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1, 3, 2, 5, 4, 10, 9, 21, 26, 48, 70, 136, 209, 389, 673, 1235, 2221, 4144, 7631, 14358, 26941, 51016, 96783, 184560, 352454, 675391, 1296503, 2494071, 4805389, 9273501, 17919559, 34670835, 67156871, 130218219, 252741267, 490988734
1, 1, 0, 0, 2, 4, 7, 14, 23, 38, 68, 118, 207, 369, 665, 1198, 2219, 4081, 7629, 14266, 26923, 50874, 96781, 184270, 352447, 674971, 1296453, 2493302, 4805387, 9272067, 17919557, 34668386, 67156731, 130213775, 252741245
1, 3, 6, 12, 26, 62, 157, 409, 1079, 2863, 7617, 20299, 54202, 145134, 390048, 1052840, 2855633, 7784909, 21333806, 58769738, 162735221, 452890963, 1266501060, 3558037366, 10038873751, 28437746721, 80854303650, 230659891380
翻身时不允许有2种颜色的n珠项链数量；还有来自简单n级循环移位寄存器的输出序列数；度除n的二元不可约多项式的个数。
（原名M0564 N0203）
+10
161
1, 2, 3, 4, 6, 8, 14, 20, 36, 60, 108, 188, 352, 632, 1182, 2192, 4116, 7712, 14602, 27596, 52488, 99880, 190746, 364724, 699252, 1342184, 2581428, 4971068, 9587580, 18512792, 35792568, 69273668, 134219796, 260301176, 505294128, 981706832
评论
另外，a（n）-1是词典编纂最小deBruijn循环（Fredricksen）的真值表中的1的数量。
在音乐中，a（n）是n个音符的等调调谐系统中不同类别的音阶和和弦的数量-保罗·坎特雷尔2011年12月28日
此外，不可避免的一组长度为n的二进制单词（Champarnaud、Hansel、Perrin）的最小基数-杰弗里·沙利特2019年1月10日
（1/n）*phi（n）和2^n的狄利克雷卷积，n>0-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
a（n）是n的偶数！=0, 2. 证明：用奇数s写出n=2^e*s，然后a（n）*s=Sum_{d|s}Sum__{k=0..e}φ（（2^e*s/（2^k*d））*2^ 2^k*s-k-1）+2^（2^e*s-e）==和{k=0.分钟{e-1,1}}2^（2 ^k*s-k-1）（模2）。a（n）是奇数当且仅当s=1和e-1=0，或n=2。
a（n）==2（mod 4）当且仅当n=1，4或n=2*p^e，素数p==3（mod4）。
a（n）==4（mod 8）当且仅当n=2^e，e>=3时为3*2^e，或n=p^e，4*p^e！=12，素数p＝＝3（mod 4），或n＝2s，其中s是奇数，使得phi（s）＝＝4（mod 8）。（结束）
参考文献
S.W.Golomb，《移位寄存器序列》，Holden-Day，旧金山，1967年，第120、172页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年；参见问题7.112（a）。
链接
J.-M.Champarnaud、G.Hansel和D.Perrin，不可避免的定长集，内部。J.阿尔及利亚。计算。14 (2004), 241-251.
詹姆斯·伊斯特和罗恩·奈尔斯，给定周长的整数多边形，arXiv:1710.11245[math.CO]，2017年。
新泽西州罚款，周期序列类伊利诺伊州J.数学。，2 (1958), 285-302.
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E.N.Gilbert和J.Riordan，周期序列的对称类型伊利诺伊州J.数学。，5 (1961), 657-665.
Juhani Karhumäki、S.Puzynina、M.Rao和M.A.Whiteland，关于k-阿贝尔等价类的基数，arXiv预印本arXiv:1605.03319[math.CO]，2016。
维勒·萨洛，一排导线的通用门，arXiv:1809.08050[math.GR]，2018年。
N.J.A.斯隆，关于单删除修正码，arXiv:math/0207197[math.CO]，2002；《规范与设计》（俄亥俄州哥伦布，2000年），273-291，俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版。，10，de Gruyter，柏林，2002年。
大卫·汤姆森，音乐多边形《今日数学》，第57卷，第2期（2021年4月），第50-51页。
R.C.Titsworth，周期序列的等价类伊利诺伊州J.数学。，8 (1964), 266-270.
