搜索： a061987-编号：a061987
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A003586号
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| 3-光滑数：2^i*3^j形式的数，其中i，j>=0。 |
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+10
323
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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这些数字曾被称为“谐波数”，见Lenstra链接-N.J.A.斯隆2015年7月3日
也可以是既不能被6k-1整除也不能被6k+1整除的数字，只要k>0-罗伯特·威尔逊v2010年10月26日
也对m进行编号，以便Matula-Goebel编号为m的有根树具有m条反链。根树的Matula-Goebel数可以通过以下递归方式定义：对于单顶点树，对应于数字1；对于根度为1的树T，对应于第T个素数，其中T是通过删除从根发出的边从T获得的树的Matula Goebel数；对于根次数为m>=2的树T，对应于T的m个分支的Matula-Goebel数的乘积。有根树的顶点可视为部分有序集，其中u<=v对两个顶点u和v成立，当且仅当u位于v和根之间的唯一路径上。反链是一组相互不可比较的非空顶点。示例：m=4位于序列中，因为对应的根树是\/=ARB（R是根），具有4个反链（A、R、B、AB）-Emeric Deutsch公司2012年1月30日
小于或等于n的项数为Sum_{i=0..floor（log_2（n））}floor（log_3（n/2^i）+1），或Sum_}i=0.floor（对数_3（n），}floor（LO_2（n/3^i）+1），这需要较少的项数进行计算-罗伯特·威尔逊v2012年8月17日
3个光滑数的倒数之和等于3。简证：1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+…=（和{k>=0}1/2^k）*（和{m>=0{1/3^m）=（1/（1-1/2））*（1/1（1-1/3））=（2/（2-1））*-伯纳德·肖特，2019年2月19日
对于每个素数p>3的整数k，p^（2k）-1==0（mod 24k）-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日
对于n>1，四个连续项中的一个的指数奇偶校验{奇偶（i），奇偶校验（j）}是{奇数，奇数}。因此，对于n>1，每四个连续项中至少有一个是Zumkeller数(A083207号). 如果奇偶校验为{偶数、奇数}的项的偶数也表示非零，则该项也是Zumkeller数（与四个连续项中的最后一个1296145815361728一样）-伊万·伊纳基耶夫，2022年7月10日
除了初始项2、3、4、8、9和16之外，这些是数字k，k^6除以6^k-亚辛2022年7月21日
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参考文献
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J.-M.De Koninck和A.Mercier，1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres，Probléme 654，第85、287-8页，巴黎椭圆2004。
S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；切尔西，纽约，1962年，第xxiv页。
R.Tijdeman，Diophantine近似的一些应用，《数论调查》（Urbana，2000年5月21日）第261-284页，M.A.Bennett等人编辑，Peters，2003年。
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链接
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R.Blecksmith、M.McCallum和J.L.Selfridge，整数的3-光滑表示阿默尔。数学。月刊，105（1998），529-543。
蒂埃里·布什，斯托克梅耶巡回赛Séminaire Lotharingien de Combinatoire 77（2017），第B77d条。
纳塔利亚·达席尔瓦（Natalia da Silva）、塞尔维亚人莱亚努（Raianu）和赫克托尔·萨尔加多（Hector Salgado），调和数的差异与abc猜想，arXiv:1708.00620[math.NT]，2017年。
David Eppstein，2048年的变革，arXiv:1804.07396[cs.DM]，2018年。
I.Gutman和A.Ivic，关于Matula数，离散数学。，150, 1996, 131-142.
I.Gutman和Yeong Nan Yeh，从Matula数推导树的性质，出版物。数学研究所。，53 (67), 1993, 17-22.
