调和数

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调和数是一个数。形式的

 Hnn= SuMuz(k=1)^ n/k
(1)

由于截断而产生的调和级数调和数可以用解析式表示

 Hyn=Gamma+PSI0 0(n+1),
(2)

在哪里?伽马欧拉-马谢罗尼常数Psi(x)=PSI0 0(x)DigaMa函数.

前几个调和数Hyn是1,3/211/625/12137/60,…(OEIS)A000 1008A000 2805)分子中的数字个数H~(10)nn=0,1,…1, 4, 41、434, 4346, 43451、434111、4342303, 43428680、…(OEIS)A114467),用1, 4, 40、433, 4345、43450, 434110, 4342302、43428678、……给出的分母的相应位数。(OEIS)A114468这些数字收敛到看起来是十进制数字的Loge(10)e=0.43429448…(OEIS)A00 228 5

调和数素数

前几项指标N这样分子属于Hyn素数是由2, 3, 5、8、9, 21, 26、41, 56, 62、69、……给出的。(OEIS)A056903搜索原始分子已经完成了八万一千七百八十由E.W.W.Weistin(2009年5月13日),下表总结了已知的最大值。

N十进制数字发现者
六万三千九百四十二二万七千七百九十五E.W.W.韦斯斯坦(第14页,第2007页)
六万九千二百九十四三万零六十七E.W.W.韦斯斯坦(第2页第1, 2008页)
六万九千九百二十七三万零三百零一E.W.W.韦斯斯坦(第11, 2008章)
七万七千四百四十九三万三千六百一十六E.W.W.韦斯斯坦(4, 2009月4日)
七万八千一百二十八三万三千九百二十八E.W.W.韦斯斯坦(9, 2009)
七万八千九百九十三三万四千二百九十六E.W.W.韦斯斯坦(17, 2009月4日)
八万一千六百五十八三万五千四百七十九E.W.W.韦斯斯坦(5月12, 2009)

分母Hyn除了案件之外,永远不会是最好的HY2=3/2. 此外,分母是从来没有的。素数幂(除了这种情况),因为分母总是可被2的最大功率除或小于或等于N以及任何素数磷N/2<P<n.

谐波数被实现为调和数[N]

价值观N这样Hyn等于或超过1, 2, 3,…由1, 4, 11、31, 83, 227、616, 1674、…(OEIS)A000 4080另一个有趣的序列是简单连分数属于H~(10)nn=0,1, 2,…,由1, 8, 68,834, 8356, 84548,841817, 8425934, 84277586,…(OEIS)A091590),猜想这是接近的。12LN2/π2=0.8427659…(OEIS)A089729

调和数调和数等高线

调和数的定义也可以扩展到复平面,如上文所示。

根据它们的定义,调和数满足明显的递推方程

 Hyn=1/n+H~(n-1)
(3)

HY1=1.

在求和中采用交替符号所形成的数也有明确的解析形式。

哈恩斯=SuMuz(k=1)^(n)((1)^(k+1))/k
(4)
=Ln2+ 1/2(- 1)^ n [ PSIIO 0(1/2N+1/2)-PSIIO 0(1/2N+1)]
(5)
=Ln2+ 1/2(-1)^ n[Ha]((n-1)/2)-Hyn(n/2)]。
(6)

H~(2n)^有特别漂亮的形式

H~(2n)^=SuMuz(k=1)^(2n)((1)^(k+1))/k
(7)
=SuMuz(k= 1,3,…)^(2n)((- 1)^(k+ 1))/k+SuMuMe(k= 2,4,…)^(2n)((-1)^(k+1))/k
(8)
=SuMuz(k= 1,3,…)^(2n)1 /k- SUMYAF(k= 2,4,…)^(2n)1/k
(9)
=(SuMuz(k= 1,3,…)^(2n)1 /k+SuMuz(k= 2,4,…)^(2n)1 /k)-2SUMUIF(k= 2,4,…)^(2n)1 /k
(10)
=SuMuz(k=1)^(2n)1/k- SuMuik(k=1)^(n)1/k
(11)
=H2(2n)-Hyn。
(12)

调和数Hyn绝不是整数除了HY1这可以用强三角不等式证明2-进制值属于Hyn大于1n>1. 这一结果在Taeisinger中被证明了1915,并且在1918(霍夫曼1998,p 157)中证明了任何数目的不连续的项不必从1开始不等于一个整数的更一般的结果。

调和数有奇数 分子即使 分母. TheNTH调和数渐近给出

 Hnn~Lnn+Gamma+1/(2n)- 1/(12)n^(- 2)+1/(120)n^(-4)-1/(252)n^(-6)+,…
(13)

在哪里?伽马欧拉-马谢罗尼常数(考平和盖伊1996;Havil 2003,pp.79和89),其中一般(2n)第学期是Zeta(1-2N)给予- 12120,- 252,240,…n=1,2,…(OEIS)A000 6953这个公式是一个特殊的例子。Euler-MaCururin积分公式(HVIL 2003,P 79)。

