搜索: a091866-编号:a091866
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A127156号
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| 行读取的三角形:T(n,k)是以k个连续金字塔开始的半长n的Dyck路径数。Dyck路径中的金字塔是形式为U^j D^j(j>0)的因子,从x轴开始。这里U=(1,1)和D=(1,-1)。该定义与A091866号. |
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+20 1
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 3, 3, 1, 19, 7, 5, 6, 4, 1, 67, 26, 12, 11, 10, 5, 1, 232, 93, 38, 23, 21, 15, 6, 1, 804, 325, 131, 61, 44, 36, 21, 7, 1, 2806, 1129, 456, 192, 105, 80, 57, 28, 8, 1, 9878, 3935, 1585, 648, 297, 185, 137, 85, 36, 9, 1, 35072, 13813, 5520
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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G.f.=G(t,z)=(1-2z)C/(1-z-tz),其中C=[1-sqrt(1-4z)]/(2z)是加泰罗尼亚函数。T(n,k)=T(n-1,k)+T(n-1,k-1),对于n,k>=1。
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例子
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T(5,2)=5,因为我们有(UDUD)UUDUDD、(UUDDUUUDDD)、(UUUDDDUDD)、(UDUUUDTDD)和(UUUUDddUD)(括号中显示了最初的两个金字塔)。
三角形开始:
1;
0,1;
0,1,1;
1,1,2,1;
5,2,3,3,1;
19,7,5,6,4,1;
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MAPLE公司
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C: =(1-sqrt(1-4*z))/2/z:G:=(1-2*z)*C/(1-z-t*z):Gser:=简化(系列(G,z=0,15)):P[0]:=1:对于从1到12的n do P[n]:=排序(展开(系数(Gser,z^n)))od:对于从0到12的n do seq(系数(P[n',t,j),j=0..n)od;#以三角形形式生成序列
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A114277号
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| 半长n+2的所有Dyck路径中第二次上升的长度之和。 |
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+10 8
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1, 5, 19, 67, 232, 804, 2806, 9878, 35072, 125512, 452388, 1641028, 5986993, 21954973, 80884423, 299233543, 1111219333, 4140813373, 15478839553, 58028869153, 218123355523, 821908275547, 3104046382351, 11747506651599
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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另外,不以金字塔开始的半长n+3的Dyck路径数(Dyck道路中的金字塔是U^j D^j(j>0)形式的因子,从x轴开始;其中U=(1,1)和D=(1,-1);此定义与中的定义不同A091866号). 等价地,a(n)=A127156号(n+3.0)。例如:a(1)=5,因为我们有UUDUDD、UUDUD、UUUDUDDD、UUDUUDDD和UUUDDUDD-Emeric Deutsch公司2007年2月27日
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配方奶粉
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a(n)=4*Sum_{j=0..n}二项式(2*j+3,j)/(j+4)。
G.f.:C^4/(1-z),其中C=(1-sqrt(1-4*z))/(2*z)是加泰罗尼亚函数。
带递归的D-有限:n*(n+4)*a(n)=(5*n^2+14*n+6)*a(n-1)-2*(n+1)*(2*n+3)*b(n-2)-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日
a(n)~2^(2*n+7)/(3*sqrt(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日
a(n)=exp((2*i*Pi)/3)-4*二项式(2*n+5,n+1)*超几何([1,3+n,n+7/2],[n+2,n+6],4)/(n+5)-彼得·卢施尼2017年2月26日
a(n-1)=和{i+j+k+l<n}C(i)C(j)C(k)C(l),其中C=A000108号加泰罗尼亚数字-宇春记2019年1月10日
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例子
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a(3)=5,因为UD(U)DUD、UD(UU)DD、UUDD(U)D、UUD(U)DD和UUUDDD(显示在括号中)中第二次上升的总长度为5。
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MAPLE公司
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a: =n->4*和(二项式(2*j+3,j)/(j+4),j=0..n):seq(a(n),n=0..28);
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数学
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表[4*和[二项式[2j+3,j]/(j+4),{j,0,n}],{n,0,20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月19日*)
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黄体脂酮素
