搜索： a001371-编号：a001371
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1, 3, 2, 5, 4, 10, 9, 21, 26, 48, 70, 136, 209, 389, 673, 1235, 2221, 4144, 7631, 14358, 26941, 51016, 96783, 184560, 352454, 675391, 1296503, 2494071, 4805389, 9273501, 17919559, 34670835, 67156871, 130218219, 252741267, 490988734
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1, 1, 0, 0, 2, 4, 7, 14, 23, 38, 68, 118, 207, 369, 665, 1198, 2219, 4081, 7629, 14266, 26923, 50874, 96781, 184270, 352447, 674971, 1296453, 2493302, 4805387, 9272067, 17919557, 34668386, 67156731, 130213775, 252741245
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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非n
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1, 3, 6, 12, 26, 62, 157, 409, 1079, 2863, 7617, 20299, 54202, 145134, 390048, 1052840, 2855633, 7784909, 21333806, 58769738, 162735221, 452890963, 1266501060, 3558037366, 10038873751, 28437746721, 80854303650, 230659891380
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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非n
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作者
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已批准
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A000031号
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| 翻身时不允许有2种颜色的n珠项链数量；以及来自简单n级循环移位寄存器的输出序列的数目；度除n的二元不可约多项式的个数。
（原名M0564 N0203）
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 14, 20, 36, 60, 108, 188, 352, 632, 1182, 2192, 4116, 7712, 14602, 27596, 52488, 99880, 190746, 364724, 699252, 1342184, 2581428, 4971068, 9587580, 18512792, 35792568, 69273668, 134219796, 260301176, 505294128, 981706832
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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另外，a（n）-1是词典编纂最小deBruijn循环（Fredricksen）的真值表中的1的数量。
在音乐中，a（n）是n个音符的等调调谐系统中不同类别的音阶和和弦的数量-保罗·坎特雷尔2011年12月28日
此外，不可避免的一组长度为n的二进制单词（Champarnaud、Hansel、Perrin）的最小基数-杰弗里·沙利特2019年1月10日
φ（n）和2^n的（1/n）*Dirichlet卷积，n>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
a（n）对n是偶数！=0, 2. 证明：用奇数s写出n=2^e*s，然后a（n）*s=Sum_{d|s}Sum__{k=0..e}φ（（2^e*s/（2^k*d））*2^ 2^k*s-k-1）+2^（2^e*s-e）==和{k=0.分钟{e-1,1}}2^（2 ^k*s-k-1）（模2）。a（n）是奇数当且仅当s=1和e-1=0，或n=2。
a（n）==2（mod 4）当且仅当n=1，4或n=2*p^e，素数p==3（mod4）。
a（n）==4（mod 8）当且仅当n=2^e，e>=3时为3*2^e，或n=p^e，4*p^e！=12，素数p==3（mod 4），或n=2s，其中s是奇数，使得phi（s）==4（mod 8）。（结束）
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参考文献
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S.W.Golomb，《移位寄存器序列》，Holden-Day，旧金山，1967年，第120、172页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题7.112（a）。
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链接
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J.-M.Champarnaud、G.Hansel和D.Perrin，不可避免的定长集，国际。J.阿尔及利亚。计算。14 (2004), 241-251.
詹姆斯·伊斯特和罗恩·奈尔斯，给定周长的整数多边形，arXiv:1711.1245[math.CO]，2017年。
新泽西州罚款，周期序列类伊利诺伊州J.数学。，2 (1958), 285-302.
P.Flajolet和R.Sedgewick，分析组合数学, 2009; 见第18、64页。
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
Juhani Karhumäki、S.Puzynina、M.Rao和M.A.Whiteland，关于k-阿贝尔等价类的基数，arXiv预印本arXiv:1605.03319[math.CO]，2016。
维勒·萨洛，一排导线的通用门，arXiv:1809.08050[math.GR]，2018年。
N.J.A.斯隆，关于单删除修正码，arXiv:math/0207197[math.CO]，2002；《规范与设计》（俄亥俄州哥伦布，2000年），273-291，俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版物。，10，de Gruyter，柏林，2002年。
大卫·汤姆森，音乐多边形《今日数学》，第57卷，第2期（2021年4月），第50-51页。
R.C.Titsworth，周期序列的等价类伊利诺伊州J.数学。，8 (1964), 266-270.
