搜索： a022528-编号：a022529
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A047969号
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| 由向上反对角线读取的节点数a（n，k）=（n+1）^（k+1）-n^（k+1）（n>=0，k>=0）的方阵。 |
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+10个
44
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 7, 1, 1, 7, 19, 15, 1, 1, 9, 37, 65, 31, 1, 1, 11, 61, 175, 211, 63, 1, 1, 13, 91, 369, 781, 665, 127, 1, 1, 15, 127, 671, 2101, 3367, 2059, 255, 1, 1, 17, 169, 1105, 4651, 11529, 14197, 6305, 511, 1, 1, 19, 217, 1695, 9031
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,5
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评论
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如果每一行以初始0开头（即a（n，k）=（n+1）^k-n^k），那么每一行都是前一行的二项式变换-亨利·博托姆利2001年5月31日
a（n-1，k-1）是正整数的有序k元组的数目，使得这些整数中最大的是n-阿尔福德·阿诺德2005年9月7日
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
-----------------------------------------
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
1 3 5 7 9 11
-----------------------------------------
1 3 6 10 15 21
4 12 24 40 60
1 3 6 10
1 7 19 37 61 91
-----------------------------------------
1 4 10 20 35 56
11 44 110 220 385
11 44 110 220
1 4 10
1 15 65 175 369 671
-----------------------------------------（结束）
多项式n^k-（n-1）^k，k=1,2,3，。。。，它给出了该数组列中的非零项，满足黎曼假设：它们的零点位于复平面中的垂直线Re s=1/2。请参见A019538年关于A型置换面体对偶的单纯形复形的多项式n^k-（n-1）^k和Stirling多项式之间的联系。
（结束）
经验：（n+1）^（k+1）-n^（k+1）是长度k+1的第一个差值的数量，数组为0..n，k>0-R.H.哈丁2013年6月30日
a（n-1，k-1）是宽度k和高度n的条形图的数量。例如：a（1,2）=7，因为我们有[1,1,2]、[1,2,1]、[2,1,1]、[1,2,2]，[2,1,2]、[2,2,1]和[2,2,2]；a（2,1）=5，因为我们有[1,3]、[2,3]，[3,1]、[3,2]和[3,3]（条形图是以组成形式给出的）。这一评论相当于A.Arnold 2005年9月的评论-Emeric Deutsch公司2017年1月30日
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第54页。
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链接
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A.Blecher、C.Brennan、A.Knopfmacher和H.Prodinger，条形图的高度和宽度《离散应用数学》。180, (2015), 36-44.
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配方奶粉
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数组行的例如f的O.g.f:（1-x）*exp（y））/（1-x*exp。
T（n，m）=和{k=0..m}k*（-1）^（m+k）*箍筋2（m，k）*C（n+k-1，n），T（n，0）=1。（结束）
T（n，m）=a（n-m，m）=（n-m+1）^（m+1）-（n-m）^，。。。，。
数组行的示例f.:exp（y）*（1+x*（exp（y）-1））*exp（x*exp。
三角形指数行多项式R（n，y）=Sum_{m=0｝T（n，m）*（y^m）/m的O.g.f.！：G（x，y）=经验（x*y）*（1-x）/（1-x*exp（x*y））^2。
（结束）
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例子
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数组a开始：
[答：][0 1 2 3 4 5 6。。。
[0] 1 1 1 1 1 1 1 ...
[1] 1 3 7 15 31 63 ...
[2] 1 5 19 65 211 ...
[3] 1 7 37 175 ...
...