公式
G.f.：1-总和{n>=1}φ（n）*log（1-2*x^n）/n-赫伯特·科西姆巴，2016年10月29日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*和{k=1..n}2^gcd（n，k）-伊利亚·古特科夫斯基2021年4月16日
a（0）=1；a（n）=（1/n）*Sum_{k=1..n}2^（n/gcd（n，k））*phi（gcd（n，k））/phi（n/gcd（n、k））-理查德·奥尔勒顿2021年5月6日
Dirichlet g.f.：f（s+1）*（zeta（s）/zeta（s+1）），其中f（s）=和{n>=1}2^n/n^s-宋嘉宁2021年11月13日
例子
对于n＝3和n＝4，项链是{000001011111}和{0000000 10011010101111111}。
类似的移位寄存器序列是{000…、001001…、011011…、111…}和{000…，00010001…、00110011…、0101…、01110111…、111..}。
MAPLE公司
带有（数字理论）；A000031号：=proc（n）局部d，s；如果n=0，则返回（1）；其他s：=0；对于除数（n）中的d，做s：=s+phi（d）*2^（n/d）；od；返回（s/n）；fi；结束；[顺序(A000031号（n） ，n=0..50）]；
数学
a[n_]：=总和[如果[Mod[n，d]==0，EulerPhi[d]2^（n/d），0]，{d，1，n}]/n
a[n_]：=折叠[#1+2^（n/#2）EulerPhi[#2]&，0，除数[n]]/n(*本·布兰曼2011年1月8日*）
表[Expand[CycleIndex[CyclicGroup[n]，t]/。表[t[i]->2，{i，1，n}]]，{n，0，30}](*杰弗里·克雷策2011年3月6日*）
mx=40；系数列表[级数[1-和[EulerPhi[i]对数[1-2*x^i]/i，{i，1，mx}]，{x，0，mx{]，x](*赫伯特·科西姆巴2016年10月29日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a000031 0=1
a000031 n=（`div`n）$总和$
zipWith（*）（映射a000010 divs）（映射a 000079$reverse div）
其中divs=a027750_row n
（Python）
从sympy导入到divisors
定义A000031号（n） ：返回除数（n，生成器=True）中d的和（totient（d）*（1<<n//d））//如果其他n为1#柴华武2022年11月16日
扩展
1995年《整数序列百科全书》中的图M3860中有一个错误：在第三行中A000031号=M0564应为（1/n）和φ（d）2^（n/d）。
带有2种颜色的n个珠子的项链数量，允许翻动（也称为手镯）。
（原名M0563 N0202）
+10
43
1, 2, 3, 4, 6, 8, 13, 18, 30, 46, 78, 126, 224, 380, 687, 1224, 2250, 4112, 7685, 14310, 27012, 50964, 96909, 184410, 352698, 675188, 1296858, 2493726, 4806078, 9272780, 17920860, 34669602, 67159050, 130216124, 252745368, 490984488
评论
“允许翻倒的项链”通常称为手镯-乔格·阿恩特，2016年6月10日
参考文献
J.L.Fisher，面向应用的代数（1977），ISBN 0-7002-2504-8，约215页。
马丁·加德纳（Martin Gardner），《科学美国人的新数学转向》（Simon and Schuster，纽约，1966），第245-246页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
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N.Zagaglia Salvi，《自行车和项链的有序分区和着色》，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.
链接
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S.N.Ethier，计数环形二进制阵列，arXiv预印本arXiv:1301.2352[math.CO]，2013。
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朱里·科维奇，规则多边形系统《当代数学》（2019）第16卷第2期第157-171页。
Zhe Sun、T.Suenaga、P.Sarkar、S.Sato、M.Kotani和H.Isobe，带状环萘的立体异构、晶体结构和动力学，程序。美国国家科学院。科学。美国，第113卷第29期，第8109-8114页，doi:10.1073/pnas.1606530113。
詹姆斯·蒂利（James Tilley）、斯坦·瓦根（Stan Wagon）和埃里克·魏斯坦（Eric Weisstein），面部完全图目录，arXiv:2409.11249[math.CO]，2024。见第11页。
公式
a（n）=Sum_{d除以n}φ（d）*2^（n/d）/（2*n）+2^。
通用公式：（1-和{n>=1}φ（n）*log（1-2*x^n）/n+（1+x）^2/（1-2%x^2））/2-赫伯特·科西姆巴2016年11月2日
a（0）=1；a（n）=Sum_{k=1..n}2^gcd（n，k）/（2*n）+2^（（n-1）/2），如果n是奇数，或者2^，（n/2-1）+2^（n/2-2），如果是偶数。
例子