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，河内塔——神话与数学，Birkhäuser 2013。见第252页。图书网站
H.W.Lenstra，Jr.，小。，调和数与ABC猜想，谈话摘要，2001年5月30日[带注释的扫描件]
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配方奶粉
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a（n）的一个渐近公式大致是a（n）~1/sqrt（6）*exp（sqrt（2*log（2）*log，3）*n））-Benoit Cloitre公司2001年11月20日
该序列的特征函数由Sum{n>=1}x^a（n）=Sum{n>=1}moebius（6*n）*x^n/（1-x^n）给出-保罗·D·汉纳2011年9月18日
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MAPLE公司
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A003586号：=proc（n）选项记忆；如果n=1，则为1；否则，对于from procname（n-1）+1，执行numtheory[factorset]（a）减去{2,3}；如果%={}，则返回a；结束条件：；end do：结束if；结束进程：#R.J.马塔尔2011年2月28日
with（numtheory）：对于i从1到23328，如果（i/phi（i）=3），则打印（i/6）fiod#加里·德特利夫斯2011年6月28日
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数学
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a[1]＝1；j=1；k=1；n=100；对于[k=2，k<=n，k++，如果[2*a[k-j]<3^j，a[k]=2*a[k-j]，{a[k]=3^j，j++}]]；表[a[i]，{i，1，n}]（*Hai He（Hai（AT）mathteach.net）和Gilbert Traub，2004年12月28日*）
aa={}；Do[If[EulerPhi[6 n]==2 n，AppendTo[aa，n]]，{n，1，1000}]；aa公司(*阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日*）
fQ[n_]：=联合[MemberQ[{1，5}，#]&/@Union@Mod[Rest@Divisors@n，6]]=={False}；fQ[1]=真；选择[Range@4000，fQ](*罗伯特·威尔逊v2010年10月26日*）
功率OfTwo=12；选择[嵌套[联盟@加入[#，2*#，3*#]&，｛1｝，powerOfTwo-1]，#<2^powerOfTwo&](*罗伯特·威尔逊v和T.D.诺伊2011年3月3日*）
fQ[n_]：=n==3 EulerPhi@n；选择[6范围@4000，fQ]/6(*罗伯特·威尔逊v2011年7月8日*）
mx=4000；排序@Flatten@表[2^i*3^j，{i，0，对数[2，mx]}，{j，0，Log[3，mx/2^i]}](*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*）
f[n_]：=块[{p2，p3=3^范围[0，楼层@Log[3，n]+1]}，p2=2^楼层[Log[2，n/p3]+1]；Min[选择[p2*p3，整数Q]]；嵌套列表[f，1，54](*罗伯特·威尔逊v2012年8月22日*）
选择[范围@4000，最后@地图[First，FactorInteger@#]<=3&](*文森佐·利班迪2016年8月25日*）
选择[Range[4000]，Max[FactorInteger[#][[All，1]]<4&](*哈维·P·戴尔2017年1月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）测试（n）=（p=2,3，而（n%p==0，n/=p））；n==1；
对于（n=14000，如果（测试（n），打印1（n“，”））
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），N）；对于（n=0，log（lim\1+.5）\log（3），n=3^n；而（N<=lim，listput（v，N））；N＜＜＝1））；向量排序（Vec（v））\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月28日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），N）；对于（n=0，logint（lim\=1，3），n=3^n；而（N<=lim，listput（v，N））；N<<=1））；集合（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月10日
（哈斯克尔）
导入数据。集合（Set、singleton、insert、deleteFindMin）
平滑：：设置整数->[整数]
平滑s=x：平滑（插入（3*x）$插入（2*x）s’）
其中（x，s'）=删除查找最小值
a003586_list=平滑（单例1）
a003586 n=a003586_列表！！（n-1）
（鼠尾草）
定义为A003586（n）：
不返回任何（prime_divisors（n）中d的d！=2和d！=3）
@缓存函数
如果n==1：返回1
而不是A003586（k）：k+=1
返回k
（Python）
来自itertools导入计数，takewhile
定义缺陷（lim）：
pows2=列表（takewhile（λx：x<lim，（计数（0）中i的2**i））
pows3=列表（takewhile（λx：x<lim，（计数（0）中的i为3**i））
返回已排序的（如果c*d<=lim，则返回pows2中c的c*d，返回pows3中d的c）
（岩浆）[1..4000]|PrimeDivisors（n）子集[2,3]]中的n:n//布鲁诺·贝塞利，2012年9月24日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A051037号,A002473号,A051038号,A080197号,A080681号,A080682号,A117221号,A105420号,A062051型,A117222号,A117220型,A090184号,A131096型,A131097号,A186711号,A186712号,A186771号,A088468号,A061987号,A080683号（具有其他p值的p-光滑数），A025613号（子序列）。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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删除了此序列是2^n的并集的声明(A000079号)和3^n(A000244号)序列——这不包括非纯幂的术语沃尔特·罗斯切罗（wroscello（AT）comcast.net），2008年11月16日
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状态
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经核准的
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13, 5, 11, 7, 1093, 5, 13, 11, 23, 5, 797161, 547, 11, 5, 1871, 7, 1597, 5, 13, 23, 47, 5, 11, 398581, 13, 5, 59, 7, 683, 5, 13, 103, 11, 5, 13097927, 1597, 13, 5, 83, 7, 431, 5, 11, 47, 1223, 5, 491, 11, 13, 5, 107, 7, 11, 5, 13, 59, 14425532687, 5, 603901, 683, 13, 5, 11, 7, 221101, 5, 13, 11