三角形T开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
0: 1
1: 1 1
2: 1 3 1
3: 1 5 7 1
4: 1 7 19 15 1
5: 1 9 37 65 31 1
6: 1 11 61 175 211 63 1
7：1 13 91 369 781 665 127 1
8: 1 15 127 671 2101 3367 2059 255 1
9: 1 17 169 1105 4651 11529 14197 6305 511 1
10: 1 19 217 1695 9031 31031 61741 58975 19171 1023 1
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数学
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扁平[表[n=d-e；k=e；（n+1）^（k+1）-n^（k+1），{d，0，100}，{e，0，d}]](*T.D.诺伊2012年2月22日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）
T（n，m）：=如果m=0，则1其他和（k！*（-1）^（m+k）*stirling2（m，k）*二项式（n+k-1，n），k，0，m）/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2018年1月28日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 8191, 1586131, 65514541, 1153594261, 11839990891, 83828316391, 452866803481, 1992110014441, 7458134171671, 24522712143931, 72470493235141, 195881901213181, 490839666661891, 1152480295105231, 2557404559011121, 5400978405535441, 10918386832765231
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,2
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第54页。
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链接
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常系数线性递归的索引项，签名（13，-78286，-7151287，-17161716，-1287715，-286,78，-13,1）。
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配方奶粉
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G.f.：-（x^12+8178*x^11+1479726*x^10+45533450*x^9+423281535*x^8+1505621508*x^7+2275172004*x^6+1505621508*x^5+423281535*x^4+45533450*x^3+1479726*x^2+8178*x+1）/（x-1）^13-科林·巴克2014年9月25日
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数学
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表[（n+1）^13-n^13，{n，0，20}](*文森佐·利班迪2011年11月22日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[（n+1）^13-n^13:n in[0..20]]//文森佐·利班迪2011年11月22日
（PARI）a（n）=（n+1）^13-n^13\\米歇尔·马库斯2014年9月25日
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交叉参考
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关键词
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非n，容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A343237型
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| 通过向上读取反对偶，从数组A（n，k）=（k+1）^（n+1）-k^（n+1），n，k>=0获得三角形T。 |
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+10个
三
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1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 5, 1, 1, 15, 19, 7, 1, 1, 31, 65, 37, 9, 1, 1, 63, 211, 175, 61, 11, 1, 1, 127, 665, 781, 369, 91, 13, 1, 1, 255, 2059, 3367, 2101, 671, 127, 15, 1, 1, 511, 6305, 14197, 11529, 4651, 1105, 169, 17, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,5
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评论
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A（n-1，k-1）=k^n-（k-1）^n给出了具有来自k={1，2，3，…，k}的数字的n位数字的数目，使得来自k的任何数字，例如k，至少出现一次。由中的评论激发A005061号通过恩里克·纳瓦雷特对于n>=1，实例k=4（数组A中的列3）；对于m>=0，实例T=3（子）-对角线序列。
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链接
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配方奶粉
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数组A（n，k）=（k+1）^（n+1）-k^（n+1），n，k>=0。
A（n-1，k-1）=Sum_{j=1}二项式（n，j）*（k-1）^（n-j）=Sum _{j=0}二项式。
数组A的O.g.f.行n:RA（n，x）=P（n，x）/（1-x）^n，其中P（n、x）=Sum_{m=0..n}A008292号（n+1，m+1）*x^m，（欧拉数三角形A008292号对于n>=0，偏移量为1）。（参见2008年10月26日的评论A047969号通过彼得·巴拉). RA（n，x）=聚log（-（n+1），x）*（1-x）/x。（对于P（n，x），见下式弗拉德塔·乔沃维奇2002年9月2日）
数组A行的例如f.s:EE（x，y）=exp（x）*（1+y*（exp（x）-1））*exp（y*exp）（x）），即A（n，k）=[y^k/k！][x^n/n！]EE（x、y）。
三角形T（n，m）=A（n-m，m）=（m+1）^（n-m+1）-m^（n-m+1），n>=0，m=0，1。。。，。
例如：-（exp（x）-1）/（x*exp（x）*y-x）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2022年11月2日
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例子
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阵列A开始：
n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9。。。
-------------------------------------------------------------
0: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
1: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ...
2: 1 7 19 37 61 91 127 169 217 271 ...
3: 1 15 65 175 369 671 1105 1695 2465 3439 ...
4: 1 31 211 781 2101 4651 9031 15961 26281 40951 ...
5: 1 63 665 3367 11529 31031 70993 144495 269297 468559 ...
...
三角形T开始于：
n\m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
-------------------------------------------------------------
0: 1
1: 1 1
2: 1 3 1
3: 1 7 5 1
4: 1 15 19 7 1
5: 1 31 65 37 9 1
6: 1 63 211 175 61 11 1
7：1 127 665 781 369 91 13 1
8: 1 255 2059 3367 2101 671 127 15 1
9: 1 511 6305 14197 11529 4651 1105 169 17 1
10: 1 1023 19171 58975 61741 31031 9031 1695 217 19 1
...