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(Python)
从functools导入缓存
@高速缓存
定义B(n,k):
如果n<=0或k<=0:返回0
如果n==k:返回1
返回B(n-1,k)+B(n,k-1)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 6, 22, 88, 368, 1584, 6968, 31192, 141656, 651136, 3023840, 14166496, 66876096, 317809216, 1519163456, 7299577216, 35237444736, 170812433536, 831127053696, 4057858988416, 19873611712896, 97609555091456
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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克里斯蒂安·比恩,求置换集的结构雷克雅未克大学计算机科学学院博士论文,2018年。
克里斯蒂安·比恩(Christian Bean)、埃米尔·纳多(Ed mile Nadeau)和海宁·阿尔法森(Henning Ulfarsson),置换类和加权标记独立集的计数,arXiv:1912.07503[math.CO],2019年。
Darla Kremer和Wai Chee Shiu,避免长度为四的模式对的置换的有限转移矩阵,离散数学。268 (2003), 171-183. MR1983276(2004b:05006)。见表1。
E.Rowland和R.Yassawi,有理函数对角线的自动同余,arXiv预印本arXiv:1310.8635[math.NT],2013-2014。
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配方奶粉
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总面积:(1-sqrt(1-8*x+16*x^2-8*x^3)/(4*x*(1-x))。
发件人保罗·巴里,2008年12月15日:(开始)
G.f.:(1-x)*c(2*x*(1-x)^2),其中c(x)是A000108号;
a(n)=和{k=0..n,(-1)^(n-k)*C(2k+1,n-k)*2^k*A000108号(k) }。(结束)
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1-2x/(1-x/(1-x/(1-2 x……)(连分数))-保罗·巴里2008年12月15日
a(n)~平方(5平方(5))*(5平方+3)^n/(2*sqrt(2*Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日。等价地,a(n)~5^(1/4)*2^(n-1)*phi^(2*n-1/2)/(sqrt(Pi)*n^(3/2)),其中phi=A001622号是黄金比例-瓦茨拉夫·科特索维奇2021年12月10日
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例子
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a(4)=22,因为1234的所有排列都符合条件,1342和2143除外。
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MAPLE公司
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G: =(1-sqrt(1-8*x+16*x^2-8*x^3))/4/x/(1-x):Gser:=系列(G,x=0,30):1,seq(系数(Gser,x^n),n=1..27);
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数学
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系数列表[系列[(1-Sqrt[1-8x+16x^2-8x^3])/(4x(1-x)),{x,0,30}],x](*哈维·P·戴尔2011年7月2日*)
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A121462号
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| 按行读取的三角形:T(n,k)是半长n的非递减Dyck路径数,具有金字塔权重k(1<=k<=n)。 |
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+10 5
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1, 0, 2, 0, 1, 4, 0, 1, 4, 8, 0, 1, 5, 12, 16, 0, 1, 6, 18, 32, 32, 0, 1, 7, 25, 56, 80, 64, 0, 1, 8, 33, 88, 160, 192, 128, 0, 1, 9, 42, 129, 280, 432, 448, 256, 0, 1, 10, 52, 180, 450, 832, 1120, 1024, 512, 0, 1, 11, 63, 242, 681, 1452, 2352, 2816, 2304, 1024, 0, 1, 12, 75, 316
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Dyck单词(path)中的金字塔是U^h D^h形式的因子,其中U=(1,1),D=(1,-1),h是金字塔的高度。如果作为w中的一个因子,Dyck单词w中的金字塔前面不紧跟u,后面紧跟d,则它是最大的。Dyck路径(单词)的金字塔权重是其最大金字塔的高度之和。
基本三角形由(0,1/2.1/2,0,0,0-0,00,0,1,0,0,…)DELTA(2,0,0.0,0,0.0,0.0,…)给出,其中DELTA是在A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年10月30日
A121462号与联合生成A208341型作为多项式u(n,x)的系数数组:最初,u(1,x)=v(1,x)=1;对于n>1,u(n,x)=x*u(n-1,x)+x*v(n-1)和v(n,x)=x*u(n-1,x)+(x+1)*v(n-1,x)。请参阅Mathematica部分-克拉克·金伯利2012年3月11日
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链接
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配方奶粉
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T(n,k)=2<=k<=n的二项(k-1,j)*二项(n-k-1+j,j-1)之和{j=0..k-1};T(1,1)=1;当n>=2时,T(n,1)=0。
G.f.:G=G(t,z)=tz(1-z)/(1-2tz-z+tz^2)。
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例子
