%I#343 2023年10月29日01:41:52

%S 1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,27,32,36,48,54,64,72,81,96108128144162，

%电话：1922162432562883243844324865125766487297688649721024，

%电话：11521296145815361728194420482187230425922916307234563888

%N3-光滑数：形式为2^i*3^j的数，其中i，j>=0。

%C这些数字曾被称为“谐波数”，见Lenstra链接_N.J.A.Sloane，2015年7月3日

%C连续数字k，使得φ（6k）=2k.-Artur Jasinski，2008年11月5日

%C如果A088468中出现大于1的记录值：A160519（n）=A088469（a（n））。-_Reinhard Zumkeller_，2009年5月16日

%对于所有k>0的数，也可以被6k-1或6k+1整除_Robert G.Wilson v_，2010年10月26日

%C还对m进行编号，以便Matula-Goebel编号为m的有根树具有m条反链。根树的Matula-Goebel数可以通过以下递归方式定义：对于单顶点树，对应于数字1；对于根阶为1的树T，对应于第T个素数，其中T是通过删除从根发出的边而从T获得的树的Matula-Goebel数；对于根次数为m>=2的树T，对应于T的m个分支的Matula-Goebel数的乘积。有根树的顶点可以被视为部分有序集，其中u<=v对两个顶点u和v成立当且仅当u位于v和根之间的唯一路径上。反链是一组相互不可比较的非空顶点。示例：m=4位于序列中，因为相应的根树是\/=ARB（R是根），具有4个反链（A、R、B、AB）_Emeric Deutsch，2012年1月30日

%C A204455（3*a（n））=3，且仅适用于这些数字_Wolfdieter Lang_，2012年2月4日

%C小于或等于n的项数是总和{i=0..floor（log_2（n））}floor（log_3（n/2^i）+1），或总和{i=0..floor_Robert G.Wilson v_，2012年8月17日

%C用法语命名为3-fribables_米歇尔·马库斯（Michel Marcus），2013年7月17日

%C在14世纪，列维·本·格尔森证明了唯一一对相差1的术语是（1,2）、（2,3）、（3,4）和（8,9）；参见A235365、A235366、A236210_Jonathan Sondow，2014年1月20日

%C立方数的A000005（n）（以及A181819（n））值的范围n.-_Matthew Vandermast_，2014年5月14日

%C A036561是该序列的置换_L.Edson Jeffery，2014年9月22日

%C也是A000244和A007694的排序并集_雷舟2017年4月19日

%三个光滑数的倒数之和等于3。简证：1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+…=（和{k>=0}1/2^k）*（和{m>=0{1/3^m）=（1/（1-1/2））*（1/1（1-1/3））=（2/（2-1））*_伯纳德·肖特，2019年2月19日

%对于每个素数p>3的整数k，p^（2k）-1==0（mod 24k）_Federico Provvedi，2022年5月23日

%对于n>1，四个连续项中的一个的指数奇偶校验{奇偶（i），奇偶校验（j）}是{奇数，奇数}。因此，对于n>1，每四个连续项中至少有一个是Zumkeller编号（A083207）。如果奇偶校验为{偶数、奇数}的项的偶数也表示非零，则该项也是Zumkeller数（与四个连续项1296145815361728中的最后一个项一样）_Ivan N.Ianakiev，2022年7月10日

%C除了最初的项2、3、4、8、9和16之外，这些是数字k，这样k^6除以6^k。除了最初的项数2、3，4、6、8、9,16、18和27之外，这些数字k，那样k^12除以12^k。-穆罕默德·亚辛，2022年7月21日

%D J.-M.De Koninck&A.Mercier，《流浪者经典问题1001》，《流浪者经典问题654》，第85页，第287-8页，《巴黎椭圆》，2004年。

%D S.Ramanujan，《论文集》，编辑G.H.Hardy等人，剑桥，1927年；切尔西，纽约，1962年，第xxiv页。

%D R.Tijdeman，Diophantine近似的一些应用，第261-284页，《数论调查》（Urbana，2000年5月21日），编辑M.A.Bennett等人，Peters，2003年。

%周磊（H Lei Zhou），n的表，n=1..100000的a（n）（前501个术语来自Franklin T.Adams-Waters）

%H R.Blecksmith、M.McCallum和J.L.Selfridge，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2589404“>3-整数的光滑表示，Amer.Math.Monthly，105（1998），529-543。