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配方奶粉
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G.f.：1-总和{n>=1}φ（n）*log（1-2*x^n）/n-赫伯特·科西姆巴2016年10月29日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*和{k=1..n}2^gcd（n，k）-伊利亚·古特科夫斯基2021年4月16日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}2^（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
Dirichlet g.f.：f（s+1）*（zeta（s）/zeta（s+1）），其中f（s）=和{n>=1}2^n/n^s-宋嘉宁2021年11月13日
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例子
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对于n=3和n=4，项链是{000001011111}和{0000000100111111}。
类似的移位寄存器序列是{000…、001001…、011011…、111…}和{000…，00010001…、00110011…、0101…、01110111…、111..}。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；A000031号：=proc（n）局部d，s；如果n=0，则返回（1）；其他s：=0；对于除数（n）中的d，做s：=s+phi（d）*2^（n/d）；od；返回（s/n）；fi；结束；[序列号(A000031号（n） ，n＝0..50）]；
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数学
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a[n_]：=总和[如果[Mod[n，d]==0，EulerPhi[d]2^（n/d），0]，{d，1，n}]/n
a[n_]：=折叠[#1+2^（n/#2）EulerPhi[#2]&，0，除数[n]]/n(*本·布兰曼2011年1月8日*）
表[Expand[CycleIndex[CyclicGroup[n]，t]/。表[t[i]->2，{i，1，n}]]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2011年3月6日*）
a[0]=1；a[n_]：=除数和[n，EulerPhi[#]*2^（n/#）&]/n；表[a[n]，{n，0，40}](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2016年2月3日*）
mx=40；系数列表[级数[1-和[EulerPhi[i]对数[1-2*x^i]/i，{i，1，mx}]，{x，0，mx{]，x](*赫伯特·科西姆巴，2016年10月29日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a000031 0=1
a000031 n=（`div`n）$总和$
zipWith（*）（映射a000010 divs）（映射a 000079$reverse div）
其中divs=a027750_row n
（Python）
从sympy导入到divisors
定义A000031号（n） ：返回除数（n，生成器=True）中d的和（totient（d）*（1<<n//d））//如果其他n为1#柴华武2022年11月16日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的，核心
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作者
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扩展
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1995年《整数序列百科全书》中的图M3860中有一个错误：在第三行中A000031号=M0564应为（1/n）和φ（d）2^（n/d）。
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状态
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已批准
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A000029号
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| 带有2种颜色的n个珠子的项链数量，允许翻动（也称为手镯）。
（原名M0563 N0202）
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+10个
43
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 13, 18, 30, 46, 78, 126, 224, 380, 687, 1224, 2250, 4112, 7685, 14310, 27012, 50964, 96909, 184410, 352698, 675188, 1296858, 2493726, 4806078, 9272780, 17920860, 34669602, 67159050, 130216124, 252745368, 490984488
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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“允许翻倒的项链”通常称为手镯-乔格·阿恩特，2016年6月10日
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参考文献
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J.L.Fisher，面向应用的代数（1977），ISBN 0-7002-2504-8，约215页。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《科学美国人的新数学转向》（Simon and Schuster，纽约，1966），第245-246页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
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链接
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Hoda Abbasizanjani和Oliver Kullmann，最小不可满足2-CNF的分类，arXiv:2003.03639[cs.DM]，2020年。
S.N.Ethier，计数环形二进制阵列，arXiv预印本arXiv:1301.2352[math.CO]，2013。
S.N.Ethier，计数环形二进制阵列《整数序列杂志》16（2013），第13.4.7条。
N.J.Fine，周期序列类伊利诺伊州J.数学。，2 (1958), 285-302.