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T(4,3)=4,因为我们有(UD)U(UD,UD)D,U。
三角形开始:
1;
0, 2;
0, 1, 4;
0, 1, 4, 8;
0, 1, 5, 12, 16;
0, 1, 6, 18, 32, 32;
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MAPLE公司
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T: =proc(n,k),如果n=1且k=1,则1 elif k=1然后0 elif k<=n然后求和(二项式(k-1,j)*二项式以三角形形式生成序列
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数学
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u[1,x_]:=1;v[1,x_]:=1;z=16;
u[n,x_]:=x*u[n-1,x]+x*v[n-1、x];
v[n,x_]:=x*u[n-1,x]+(x+1)v[n-1、x];
表[Expand[u[n,x]],{n,1,z/2}]
表[展开[v[n,x]],{n,1,z/2}]
cu=表[系数列表[u[n,x],x]、{n,1,z}];
表格[cu]
表[展开[v[n,x]],{n,1,z}]
cv=表[系数列表[v[n,x],x]、{n,1,z}];
表格[cv]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A186338号
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| 1/(1-2x/(1-2x/(1-x/(1-2 x/(1-2 x/(1-…)(续分数))的展开。 |
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+10 4
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1, 2, 8, 36, 172, 860, 4460, 23820, 130268, 726236, 4112972, 23599724, 136906748, 801671996, 4732110828, 28128179276, 168222049052, 1011509012636, 6111445499532, 37084090264364, 225899543897916, 1380918157453052, 8468524718133804, 52085281291575052
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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总面积:(平方(1-10x+25x^2-16x^3)+3x-1)/(2x(2x-1))。
猜想:(n+1)*a(n)+3*(1-4n)*a-R.J.马塔尔2011年11月17日
a(n)~平方(7*sqrt(17)-17)*(9+平方(17))/2)^n/(2*sqert(Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日
a(n)=求和{j=0..n}求和{i=0..j}C(j+1,i)*C(2*j-i,j-i)*C(n-j+i-1,n-j)/(j+1)*2^(n-j)。
a(n)=和{i=0..n-1}a(i)*(2^(n-i-1)+a(n-i-l))。(结束)
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数学
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系数列表[系列[(Sqrt[1-10*x+25*x^2-16*x^3]+3*x-1)/(2*x*(2*x-1,)),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日*)
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黄体脂酮素
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(最大值)
a(n):=总和(总和(二项(j+1,i)*二项(2*j-i,j-i)*二项式(n-j+i-1,n-j),i,0,j)/(j+1)*2^(n-j)、j,0,n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2020年1月25日*/
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A166302号
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| 长度为1且没有上升和下降的所有半长度为n的Dyck路径的金字塔权重之和。 |
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+10 2
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0, 0, 2, 3, 8, 19, 44, 106, 257, 628, 1549, 3844, 9588, 24020, 60391, 152298, 385085, 975904, 2478129, 6303861, 16060946, 40977605, 104682165, 267730426, 685451776, 1756593392, 4505537267, 11565724164, 29711413595, 76379060176, 196473781247
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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Dyck单词(path)中的金字塔是U^h D^h形式的因子,h是金字塔的高度。如果作为w的一个因子,Dyck单词w中的金字塔前面没有U,后面紧跟D,那么它就是最大的。Dyck路径(单词)的金字塔权重是其最大金字塔的高度之和。
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链接
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配方奶粉
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通用名称:z*(2-z)*[1+zz^2-sqrt((1+z+z^2)*(1-3*z+z*2))]/[2*(1-z)*sqrt。
a(n)~(3+平方(5))^(n+1/2)/(5^(1/4)*sqrt(Pi*n)*2^(n+3/2)))-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年3月20日
递归的D-有限2*(n-1)*(2494*n-8185)*a(n)+23*(-770*n^2+3867*n-3959)*a n-6149)*(n-7)*a(n-6)=0-R.J.马塔尔2022年7月24日