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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3,1
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评论
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Levi-Ben-Gerson（1288-1344）通过证明3^n-l有一个奇素因子，证明了当n>2时，3^n-1=2^m在整数中没有解。他的证明使用了3除以8和2除以8后的余数；请参阅Lenstra和Peterson链接。要获得优雅的简短证明，请参阅富兰克林链接。-桑多
证明它的一种方法是使用同余。模80的3的幂是3，9，27，1，3，9。。。2的幂是2，4，8，16，32，64，48，16，32,64，48,16-阿隆索·德尔·阿特2014年1月20日
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参考文献
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L.E.Dickson，《数论史》，第二卷，切尔西，纽约，1992年；见第731页。
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链接
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P.Franklin，问题2927阿默尔。数学。《月刊》，30（1923），第81页。
A.Herschfeld，方程式2^x-3^y=d，公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》，42（1936），231-234。
J.J.O’Connor和E.F.Robertson，列维·本·格森《MacTutor数学史档案》，2009年。
I.彼得森，中世纪和谐《数学迷航》，MAA，2012年。
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配方奶粉
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a（4n）=5等于3^（4n，-1=（3^4）^n-1=81^n-1=（80+1）^n-1==0（mod 5）。
a（6+12n）=7等于3^（6+12 n）-1=（3^6）^（1+2n）-1=729^（1+2n）-1=（728+1）^。
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例子
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3^3-1=26=2*13，所以a（3）=13。
3^4-1=80=2^4*5，所以a（4）=5。
3^5-1=242=2*11^2，所以a（5）=11。
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数学
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表[FactorInteger[3^n-1][[2，1]]，{n，3，50}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=因子（3^n>>估值（3^n-1，2））[1，1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年1月20日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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5, 7, 41, 61, 5, 547, 17, 7, 5, 67, 41, 398581, 5, 7, 21523361, 103, 5, 2851, 41, 7, 5, 23535794707, 17, 61, 5, 7, 41, 523, 5, 6883, 926510094425921, 7, 5, 61, 41, 18427, 5, 7, 17, 33703, 5, 82064241848634269407, 41, 7, 5, 16921, 76801, 547, 5, 7, 41, 78719947, 5, 61, 17, 7, 5, 3187, 41
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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2,1
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评论
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Levi-Ben-Gerson（1288-1344）通过证明3^n+l有一个奇素因子，证明了当n>1时，3^n+1=2^m在整数中没有解。他的证明使用了3除以8和2除以8后的余数；请参阅Lenstra和Peterson链接。有关优雅的简短证明，请参阅Franklin链接。
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参考文献
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L.E.Dickson，《数字理论史》，第二卷，切尔西，1992年；见第731页。
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链接
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菲利普·富兰克林，问题2927阿默尔。数学。《月刊》，30（1923），第81页。
Aaron Herschfeld，方程式2^x-3^y=d，公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》，42（1936），231-234。
J.J.O'Connor和E.F.Robertson，列维·本·格森《MacTutor数学史档案》，2009年。
伊瓦斯·彼得森，中世纪和谐《数学迷航》，MAA，2012年。
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配方奶粉
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a（2+4n）=5等于3^（2+4n）+1=（3^2）*（3^4）^n+1=9*81^n+1=9*（80+1）^n+1==9+1==0（mod 5）。
a（3+6n）=7等于3^（3+6n）+1=（3^3）*（3^6）^n+1=27*729^n+1=27*（728+1）^n+1==27+1==0（mod 7），但27*729 ^n+1==2*（-1）^n+1！==0（模式5）。
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例子
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3^2+1=10=2*5，所以a（2）=5。
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数学