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%H Benoit Cloitre，<a href=“/A003586/A003586.png”>a（n）/（（1/sqrt（6））*exp（sqrt</a>

%H Natalia da Silva、塞尔维亚人Raianu和Hector Salgado，<a href=“https://arxiv.org/abs/1708.00620“>调和数与abc-猜想的差异，arXiv:1708.00620[math.NT]，2017。

%H Emeric Deutsch，<a href=“http://arxiv.org/abs/1111.4288“>Matula数的有根树统计</a>，arXiv:1111.4288[math.CO]，2011。

%H David Eppstein，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.07396“>《2048年的变革》，arXiv:1804.07396[cs.DM]，2018年。

%H F.Goebel，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0095-8956（80）90049-0“>关于有根树和自然数之间的1-1-对应关系，J.Combina.Theory，B 29（1980），141-143。

%H I.Gutman和A.Ivic，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X（95）00182-V“>关于Matula数，离散数学，150，1996，131-142。

%H I.Gutman和Yeong Nan Yeh，<a href=“http://www.emis.de/journals/PIMB/067/3.html“>从树的Matula数推算树的属性，《公共数学研究所》，53（67），1993，17-22。

%H A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr，<A href=“http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-0237-6“>The Tower of Hanoi-Myths and Maths，Birkhäuser 2013年。见第252页<a href=“http://tohbook.info“>Book的网站</a>

%H H.W.Lenstra Jr.，<a href=“http://www.msri.org/publications/ln/msri/1998/mandm/lenstra/1/index.html“>谐波数</a>

%H H.W.Lenstra，Jr.，《调和数与ABC猜想》，2001年5月30日[注释扫描件]

%H D.Matula，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2027327“>通过素数分解的自然根树枚举</A>，SIAM Rev.10（1968）273。

%H D.J.Mintz，<a href=“http://www.fq.math.ca/Scanned/19-4/minz.pdf“>2,3序列作为二元混合物</a>，《纤维季刊》，第19卷，第4期，1981年10月，第351-360页。

%H I.Peterson，<a href=“http://www.sciencenews.org/sn_arc99/1_23_99/mathland.htm“>中世纪和谐</a>

%H Raphael Schumacher，<a href=“https://arxiv.org/abs/1608.06928“>3-平滑、5-平滑、7-平滑和所有其他平滑数的分布公式</a>，arXiv预打印arXiv:1608.06928[math.NT]，2016。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SmoothNumber.html“>平滑数</a>

%F（n）的一个渐近公式大致是a（n）~1/sqrt（6）*exp（sqrt（2*log（2）*log_Benoit Cloitre_，2001年11月20日

%F A061987（n）=a（n+1）-a（n），a（A084791（n））=A084789（n）_Reinhard Zumkeller_，2003年6月3日

%F 2和3的幂与n的联合，使得psi（n）=2*n，其中psi（n_Lekraj Beedassy，2004年9月7日；由Franklin T.Adams-Waters于2009年3月19日更正

%F a（n）=2^A022328（n）*3^A02232.9（n）_N.J.A.Sloane，2009年3月19日

%这个序列的特征函数由Sum_{n>=1}x^a（n）=Sum_}n>=1{moebius（6*n）*x^n/（1-x^n）给出_Paul D.Hanna，2011年9月18日

%F a（n）=A007694（n+1）/2.-_雷舟2017年4月19日

%p A003586:=程序（n）选项记忆；如果n=1，则为1；否则，对于来自procname（n-1）+1的a，执行numtheory[factorset]（a）减去{2,3}；如果%={}，则返回a；结束条件：；end do：结束if；结束程序：#R.J.Mathar，2011年2月28日

%p with（numtheory）：对于i从1到23328，如果（i/phi（i）=3），则打印（i/6）fiod；#_Gary Detlefs，2011年6月28日

%ta[1]=1；j=1；k=1；n=100；对于[k=2，k<=n，k++，如果[2*a[k-j]<3^j，a[k]=2*a[k-j]，{a[k]=3^j，j++}]]；表[a[i]，{i，1，n}]（*Hai He（Hai（AT）mathteach.net）和Gilbert Traub，2004年12月28日*）

%t aa={}；Do[If[EulerPhi[6 n]==2 n，AppendTo[aa，n]]，{n，1，1000}]；aa（*阿图尔·贾辛斯基，2008年11月5日*）

