%I M0564 N0203#213 2024年1月28日08:03:05

%S 1,2,3,4,6,8,14,20,36,60108188352632118221916771214602，

%电话：275965248899880190746364724699252134218425814284971068，

%电话：958758018512792357925686927366813421979626030117650529412881706832

%N翻身时不允许有2种颜色的N珠项链数量；以及来自简单n级循环移位寄存器的输出序列的数目；度除n的二元不可约多项式的个数。

%C另外，a（n）-1是词典编纂最小deBruijn循环（Fredricksen）的真值表中1的数量。

%C在音乐中，a（n）是n音符等调系统中不同类别的音阶和和弦的数量_保罗·坎特雷尔（Paul Cantrell），2011年12月28日

%C此外，不可避免的一组长度为n的二进制单词（Champarnaud、Hansel、Perrin）的最小基数_杰弗里·沙利特，2019年1月10日

%C（1/n）*phi（n）和2^n的Dirichlet卷积，n>0.-_理查德·奥尔勒顿（Richard L.Ollerton），2021年5月6日

%C自2021年11月13日宋佳宁：（开始）

%C a（n）是n的偶数！=0, 2. 证明：用奇数s写出n=2^e*s，然后a（n）*s=Sum_{d|s}Sum__{k=0..e}φ（（2^e*s/（2^k*d））*2^ 2^k*s-k-1）+2^（2^e*s-e）==和{k=0.分钟{e-1,1}}2^（2 ^k*s-k-1）（模2）。a（n）是奇数当且仅当s=1和e-1=0，或n=2。

%Ca（n）==2（mod 4）当且仅当n=1，4或n=2*p^e，素数p==3（mod4）。

%Ca（n）==4（mod 8）当且仅当n=2^e，e>=3时为3*2^e，或n=p^e，4*p^e！=12，素数p==3（mod 4），或n=2s，其中s是奇数，使得phi（s）==4（mod 8）。（结束）

%D S.W.Golomb，《移位寄存器序列》，Holden-Day，旧金山，1967年，第120、172页。

%D May，Robert M.“具有非常复杂动力学的简单数学模型”，《自然》，第261卷，1976年6月10日，第459-467页；再版于《混沌吸引子理论》，第85-93页。斯普林格，纽约州纽约市，2004年。表2中列出的序列为A000079、A027375、A000031、A001037、A000048、A051841_N.J.A.Sloane，2019年3月17日

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，第2卷，1999年；请参见问题7.112（a）。

%H Seiichi Manyama，<a href=“/A000031/b000031.txt”>n表，n=0..3333的a（n）

%H Joerg Arndt，<a href=“http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook网站“>《计算事项》（The Fxtbook）</a>，第151页，第379-383页。

%H P.J.Cameron，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/groups.html“>寡形置换群实现的序列，J.Integ.Seqs.Vol.3（2000），#00.1.5。

%H J.-M.Champarnaud、G.Hansel和D.Perrin，<a href=“https://doi.org/10.1142/S0218196704001700“>不可避免的定长集</a>，Internat.J.Alg.Compute.14（2004），241-251。

%H James East和Ron Niles，<a href=“https://arxiv.org/abs/1710.11245“>给定周长的整数多边形，arXiv:1710.11245[math.CO]，2017。

%H S.N.Ethier和J.Lee，<a href=“http://arxiv.org/abs/1202.2609“>Parrondo games with spatial dependence</a>，arXiv-print arXiv:1202.2609[math.PR]，2012年。

%H S.N.Ethier，<a href=“http://arxiv.org/abs/1301.2352“>计算环形二进制数组</a>，arXiv预印本arXiv:1301.2352[math.CO]，2013和<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Ethier/ethier2.html“>《国际期刊》第16期（2013年）第13.4.7号。

%H N.J.Fine，<a href=“http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255381350“>周期序列的类别，伊利诺伊州数学杂志，2（1958），285-302。

%H P.Flajolet和R.Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学，2009年；参见第18、64页。

%弗雷德里克森，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0021-9800（70）80050-3“>《Bruijn循环的词典编纂最小值》，J.Combina.Theory，9（1970）1-5。

%H哈罗德·弗雷德里克森，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X（86）90089-0“>生成双色珠子项链的算法，离散数学，第61卷，第2-3期，1986年9月，第181-188页。

%H E.N.Gilbert和J.Riordan，<a href=“http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255631587“>周期序列的对称类型，伊利诺伊州数学杂志，5（1961），657-665。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=2“>组合结构百科全书2</a>

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=130“>组合结构百科全书130</a>

%H Juhani Karhumäki、S.Puzynina、M.Rao和M.A.Whiteland，<A href=“https://arxiv.org/abs/1605.03319“>关于k-阿贝尔等价类的基数</a>，arXiv预印本arXiv:1605.03319[math.CO]，2016。

%H Abraham Lempel，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956（71）90009-8“>关于de Bruijn图的极值因子。MR0276126（43号1874）。

%H Karyn McLellan，<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v20i4p32“>周期系数和随机斐波那契序列，组合数学电子杂志，20（4），2013，#P32。

%H Johannes Mykkeltveit，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956（72）90006-8“>Golomb猜想对de Bruijn图的证明，J.组合理论Ser.B 13（1972），40-45。MR0323629（48#1985）。

%H马修·帕克，<a href=“https://oeis.org/A000031/A000031_25K.7z“>第一个25K术语（7-Zip压缩文件）</a>[一个大文件]

