T[n]，{n，0，12}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2016年1月29日，之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键字
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作者
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状态
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经核准的
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A129163号
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| 行读取的三角形：T（n，k）是半长n和金字塔权重k的斜Dyck路径数。 |
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1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 11, 13, 8, 8, 29, 46, 38, 16, 16, 74, 150, 167, 104, 32, 32, 184, 461, 652, 554, 272, 64, 64, 448, 1354, 2344, 2535, 1724, 688, 128, 128, 1072, 3836, 7922, 10462, 9103, 5112, 1696, 256, 256, 2528, 10552, 25506, 40007, 42547, 30773, 14592
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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斜交Dyck路径是第一象限中的一条路径，它从原点开始，在x轴结束，由步骤U=（1,1）（向上）、D=（1，-1）（向下）和L=（-1，-1）。路径的长度定义为其步数。斜Dyck单词（path）中的金字塔是U^h D^h形式的一个因子，h是金字塔的高度。如果作为w中的一个因子，斜Dyck单词w中的金字塔前面不紧跟U，后面紧跟D，则它是最大的。斜Dycl路径（单词）的金字塔权重是其最大金字塔的高度之和。
行总和收益A002212号T（n，1）=2^（n-2）（n>=2）。T（n，n）=2^（n-1）。求和（k*T（n，k），k=1..n）=A129164号（n） 。Denise和Simion参考中考虑了Dyck路径中的金字塔权重（另请参见A091866美元).
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链接
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E.Deutsch、E.Munarini、S.Rinaldi、，倾斜Dyck路径，J.Stat.Plann。推断。140 (8) (2010) 2191-2203
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配方奶粉
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G.f.=G-1，其中G=G（t，z）由z（1-tz）G^2-（1-2tz+tz^2）G+（1-z）（1-tz=0给出。
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例子
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T（3,2）=4，因为我们有（UD）U（UD）L、U（UD，UD）D、U（UT）L和U（UUDD）L（括号中显示了最大金字塔）。
三角形开始：
1;
1,2;
2,4,4;
4,11,13,8;
8,29,46,38,16;
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MAPLE公司
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eq:=z*（1-t*z）*G^2-（1-2*t*z+t*z^2）*G+（1-z）*（1-t*z）=0:G:=RootOf（eq，G）：Gser:=simplify（级数（G-1，z=0，15））：对于n从1到11 do P[n]：=排序（展开（系数（Gser，z，n）））od：对于n自1到11的do seq（系数（P[n'，t，j），j=1..n）od；#以三角形形式生成序列
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