从K={1、2、3、4}开始的数字具有至少一个4的三位数数字是：
j=1（一4）：114141411；224, 242, 422; 334, 343, 433; 124, 214, 142, 241, 412, 421; 134, 314, 143, 341, 413, 431; 234, 243, 423. 也就是说，3*3+3*3=27=二项式（3,1）*（4-1）^（3-1）=3*3^2；
j=2（2倍4）：144414441；244, 424, 442; 344, 434, 443; 3*3=9=二项式（3,2）*（4-1）^（3-2）=3*3；
j=3（三次4）444；1=二项式（3，3）*（4-1）^（3-3）。
合计：27+9+1=37=A（2,3）=T（5,3）。
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MAPLE公司
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egf:=exp（exp（x）*y+x）*（exp，x）*y-y+1）：ser:=系列（egf，x，12）：
cx:=n->系列（n！*系数（ser，x，n），y，12）：
Arow：=n->seq（k！*系数（cx（n），y，k），k=0..9）：
对于从0到5的n，do Arow（n）od#彼得·卢什尼2021年5月10日
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数学
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A[n，k_]：=（k+1）^（n+1）-k^（n+1）；表[A[n-k，k]，{n，0，9}，{k，0，n}]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔，2021年5月10日*）
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A341050
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| 由忽略零项和空项的向上反对偶读取的立方体数组：T（n，k，r）是长度为k的n元字符串的数目，包含r个连续的0。 |
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+10个
2
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1, 1, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 7, 21, 19, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 7, 21, 20, 1, 9, 40, 81, 43, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 7, 21, 20, 1, 9, 40, 81, 47, 1, 11, 65, 208, 295, 94, 1, 1, 3, 1, 5, 8, 1, 7, 21, 20, 1, 9, 40, 81, 48, 1, 11, 65, 208, 297, 107, 1, 13, 96, 425, 1024, 1037, 201
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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2,4
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链接
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例子
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对于n=5、k=6和r=4，共有65个字符串：{000000, 000001, 000002, 000003, 000004, 000010, 000011, 000012, 000013, 000014, 000020, 000021, 000022, 000023, 000024, 000030, 000031, 000032, 000033, 000034, 000040, 000041, 000042, 000043, 000044, 010000, 020000, 030000, 040000, 100000, 100001, 100002, 100003, 100004, 110000, 120000, 130000, 140000, 200000, 200001, 200002, 200003, 200004, 210000, 220000, 230000, 240000, 300000, 300001, 300002, 300003, 300004, 310000, 320000, 330000, 340000, 400000, 400001, 400002, 400003, 400004, 410000, 420000, 430000, 440000}
四面体（或金字塔）的前七个切片是：
-----------------切片1-----------------
1
-----------------切片2-----------------
1
1 3
-----------------切片3-----------------
1
1 3个
1 5 8
-----------------切片4-----------------
1
1 3
1 5 8
1 7 21 19
-----------------切片5-----------------
1
1 3个
1 5 8
1 7 21 20
1 9 40 81 43
-----------------切片6-----------------
1
1 3
1 5 8
1 7 21 20
1 9 40 81 47
1 11 65 208 295 94
-----------------切片7-----------------
1
1 3
1 5 8
1 7 21 20
1 9 40 81 48
1 11 65 208 297 107
1 13 96 425 1024 1037 201
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数学
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m[r_，n_]：=正常[带[｛p=1/n｝，稀疏阵列[｛Band[｛1，2｝]->p，｛i_，1｝/；i<=r->1-p，{r+1，r+1}->1}]]；T[n_，k_，r]：=矩阵幂[m[r，n]，k][[1，r+1]]*n^k；删除案例[Transpose[PadLeft[Reverse[Table[T[n，k，r]，{k，2，8}，{r，2，k}，}，2]，2<->3]，0，3]//扁平
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000567号[（k=4，r=2），（k=5，r=3），（k=6，r=4），…，（k=x，r=x-2）]。
囊性纤维变性。A103532号[（k=6，r=3），（k=7，r=4），（k=8，r=5），…，（k=x，r=x-3）]。
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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