对于n=2，这三个手镯是AA、AB和BB。对于n=3，这四个手镯子是AAA、AAB、ABB和BBB-罗伯特·拉塞尔2018年9月24日
MAPLE公司
带有（数字理论）：A000029号：=proc（n）局部d，s；如果n=0，则返回1，否则如果n mod 2=1，则s:=2^（（n-1）/2），否则s:=2^（n/2-2）+2^（n/2-1）fi；对于除数（n）中的d，做s：=s+phi（d）*2^（n/d）/（2*n）od；返回s；fi端：
数学
a[0]：=1；a[n_]：=折叠[#1+EulerPhi[#2]2^（n/#2）/（2n）&，如果[OddQ[n]，2^
mx=40；系数列表[级数[（1-和[EulerPhi[n]*Log[1-2*x^n]/n，{n，mx}]+（1+x）^2/（1-2*x^2））/2，{x，0，mx{](*赫伯特·科西姆巴2016年11月2日*）
a[0]=1；a[n]：=（1/4）*（Mod[n，2]+3）*2^商[n，2]+除数和[n，EulerPhi[#]*2^（n/#）&]/（2*n）；数组[a，36，0](*Jean-François Alcover公司2017年11月5日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=如果（n<1，！n，（n%2+3）/4*2^（n\2）+sumdiv（n，d，eulerphi（n/d）*2^d）/2/n）
（Python）
从同情导入因子，totiten
定义a（n）：
如果n<1 else（（2**（n//2+1）if n%2 else 3*2**（n//2-1））+总和（totient（n//d）*2**d for d in divisors（n））//n）//2，则返回1
打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#因德拉尼尔·戈什2017年4月23日
反对偶读取的数组：T（n，k）=使用最多k个不同颜色珠子的原始（周期n）手镯数。
+10
7
1, 2, 0, 3, 1, 0, 4, 3, 2, 0, 5, 6, 7, 3, 0, 6, 10, 16, 15, 6, 0, 7, 15, 30, 45, 36, 8, 0, 8, 21, 50, 105, 132, 79, 16, 0, 9, 28, 77, 210, 372, 404, 195, 24, 0, 10, 36, 112, 378, 882, 1460, 1296, 477, 42, 0, 11, 45, 156, 630, 1848, 4220, 5890, 4380, 1209, 69, 0
公式
T（n，k）=总和{d|n}mu（n/d）*A081720美元（d，k）代表k≤n。2022年1月22日修正
例子
表格开始：
1 2 3 4 5 6 7 8 ...
0 1 3 6 10 15 21 28 ...
0 2 7 16 30 50 77 112 ...
0 3 15 45 105 210 378 630 ...
0 6 36 132 372 882 1848 3528 ...
0 8 79 404 1460 4220 10423 22904 ...
0 16 195 1296 5890 20640 60021 151840 ...
0 24 477 4380 25275 107100 364854 1057392 ...
...
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局部d；
添加（数字[mobius]（n/d）*A081720型（d，k），d=numtheory[除数]（n））；
结束进程：
数学
t[n_，k_]：=总和[EulerPhi[d]k^（n/d），{d，除数[n]}]/（2n）+（k^楼层[（n+1）/2]+k^天花板[（n+1）/2]）/4；
T[n_，k_]：=总和[MoebiusMu[d]T[n/d，k]，{d，除数[n]}]；
0, 1, 2, 3, 6, 8, 16, 24, 42, 69, 124, 208, 378, 668, 1214, 2220, 4110, 7630, 14308, 26931, 50944, 96782, 184408, 352450, 675180, 1296477, 2493680, 4805388, 9272778, 17919558, 34669600
参考文献
M.R.Nester（1999）。一些植物相互作用设计的数学研究。博士论文。澳大利亚布里斯班昆士兰大学。[参见A056391号第2章的pdf文件]
允许翻转时带有2种颜色珠子的非原始（周期性）n珠项链的数量。
+10
0
0, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 6, 4, 9, 2, 16, 2, 19, 10, 30, 2, 55, 2, 81, 20, 127, 2, 248, 8, 381, 46, 690, 2, 1302, 2, 2250, 128, 4113, 24, 7896, 2, 14311, 382, 27036, 2, 51641, 2, 96912, 1266, 184411, 2, 354918, 18, 675258, 4114, 1296861, 2, 2501365, 132, 4806102, 14312
数学
a29[n_]：=a29[n]=（s=如果[OddQ[n]，2^（（n-1）/2），2^（n/2-2）+2^（n/2-1）]；a29[0]=1；Do[s=s+EulerPhi[d]2^（n/d）/（2n），{d，除数[n]}]；s） ；
a1371[n_]：=总和[MoebiusMu[d]a29[n/d]，{d，除数[n]}]；a1371[0]=1；
a[0]=0；a[n]：=a29[n]-a1371[n]；
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