E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
朱里·科维奇，规则多边形系统《当代数学》（2019）第16卷第2期第157-171页。
Zhe Sun、T.Suenaga、P.Sarkar、S.Sato、M.Kotani和H.Isobe，带状环萘的立体异构、晶体结构和动力学，程序。美国国家科学院。科学。美国，第113卷第29期，第8109-8114页，doi:10.1073/pnas.1606530113。
Eric Weistein的《数学世界》，e（电子）
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配方奶粉
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a（n）=Sum_{d除以n}φ（d）*2^（n/d）/（2*n）+2^。
通用公式：（1-和{n>=1}φ（n）*log（1-2*x^n）/n+（1+x）^2/（1-2%x^2））/2-赫伯特·科西姆巴2016年11月2日
a（0）=1；a（n）=Sum_｛k=1..n｝2^gcd（n，k）/（2*n）+如果n为奇数则2^（（n-1）/2），如果n为偶数则2^（n/2-1）+2^（n/2-2）。
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例子
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对于n=2，这三个手镯是AA、AB和BB。对于n=3，这四个手镯子是AAA、AAB、ABB和BBB-罗伯特·拉塞尔2018年9月24日
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MAPLE公司
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带有（数字理论）：A000029号：=proc（n）局部d，s；如果n=0，则返回1 else如果n mod 2=1，则s：=2^（（n-1）/2）else s：=2 ^（n/2-2）+2^（n/2-1）fi；对于除数（n）中的d，do s:=s+phi（d）*2^（n/d）/（2*n）od；返回s；fi端：
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数学
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a[0]：=1；a[n_]：=折叠[#1+EulerPhi[#2]2^（n/#2）/（2n）&，如果[OddQ[n]，2^
mx=40；系数列表[级数[（1-和[EulerPhi[n]*Log[1-2*x^n]/n，{n，mx}]+（1+x）^2/（1-2*x^2））/2，{x，0，mx{](*赫伯特·科西姆巴2016年11月2日*）
a[0]=1；a[n]：=（1/4）*（Mod[n，2]+3）*2^商[n，2]+除数和[n，EulerPhi[#]*2^（n/#）&]/（2*n）；数组[a，36，0](*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2017年11月5日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（n<1，！n，（n%2+3）/4*2^（n\2）+sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*2^d）/2/n）
（Python）
从同情导入因子，totiten
定义a（n）：
如果n<1 else（（2**（n//2+1）if n%2 else 3*2**（n//2-1））+总和（totient（n//d）*2**d for d in divisors（n））//n）//2，则返回1
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#因德拉尼尔·戈什2017年4月23日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的，美好的，核心
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A276550型
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| 反对偶读取的数组：T（n，k）=使用最多k个不同颜色珠子的原始（周期n）手镯数。 |
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+10个
7
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1, 2, 0, 3, 1, 0, 4, 3, 2, 0, 5, 6, 7, 3, 0, 6, 10, 16, 15, 6, 0, 7, 15, 30, 45, 36, 8, 0, 8, 21, 50, 105, 132, 79, 16, 0, 9, 28, 77, 210, 372, 404, 195, 24, 0, 10, 36, 112, 378, 882, 1460, 1296, 477, 42, 0, 11, 45, 156, 630, 1848, 4220, 5890, 4380, 1209, 69, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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翻转不会产生新手镯。
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=总和{d|n}mu（n/d）*A081720型（d，k）代表k≤n。2022年1月22日修正
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例子
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表格开始：
1 2 3 4 5 6 7 8 ...
0 1 3 6 10 15 21 28 ...
0 2 7 16 30 50 77 112 ...
0 3 15 45 105 210 378 630 ...
0 6 36 132 372 882 1848 3528。。。
0 8 79 404 1460 4220 10423 22904 ...
0 16 195 1296 5890 20640 60021 151840 ...
0 24 477 4380 25275 107100 364854 1057392 ...
...
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MAPLE公司
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局部d；
添加（数字[mobius]（n/d）*A081720型（d，k），d=numtheory[除数]（n））；
结束进程：
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数学
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t[n_，k_]：=总和[EulerPhi[d]k^（n/d），{d，除数[n]}]/（2n）+（k^楼层[（n+1）/2]+k^天花板[（n+1）/2]）/4；
T[n_，k_]：=总和[MoebiusMu[d]T[n/d，k]，{d，除数[n]}]；
表[T[n-k+1，k]，{n，1,11}，{k，n，1，-1}]//扁平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2020年3月26日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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已批准
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0, 1, 2, 3, 6, 8, 16, 24, 42, 69, 124, 208, 378, 668, 1214, 2220, 4110, 7630, 14308, 26931, 50944, 96782, 184408, 352450, 675180, 1296477, 2493680, 4805388, 9272778, 17919558, 34669600
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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参考文献
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M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
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链接
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配方奶粉
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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已批准
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A115119号
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| 允许翻转时带有2种颜色珠子的非原始（周期性）n珠项链的数量。 |
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+10个
0
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0, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 6, 4, 9, 2, 16, 2, 19, 10, 30, 2, 55, 2, 81, 20, 127, 2, 248, 8, 381, 46, 690, 2, 1302, 2, 2250, 128, 4113, 24, 7896, 2, 14311, 382, 27036, 2, 51641, 2, 96912, 1266, 184411, 2, 354918, 18, 675258, 4114, 1296861, 2, 2501365, 132, 4806102, 14312
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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素数p的a（p）=2。
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链接
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配方奶粉
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数学
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a29[n_]：=a29[n]=（s=如果[OddQ[n]，2^（（n-1）/2），2^（n/2-2）+2^（n/2-1）]；a29[0]=1；Do[s=s+EulerPhi[d]2^（n/d）/（2n），{d，除数[n]}]；s） ；
a1371[n_]：=总和[MoebiusMu[d]a29[n/d]，{d，除数[n]}]；a1371[0]=1；
a[0]=0；a[n]：=a29[n]-a1371[n]；
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交叉参考
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关键词
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容易的，非n
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作者
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