调和数不等式

不等式边界Hyn包括

 1/(2(n+1))<HYN-LN-GAMMA<1/(2n)
(14)

(青年1991;Havl 2003,pp.73-75);

 1/(24(n+1)^ 2)<HYN-LN(n+1/2)-γ<1(24n^ 2)
(15)

(DEVITE 1991;HAVIL 2003,pp.76-78)。

给出了一个有趣的解析和。

 SuMui(n=1)^(Hyn)/(n·2 ^ n)=1/(12)π^ 2。
(16)

(考夫曼1987)。BurWein和BurWein(1995)表明

SuMui(n=1)^(ffTy)(Hyn ^ 2)/((n+1)^ 2)=(11)/4Zeta(4)=(11)/(360)π^ 4
(17)
SuMui(n=1)^(ffTy)(Hyn ^ 2)/(n ^ 2)=(17)/4Zeta(4)=(17)/(360)π^ 4
(18)
SuMui(n=1)^(fnTy)(Hyn)/(n ^ 3)=5/4Zeta(4)=1/(72)π^ 4
(19)
SuMui(n=1)^(fnTy)(Hyn)/(n ^ 4)=3Zeta(5)-1/6Pi^ 2Zeta(3)
(20)
SuMui(n=1)^(fnTy)(Hyn)/(n ^ 5)=1/(540)π6-1/2〔ζ(3)〕^ 2;
(21)

在哪里?泽塔(Z)黎曼ζ函数. 其中的第一个是de Doelder(1991),第三和哥德巴赫在1742封Euler(博温和贝利2003,pp.99100);等。2007,P 256)。这些恒等式是“恒等式”的推论。

 1 / PiTIN 0 0 ^ PIX ^ 2 {LN[2COS(1 /2x)] } ^ 2Dx=(11)/2Zeta(4)=(11)/(180)π^ 4
(22)

(博温和博文1995)。欧拉的附加恒等式

SuMui(n=1)^(fnTy)(Hyn)/(n ^ 2)=2Zeta(3)
(23)
2SuMui(n=1)^(fnTy)(Hyn)/(n^ m)=(m+ 2)ζ(m+ 1)-苏米(n=1)^(m-2)ζ(m n)zeta(n+1)
(24)

M=2,3,…(博温和博尔温1995)ζ(3)阿佩里常数. 这些总和与所谓的欧拉和.

由于B.CultRe(Pes)的一般身份。7, 2006月1日

 SuMuz(k=1)^ fTy(HYK)/((k+1)1 m)=1(/(M-1))!(M-1)^ 2);
(25)

在哪里?(x)n是一个波奇哈默符号.

Gosper给出了有趣的身份。

SuMui(i=0)^(ffTy)(Z^ IHEI)/(I!)=- E^ ZSuMuz(k=1)^(ffTy)((-z)^ k)/(kk!)
(26)
=E^ Z[LNZ+Gamma(0,z)+Gamma ],
(27)

在哪里?伽玛(0,z)不完全Γ函数伽马欧拉-马谢罗尼常数.

G·休特(2002)发现了美丽的公式

 Zeta(5)=-(16)/(11)SUMUIN(n=1)^ fTy([2(-1)^ n+1)Hyn)/(n^ 4)。
(28)

美丽的双级数是由

 SuMuik(k=1)^ ffTimeSuj(j=1)^ fTyt(Hyj(Hyk(k+ 1)-1))/(kj(k+1)(j+k))=-4zeta(2)-2zeta(3)+4zeta(2)zeta(3)+2zeta(5)
(29)

(贝利等。2007,pp.27~27 4)。另一个和是

 SuMui(i=0)^(k-1)SuMuj(j=k)^ n((- 1)^(i+j-1))/(j-i)(n;i)(n;j)=SUMUM(i=1)^(k-1)(n;i)^ 2(Hi(n- i)-Hi i)
(30)

1 <= k<n(索多夫2003, 2005)。

在谐波数与谐波之间存在着意外的联系。黎曼假说.

幂广义调和数R可以通过关系来定义

 Hyn(n,r)=SuMuz(k=1)^ n1//(k^ r),
(31)

在哪里?

 Hyn(n,1)=Hyn。
(32)

这些数字被实现为调和数[NR]特殊情况下的分子Hyn(n,2)被称为Wolstenholme数.

B.C.CultRe(Pes)。给出了惊人的身份

 Hyn(n,2)=1/2SuMixi(i=1)^ nSuthij(j=1)^ n((i-1)!(J-1)!/((i+j)!)+ 3 /2SUMUIF(k=1)^ n/(k^ 2(2k;k))
(33)

这涉及Hyn(n,2)一个著名系列的不定版本ζ(2).