%H J.Riordan，<a href=“/A001867/A001867.pdf”>致N.J.a.斯隆的信，1978年7月</a>

%H F.Ruskey，<a href=“http://combos.org/项链“>项链、林登文字、De Bruijn序列等</a>

%H F.Ruskey，项链、Lyndon单词、De Bruijn序列等

%H Ville Salo，<a href=“https://arxiv.org/abs/1809.08050“>带导线的通用门</a>，arXiv:1809.08050[math.GR]，2018年。

%H J.A.Siehler，<A href=“http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/george-polya-awards/the-finite-lamplighter-groups-a-guided-tour“>The Finite Lamplighter Groups:A Guided Tour</A>，《大学数学杂志》，第43卷，第3期（2012年5月），第203-211页。

%H N.J.A.斯隆，<A href=“http://neilsloan.com/doc/dijen.txt“>单删除更正代码</a>

%H N.J.A.斯隆，<A href=“http://arxiv.org/abs/math/0207197“>关于单删除修正码，arXiv:math/0207197[math.CO]，2002；摘自《代码与设计》（俄亥俄州哥伦布，2000），273-291，俄亥俄州立大学数学研究所出版，10，de Gruyter，Berlin，2002。

%H David Thomson，<a href=“https://ima.org.uk/16507/musical-polygons网站“>《音乐多边形》，《今日数学》，第57卷，第2期（2021年4月），第50-51页。

%H R.C.Titsworth，<a href=“http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256059671“>周期序列的等价类，伊利诺伊州数学杂志，8（1964），266-270。

%H A.M.Uludag、A.Zeytin和M.Durmus，<A href=“http://math.gsu.edu.tr/uludag/CHARKSANDDESSINS.pdf“>二元二次型作为Dessins</a>，2012。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Necklace.html“>项链</a>

%H Wolfram Research，<a href=“http://functions.wolfram.com/NumberTheoryFunctions/EulerPhi/31/08/ShowAll.html“>项链数量</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Ne#项链”>项链相关序列的索引条目</a>

%F a（n）=（1/n）*Sum_{d除以n}φ（d）*2^（n/d）=A053635（n）/n，其中φ为A000010。

%F警告：容易与A001037混淆，A001037具有类似的公式。

%F G.F:1-总和{n>=1}φ（n）*log（1-2*x^n）/n.-Herbert Kociemba，2016年10月29日

%F a（0）=1；a（n）=（1/n）*和{k=1..n}2^gcd（n，k）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2021年4月16日

%F a（0）=1；a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}2^（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））_理查德·奥尔勒顿（Richard L.Ollerton），2021年5月6日

%F Dirichlet g.F.：F（s+1）*（zeta（s）/zeta（s+1

%e对于n=3和n=4，项链是{000001011111}和{0000000100111111}。

%e类似移位寄存器序列为{000…、001001…、011011…、111…}和{000…，00010001…、00110011…、0101…、01110111…、111？}。

%p带有（numtheory）；A000031:=进程（n）局部d，s；如果n=0，则返回（1）；其他s：=0；对于除数（n）中的d，做s：=s+phi（d）*2^（n/d）；od；返回（s/n）；fi；结束；[序列（A000031（n），n=0..50）]；

%t a[n_]：=总和[如果[Mod[n，d]==0，EulerPhi[d]2^（n/d），0]，{d，1，n}]/n

%t a[n_]：=折叠[#1+2^（n/#2）EulerPhi[#2]和，0，除数[n]]/n（*本·布兰曼，2011年1月8日*）

%t表格[Expand[CycleIndex[CyclicGroup[n]，t]/。表[t[i]->2，{i，1，n}]]，{n，0，30}]（*_Geoffrey Critzer_，2011年3月6日*）

%ta[0]=1；a[n_]：=除数和[n，EulerPhi[#]*2^（n/#）&]/n；表[a[n]，{n，0，40}]（*Jean-François Alcover_，2016年2月3日*）

%t mx=40；系数列表[Series[1-Sum[EulerPhi[i]Log[1-2*x^i]/i，{i，1，mx}]，{x，0，mx{]，x]（*_Herbert Kociemba_，2016年10月29日*）

%o（PARI）{A000031（n）=如果（n==0,1，sumdiv（n，d，eulerphi（d）*2^（n/d））/n）}\\_Randall L Rathbun_，2002年1月11日

%o（哈斯克尔）

%o a000031 0=1

%o a000031 n=（`div`n）$总和$

%o zipWith（*）（映射a000010 divs）（映射a 000079$reverse div）

%o其中divs=a027750_row n

%o---Reinhard Zumkeller，2013年3月21日

%o（Python）

%o从症状输入到症状，除数

%o def A000031（n）：返回总和（除数（n，生成器=True）中d的总和（d）*（1<<n//d））//如果n为其他1，则返回n#_Chai Wah Wu_，2022年11月16日

%A075195的Y列2。

%Y参考A001037（同一问题的原始解决方案）、A014580、A000016、A000013、A000029（如果允许移交）、A000011、A001371、A058766。

%Y行A047996中三角形的和。

%Y除以2得到A053634。

%Y A008965（n）=a（n）-1允许不同的偏移。

%Y参见A008965、A053635、A052823、A100447（对分）。

%Y参考A000010。

%K nonn，简单，好，核心

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E 1995年《整数序列百科全书》中的图M3860中有一个错误：在第三行中，A000031=M0564的公式应为（1/n）和φ（d）2^（n/d）。