%t fQ[n_]：=联合[MemberQ[{1，5}，#]&/@Union@Mod[Rest@Divisors@n，6]]=={False}；fQ[1]=真；选择[Range@4000，fQ]（*_Robert G.Wilson v_，2010年10月26日*）

%t功率OfTwo=12；选择[嵌套[联盟@加入[#，2*#，3*#]&，{1}，powerOfTwo-1]，#<2^powerOfTwo&]（*RobertG.Wilson v_和_T.D.Noe_，2011年3月3日*）

%t fQ[n_]：=n==3 EulerPhi@n；选择[6 Range@4000，fQ]/6（*_Robert G.Wilson v_，2011年7月8日*）

%t mx=4000；排序@Flatten@Table[2^i*3^j，{i，0，Log[2，mx]}，{j，0，Log[3，mx/2^i]}]（*_Robert G.Wilson v_，2012年8月17日*）

%tf[n_]：=块[{p2，p3=3^范围[0，Floor@Log[3，n]+1]}，p2=2^楼层[Log[2，n/p3]+1]；Min[选择[p2*p3，整数Q]]；雀巢列表[f，1，54]（*_Robert G.Wilson v_，2012年8月22日*）

%t选择[范围@4000, 最后@地图[First，FactorInteger@#]<=3&]（*Vincenzo Librandi_，2016年8月25日*）

%t选择[Range[4000]，Max[FactorInteger[#][[All，1]]<4&]（*H arvey P.Dale_，2017年1月11日*）

%o（PARI）检验（n）=（p=2,3，而（n%p==0，n/=p））；n==1；

%o表示（n=14000，如果（测试（n），打印1（n“，”））

%o（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），N）；对于（n=0，log（lim\1+.5）\log（3），n=3^n；而（N<=lim，listput（v，N））；N<<=1））；vecsort（Vec（v））\\_Charles R Greathouse IV_，2011年6月28日

%o（PARI）is_A003586（n）=n<5||vecmax（因子（n，5）[，1]）<5\\_M.F.Hasler_，2015年1月16日

%o（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（），N）；对于（n=0，logint（lim\=1,3），n=3^n；而（N<=lim，listput（v，N））；N<<=1））；集（v）\\_Charles R Greathouse IV_，2018年1月10日

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。集合（Set、singleton、insert、deleteFindMin）

%o平滑：：设置整数->[Integer]

%o平滑s=x：平滑（插入（3*x）$插入（2*x）s’）

%o其中（x，s'）=deleteFindMin s

%o a003586_list=平滑（单例1）

%o a003586 n=a003586_列表！！（n-1）

%o--_Reinhard Zumkeller_，2010年12月16日

%o（圣人）

%o定义为A003586（n）：

%o不返回任何（prime_divisors（n）中d的d！=2和d！=3）

%o@CachedFunction

%o定义A003586（n）：

%o如果n==1：返回1

%o k=A003586（n-1）+1

%o而不是A003586（k）：k+=1

%o返回k

%o[A003586（n）代表（1..55）中的n]#_Peter Luschny_，2012年7月20日

%o（Python）

%o从itertools导入计数，takewhile

%o定义缺陷（lim）：

%o pows2=列表（takewhile（λx：x<lim，（2**i代表计数（0）中的i））

%o pows3=列表（takewile（lambda x:x<lim，（3**i表示count（0）中的i））

%o返回排序的结果（如果c*d<=lim，则返回pows2中c的c*d，返回pows3中的d）

%o打印（aupto（10**4））#_Michael S.Branicky_，2022年7月8日

%o（岩浆）[1..4000]|PrimeDivisors（n）子集[2,3]]中的n:n；//_Bruno Berselli，2012年9月24日

%Y参见A051037、A002473、A051038、A080197、A080681、A08068、A08062、A117221、A105420、A062051、A117222、A117220、A090184、A131096、A131097、A186711、A18671、A186771、A088468、A061987、A08063（其他值为p的p光滑数）、A025613（子序列）。

%Y另请参阅A235365、A235366、A236210、A036561。

%Y另请参见A000244、A007694.-_雷舟2017年4月19日

%Y参见A022330（2^i指数），A022331（3^j指数）。

%不，简单，好

%O 1,2号机组

%A Paul Zimmermann，1996年12月11日

%E删除了关于该序列是2^n（A000079）和3^n（P000244）序列的并集的声明——这不包括非纯幂的术语沃尔特·罗斯切罗（wroscello（AT）comcast.net），2008年11月16日