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例子
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a(5)=19,因为(UUDD)、(UUUDDD)、(U UUDD。
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MAPLE公司
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G:=(1/2)*z*(2-z)*(1+zz^2-sqrt((1+z+z^2)*(1-3*z+z^2。。32);
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数学
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系数列表[级数[1/2*x*(2-x)*(1+x-x^2-Sqrt[(1+x+x^2)*(*瓦茨拉夫·科特索维奇,2014年3月20日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)z='z+O('z^50);concat([0,0],Vec(z*(2-z)*(1+zz^2-sqrt((1+z+z^2)*(1-3*z+z^ 2))/(2*(1-z)*sqrt\\G.C.格鲁贝尔2017年3月22日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A168494号
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| Hankel变换等于3^floor(n^2/3)的序列。 |
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+10 2
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1, 1, 2, 7, 32, 160, 830, 4405, 23798, 130498, 724748, 4069258, 23064608, 131809108, 758696492, 4394825647, 25600773272, 149877922228, 881394158558, 5204245242208, 30841413359186, 183381577399006, 1093695670905206
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f:1/(1-x/(1-x/(1-3x/(1-×/(1-x-(1-3x/(1-x/(1-3×/(1-……)(连分数))));
G.f.:1/(1-x-x^2/(1-4x-3x^2/-(1-2x-3x*2/(2-4x-x^2)/(1-4x-3x^2,
序列为(1,3,3,1,3,3,1,3,3,3,1,…)和(1,4,4,4,1,4,2,4,4,…)。
总面积:(1+x-sqrt(1-10x+25x^2-12x^3))/(6x(1-x))。
猜想:(n+1)*a(n)+(4-11*n)*a-R.J.马塔尔2012年9月30日
a(n)~sqrt(33-sqrt(33))*((7+sqrt)(33)/2)^n/(12*sqrt,Pi)*n^(3/2))-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月24日
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数学
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系数列表[级数[(1+x-Sqrt[1-10*x+25*x^2-12*x^3])/(6*x*(1-x)),{x,0,20}],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2012年10月24日*)
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 3, 4, 4, 2, -3, -10, -14, -4, 34, 104, 172, 132, -197, -964, -1976, -2190, 652, 9294, 23626, 33762, 12140, -84438, -280850, -493930, -397666, 639678, 3248466, 6947462, 8068589, -2165978, -35591958, -94129444, -139864826, -56393480, 352505724
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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链接
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配方奶粉
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总面积:(平方(1-2x+x^2+4x^3)+3x-1)/(2x(1-x));
G.f.:1/(1-x/(1-x/(1+x/(1x/(1-x/(1+x/(1-…(连分数)))。
猜想:(n+1)*a(n)-3*n*a(n-1)+3*(n-1。R.J.马塔尔2012年11月13日
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关键词
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容易的,签名
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A094322号
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| 行读取的三角形:T(n,k)是具有k个金字塔的半长n的Dyck路径数。 |
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+10 1
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1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 3, 3, 1, 13, 11, 7, 6, 4, 1, 42, 37, 23, 14, 10, 5, 1, 139, 122, 78, 43, 25, 15, 6, 1, 470, 408, 262, 145, 75, 41, 21, 7, 1, 1616, 1390, 887, 494, 251, 124, 63, 28, 8, 1, 5632, 4810, 3048, 1694, 864, 414, 196, 92, 36, 9, 1, 19852, 16857, 10622
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,9
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评论
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链接
