搜索： 编号：a001008
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A001008号
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| 调和数H（n）的分子=Sum_{i=1..n}1/i。
（原名M2885 N1157）
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+0
438
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1, 3, 11, 25, 137, 49, 363, 761, 7129, 7381, 83711, 86021, 1145993, 1171733, 1195757, 2436559, 42142223, 14274301, 275295799, 55835135, 18858053, 19093197, 444316699, 1347822955, 34052522467, 34395742267, 312536252003, 315404588903, 9227046511387
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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H（n）/2是一堆n张牌在不倾倒的情况下可以伸出桌子边缘的最大距离。
根据Wolstenholme定理，p^2除以所有素数p>3的a（p-1）。
p除以所有素数p>3的a（p^2-1）。
a（n+1）是多项式a[1，n]（1）的分子，其中多项式a[属1，等级n]（m）定义为和{d=1..n-1}m^（n-d）/d-阿图尔·贾辛斯基2008年10月16日
M.Paterson和U.Zwick发现了更好的卡片堆叠问题解决方案（参见链接）-雨果·普福尔特纳2012年1月1日
关于Harmonic级数发散的简短证明，请参阅Goldmakher链接-N.J.A.斯隆2015年11月9日
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参考文献
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R.L.Graham、D.E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第259页。
哈代和赖特，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第347页。
D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第1卷，第615页。
G.Pólya和G.Szegő，《分析中的问题和定理》，第二卷，施普林格，1976年版重印，1998年，第251期，第154页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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David H.Bailey、Jonathan M.Borwein和Roland Girgensohn，欧拉和的实验评价，专家。数学。3(1) (1994), 17-30; 他们计算常数Sum{k>=1}H_k^m/（k+1）^n。
安塔尔·伊万尼，同步网络中的领导者选举《Sapientiae大学学报》，Mathematica，第5期，第2期（2013年），第54-82页。
杰里·梅茨格和托马斯·理查兹，囚犯问题变体《整数序列杂志》，第18卷（2015年），第15.2.7条。
Peter Shiu，调和数的分母，arXiv:1607.02863[math.NT]，2016年。
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配方奶粉
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H（n）~对数n+伽马+O（1/n）。[见哈迪和赖特，第422页。]
log n+gamma-1/n<H（n）<log n+gamma+1/n[很容易效仿Hardy和Wright，Th.422]-大卫·阿普尔盖特和N.J.A.斯隆2008年10月14日
H（n）=sqrt（Sum_{i=1..n}Sum_{j=1..n}1/（i*j））-亚历山大·阿达姆楚克2004年10月24日
a（n）是Gamma/n+Psi（1+n）/n=Gamma+Psi（n）的分子，其中Psi是digamma函数-阿图尔·贾辛斯基2008年11月2日
H（n）=3/2+2*Sum_{k=0..n-3}二项式（k+2,2）/（n-2-k）*（n-1）*n），n>1-加里·德特利夫斯2011年8月2日
H（n）=（-1）^（n-1）*（n+1）*n*和{k=0..n-1}k*箍筋2（n-1，k）*箍筋1（n+k+1，n+1）/（n+k+1）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2013年2月5日
H（n）=n*和{k=0..n-1}（-1）^k*二项式（n-1，k）/（k+1）^2。（文昌楚）-加里·德特利夫斯，2013年4月13日
H（n）=（1/2）*和{k=1..n}（-1）^（k-1）*二项式（n，k）*二项式（n+k，k）/k（H.W.古尔德）-加里·德特利夫斯2013年4月13日
例如，H（n）=a（n）/A002805号（n） ：（gamma+log（x）-Ei（-x））*exp（x），其中gamma是Euler-Marcheroni常数，Ei（x）是指数积分-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2013年4月24日
H（n）=Sum_{m>=1}n/（m^2+n*m）=gamma+digamma（1+n），分子和分母。（请参阅Digamma上的数学世界链接）-理查德·福伯格2015年1月18日
H（n）=（1/2）和{j>=1}和{k=1..n}（（1-2*k+2*n）/（-1+k+j*n）*（k+j*n））+log（n）+1/（2*n）-迪米特里·帕帕佐普洛斯2016年1月13日
H（n）=（n！）^2*和{k=1..n}1/（k*（n-k）*（n+k）！）-弗拉基米尔·克鲁奇宁2016年3月31日
H（n）=1+（1+1/2）*（n-1）/（n+1）+（1/2+1/3）*（n-1）*（n-2）/（（n+1。
H（n）/n=1+（1/2^2-1）*（n-1）/（n+1）+。
H（n）=（（n-1）/2）*超几何（[1，1，2-n]，[2，3]，1）+1-阿图尔·贾辛斯基2021年1月8日
猜想：对于非零m，H（n）=（1/m）*和{k=1..n}（（-1）^（k+1）/k）*二项式（m*k，k）*二项式（n+（m-1）*k，n-k）。情况m=1是众所周知的；Detlefs（2013年4月13日）给出了上述情况m=2-彼得·巴拉2022年3月4日
a（n）=连分数1/（1-1^2/（3-2^2/-彼得·巴拉2024年2月18日
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例子
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H（n）=[1，3/2，11/6，25/12，137/60，49/20，363/140，761/280，7129/2520，…]。
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MAPLE公司
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加（1/k，k=1..n）；
数字（%）；
结束进程：
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数学
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表[分子[HarmonicNumber[n]]，{n，30}]
（*生成A[1，n]（m）的程序（见注释部分）*）m=1；aa＝{}；做[k=0；做[k=k+m^（r-d）/d，{d，1，r-1}]；附加到[aa，k]，{r，1，20}]；aa公司(*阿图尔·贾辛斯基2008年10月16日*）
分子[表[（n-1）/2）*HypergeometricPFQ[{1，1，2-n}，{2，3}，1]+1，{n，1，29}]](*阿图尔·贾辛斯基，2021年1月8日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）H1008=列表（1）；A001008号（n） ={对于（k=#H1008，n-1，listput（H1008、H1008[k]+1/（k+1））；分子（H1008[n]）}\\大约比n=1.1500快100倍-M.F.哈斯勒2019年7月3日
（哈斯克尔）
导入数据。比率（%），分子）
a001008=分子。总和。地图（1%）。enumFromTo 1
a001008_list=映射分子$scanl1（+）$map（1%）[1..]
（鼠尾草）
def harmonic（a，b）：#参见F.Johansson链接。
如果b-a==1：
返回1，a
m=（a+b）//2
p、 q=谐波（a，m）
r、 s=谐波（m，b）
返回p*s+q*r，q*s
定义A001008号（n） ：H=谐波（1，n+1）；返回分子（H[0]/H[1]）
（岩浆）[分子（谐波数（n））：[1..30]]中的n//布鲁诺·贝塞利2016年2月17日
（Python）
从sympy导入整数
[对于范围（1，n+1）中的i，求和（1/Integer（i））。对于范围（1,31）中的n，求numerator（）]#印地瑞尼Ghosh2017年3月23日
（GAP）列表（[1..30]，n->NumeratorRat（总和（[1..n]，i->1/i））#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年12月20日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A002805号（分母），A007406号,A007408号,A007410号,A075135号,A001220号,A125854号,A121999号,A014566号,A056903号,A067657号,A177427号,A177690型.
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关键字
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非n,压裂,美好的,容易的
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作者
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扩展
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更改了标题，删除了不正确的名称“Wolstenholme numbers”，该名称与Weisstein的《数学世界》和Wikipedia以及OEIS中对后者的定义相冲突A007406号. -斯坦尼斯拉夫·西科拉2016年3月25日
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状态
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经核准的
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