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表[FactorInteger[3^n+1][[2，1]]，{n，2，50}]
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黄体脂酮素
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（岩浆）[原分母（3^n+1）[2]：[2.60]]中的n//文森佐·利班迪2019年3月16日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A061980型
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| 方阵A（n，k）=A（n-1，k）+A（n-1，floor（k/2））+A。 |
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+10
7
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1, 0, 3, 0, 2, 9, 0, 1, 8, 27, 0, 0, 6, 26, 81, 0, 0, 4, 23, 80, 243, 0, 0, 3, 20, 76, 242, 729, 0, 0, 3, 17, 72, 237, 728, 2187, 0, 0, 1, 17, 66, 232, 722, 2186, 6561, 0, 0, 1, 11, 66, 222, 716, 2179, 6560, 19683, 0, 0, 1, 11, 54, 222, 701, 2172, 6552, 19682, 59049
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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链接
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配方奶粉
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A（n，k）=A（n-1，k）+A。
T（n，k）=A（k，n-k）。
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例子
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数组开头为：
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...;
3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, ...;
9、8、6、4、3、3、1、。。。；
27, 26, 23, 20, 17, 17, 11, ...;
81, 80, 76, 72, 66, 66, 54, ...;
243, 242, 237, 232, 222, 222, 202, ...;
729, 728, 722, 716, 701, 701, 671, ...;
反对角线行的开头为：
1;
0、3；
0, 2, 9;
0, 1, 8, 27;
0, 0, 6, 26, 81;
0, 0, 4, 23, 80, 243;
0, 0, 3, 20, 76, 242, 729;
0, 0, 3, 17, 72, 237, 728, 2187;
0, 0, 1, 17, 66, 232, 722, 2186, 6561;
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数学
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A[n_，k_]：=A[n，k]=如果[n==0，Boole[k==0]，A[n-1，k]+A[n-1，Floor[k/2]]+A[n-1，Floor[k/3]]]；
T[n_，k_]：=A[k，n-k]；
表[A[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年6月18日*）
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黄体脂酮素
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（SageMath）
@缓存函数
定义A（n，k）：
如果（n==0）：返回0^k
否则：返回A（n-1，k）+A（n-1，（k//2））+A
定义T（n，k）：返回A（k，n-k）
压扁（[[T（n，k）代表k in（0..n）]代表n in（0..12）]）#G.C.格鲁贝尔2022年6月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A061984号
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| a（n）=1+a（[n/2]）+a（[n/3]），a（0）=0。 |
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+10
7
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0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 47
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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如果n=2^a*3^b，则a（n）-a（n-1）=C（a+b，a）-大卫·沃瑟曼2005年11月17日
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链接
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a061984 n=a061984_列表！！n个
a061984_list=0:map（+1）（zipWith（+）
（地图（a061984。（`div`2））[1..]）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 6, 12, 15, 20, 30, 32, 36, 60, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 288, 324, 384, 432, 576, 648, 864, 1152, 1296, 1728, 2592, 3456, 5184, 10368, 11259, 13344, 15012, 17792, 20016, 22518, 26688, 30024, 40032, 45036, 53376
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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数学
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s={}；m=13；Do[n=3^k；While[n<=3^m，AppendTo[s，n]；n*=2]，{k，0，m}]；DeleteDuplicates@FoldList[Max，Differences@Union[s]](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*）
DeleteDuplicates[Differences[Select[Range[10^6]，Max[FactorInteger[#][[All，1]]<5&]]，GreaterEqual](*哈维·P·戴尔2022年11月22日*）