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配方奶粉
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G.f.:G=G(t,z)=(1-z)/(1-zC+z^2*C-tz),其中C=[1-sqrt(1-4z)]/(2z)是加泰罗尼亚函数。
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例子
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T(3,2)=2,因为有两条半长为3的Dyck路径有两个金字塔:(UD)(UUDD)和(UUDD)(UD。
三角形开始:
[1];
[0, 1];
[0, 1, 1];
[1, 1, 2, 1];
[4, 3, 3, 3, 1];
[13, 11, 7, 6, 4, 1];
[42, 37, 23, 14, 10, 5, 1];
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MAPLE公司
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C: =(1-sqrt(1-4*z))/2/z:G:=(1-z)/(1-z*C+z^2*C-t*z;
#第二个Maple项目:
b: =proc(x,y,u,t)选项记住;展开(`if`(y<0或y>x,0,
`如果`(x=0,`如果`(t,z,1),(b(x-1,y-1,false,t)+
b(x-1,y+1,真,t和u或y=0))*`如果`(t和y=0,z,1)))
结束时间:
T: =n->(p->seq(系数(p,z,i),i=0..n))(b(2*n,0,假$2)):
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数学
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b[x_,y_,u_,t_]:=b[x,y,u,t]=展开[If[y<0|y>x,0,If[x==0,If[t,z,1],(b[x-1,y-1,False,t]+b[x-l,y+1,True,t&&u|y==0])*If[t&y==0、z,1]];T[n_]:=函数[p,表[系数[p,z,i],{i,0,n}][b[2*n,0,False,False]];表[T[n],{n,0,12}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2016年1月29日之后阿洛伊斯·海因茨*)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A129163号
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| 按行读取的三角形:T(n,k)是半长n和金字塔权重k的斜Dyck路径数。 |
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+10 1
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1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 11, 13, 8, 8, 29, 46, 38, 16, 16, 74, 150, 167, 104, 32, 32, 184, 461, 652, 554, 272, 64, 64, 448, 1354, 2344, 2535, 1724, 688, 128, 128, 1072, 3836, 7922, 10462, 9103, 5112, 1696, 256, 256, 2528, 10552, 25506, 40007, 42547, 30773, 14592
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1, 3
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评论
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斜交Dyck路径是第一象限中的一条路径,它从原点开始,在x轴结束,由步骤U=(1,1)(向上)、D=(1,-1)(向下)和L=(-1,-1)。路径的长度定义为其步数。斜Dyck单词(path)中的金字塔是U^h D^h形式的一个因子,h是金字塔的高度。如果作为w中的一个因子,斜Dyck单词w中的金字塔前面不紧跟U,后面紧跟D,则它是最大的。斜Dycl路径(单词)的金字塔权重是其最大金字塔的高度之和。
行总和收益A002212号T(n,1)=2^(n-2)(n>=2)。T(n,n)=2^(n-1)。总和(k*T(n,k),k=1..n)=129164英镑(n) ●●●●。Denise和Simion参考中考虑了Dyck路径中的金字塔权重(另请参见A091866号).
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链接
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E.Deutsch、E.Munarini、S.Rinaldi、,倾斜Dyck路径,J.Stat.Plann。推断。140 (8) (2010) 2191-2203
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配方奶粉
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G.f.=G-1,其中G=G(t,z)由z(1-tz)G^2-(1-2tz+tz^2)G+(1-z)(1-tz)=0给出。
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例子
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T(3,2)=4,因为我们有(UD)U(UD)L、U(UD,UD)D、U(UT)L和U(UUDD)L(括号中显示了最大金字塔)。
三角形开始:
1;
1,2;
2,4,4;
4,11,13,8;
8,29,46,38,16;
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MAPLE公司
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eq:=z*(1-t*z)*G^2-(1-2*t*z+t*z^2)*G+(1-z)*(1-t*z)=0:G:=RootOf(eq,G):Gser:=simplify(级数(G-1,z=0,15)):对于n从1到11 do P[n]:=排序(展开(系数(Gser,z,n)))od:对于n自1到11的do seq(系数(P[n',t,j),j=1..n)od;#以三角形形式生成序列
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交叉参考
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作者
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