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交叉参考
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非n
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作者
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经核准的
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1, 4, 9, 12, 18, 36, 81, 108, 162, 256, 288, 324, 512, 576, 648, 768, 864, 1024, 1152, 1296, 1536, 1728, 2304, 2592, 3072, 3456, 4608, 5184, 6912, 9216, 10368, 13824, 20736, 27648, 41472, 82944, 165888, 196608, 221184, 262144, 294912, 331776
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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数学
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s={}；m=13；Do[n=3^k；While[n<=3^m，AppendTo[s，n]；n*=2]，{k，0，m}]；s=联合[s]；d=差异@秒；v=DeleteDuplicates@FoldList[Max，d]；地图[s[[First@位置[d，#]]]&，v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*）
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交叉参考
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非n
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2, 6, 12, 16, 24, 48, 96, 128, 192, 288, 324, 384, 576, 648, 729, 864, 972, 1152, 1296, 1458, 1728, 1944, 2592, 2916, 3456, 3888, 5184, 5832, 7776, 10368, 11664, 15552, 23328, 31104, 46656, 93312, 177147, 209952, 236196, 279936, 314928
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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链接
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配方奶粉
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数学
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s={}；m=13；Do[n=3^k；While[n<=3^m，AppendTo[s，n]；n*=2]，{k，0，m}]；s=联合[s]；d=差异@秒；v=DeleteDuplicates@FoldList[Max，d]；地图[s[[1+First@位置[d，#]]]&，v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*）
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交叉参考
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非n
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经核准的
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1, 4, 7, 8, 10, 14, 19, 21, 24, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 46, 50, 51, 53, 54, 58, 59, 63, 67, 68, 72, 78, 82, 88, 99, 110, 113, 115, 118, 120, 122, 125, 127, 133, 135, 138, 140, 146, 148, 154, 160, 162, 168, 175, 176, 177, 183, 190, 191, 192
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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配方奶粉
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数学
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s={}；m=13；Do[n=3^k；While[n<=3^m，AppendTo[s，n]；n*=2]，{k，0，m}]；s=联合[s]；d=差异@s; v=DeleteDuplicates@FoldList[Max，d]；Map[First@Position[d，#]&，v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*）
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 6, 3, 1, 4, 12, 6, 2, 8, 9, 3, 12, 4, 16, 18, 6, 24, 27, 1, 32, 36, 12, 48, 54, 2, 64, 72, 81, 3, 96, 108, 4, 128, 144, 162, 6, 192, 216, 8, 1, 9, 288, 324, 12, 384, 432, 16, 2, 18, 576, 648, 24, 3, 27, 864, 32, 4, 36, 1152, 1296, 48, 6, 54, 1728, 64, 8, 72, 9, 81, 2592, 96, 12
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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数学
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S3=选择[Range[3*10^4]，FactorInteger[#][[-1，1]]<=3&]；表[GCD[S3[[n]]，S3[[n+1]]，{n，1，长度[S3]-1}](*Jean-François Alcover公司2018年2月2日*）
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黄体脂酮素
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（哈斯克尔）
a186711 n=a186711_list！！（n-1）
a186711_list=zipWith gcd a003586_list$tail a003586列表
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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