奇数r>=3这些都有明确的形式

 Hyn(n,r)=n^(-r)+(psii(r-1)(n))/(γ(r))+zeta(r),
(34)

在哪里?PSIr r(n)多Γ函数伽玛(R)γ函数泽塔(R)黎曼ζ函数.

2-指数调和数满足同一性

 Hyn(n,r)=2 ^(r-1)(Hyr(2n,r)-Hyr(2n,r)^′)
(35)

(P.西蒙,Pes)。8月30, 2004日

广义调和数的和H~(n,r)包括

 SuMuz(n=1)^ fnTyHig(n,r)Z^ n=(Lyr r(z))/(1-z)
(36)

Z<1在哪里利亚尔(Z)是一个多对数

SuMuz(k=1)^(ffTy)(Hyk(k,1))/(k(z+1)^ k)=- LIY2(-1/z)
(37)
SuMuz(k=1)^(ffTy)(Hyk(k,1))/(kphi ^(2k))=1/(15)π2-1/2〔CSCH ^(- 1)2〕^ 2
(38)
SuMuz(k=1)^(ffTy)(Hyk(k,1))/(k^ 22 ^ k)=Zeta(3)- 1/(12)π2Ln2
(39)
SuMuz(k=1)^(ffTy)(Hyk(k,2))/(k^ 4)=〔ζ(3)〕^ 2 -(π^ 6)/(2835)
(40)
SuMuz(k=1)^(ffTy)(Hyk(k,2))/(k2^ k)=5/8Zeta(3)
(41)
SuMuz(k=1)^(ffTy)(Hyk(k,4))/(k^ 2)=(37π^ 6)/(11340)-[zeta(3)] ^ 2,
(42)

方程式(方程式)三十七三十八三十九)和(四十一是由于B.C.CultRe(Pes)。4,2004)LIY2(Z)是一个二次对数一般来说,

 SuMui(k=1)^ fTy(Hyk(k,r))/(k^ r)=1/2 {zeta(r)^ ^ 2 +zeta(2R)}
(43)

(P.Simon,Pes)。2003年6月2日)。功率谐波数也服从出乎意料的同一性。

 9Hyr(8,n)-19Hyr(9,n)+10Hyr(10,n)+SuMuz(k=1)^(n-1)[Ha](8,N-K)Hyr(9,K)-Hyl(9,N-K)Hyr(9,K)-Hyi(8,N-K)Hyr(10,K)+Hyr(9,N-K)Hyr(10,k)]=10
(44)

(M.T.TROTT,PES。公报)

西蒙尼(Pes)。8月30, 2004日)表明

 〔C(t)〕^+〔S(t)〕2=1/(90)π^ 4+2/3pI^ 2C(t)-2SUMUM(m= 1)^ fTy((H*(m,2))/(m^ 2)+(2HYm)/(m^ 3))CoS(MT),
(45)

在哪里?

C(t)=SuMui(n=1)^(fItY)(COS(NT))/(n ^ 2)
(46)
=1/2〔LIY2(E^(-IT))+LIY2(E^(it))〕
(47)
S(t)=SuMui(n=1)^(ffTy)(Sin(NT))/(n ^ 2)
(48)
=1 /2I[LIY2(E^(-IT))- LIY2(E^(IT))]。
(49)

这给出了特殊的结果。

 (72)p^ 4×1 /8SuMig(n=1)^((2H*(4K,2))/(k^ 2)+(H2K(2k))/(k^ 3))=(211pI^ 4)/(11520)-k^ 2 2SUMUIK(k=Oy)^ f[((-^)^(k+y)Hyk(k,γ))/(k^α)+((-(^)^(k+y)Hyk)/(k^α)]=(37π^)/(?)SuMui(n=1)^ fTy(Hyn)/(n ^ 3)=1
(50)

t=0,PI/2,PI,分别。

考平和盖伊(1996)定义二阶调和数

Hyn^((2))=SuMui(i=1)^(n)Hi i
(51)
=(n+1)(Hyn(n+1)- 1)
(52)
=(n+1)(Hyn(n+1)-Hy1);
(53)

三次谐波数

 Hyn^((3))=SuMuxi(i=1)^ nHui^ ^((2))=(n+2;2)(Hyn(n+2)-Hy2);
(54)

以及K次谐波数

 Hyn^((k))=(n+k-1;k-1)(Hyn(n+k-1)-Hyr(k-1))。
(55)

二指标调和数的一个稍微不同的定义Cnn^((j))由罗马(1992)给出调和对数. 罗马(1992)通过以下定义

Cnn^((0))={n=0=1;n<0=0〕
(56)
C0~(^)((j))={1为j=0;j为0;= 0
(57)

加上递推关系

 Cnn^((j))=cnn^((j-1))+nc~(n-1)^((j))。
(58)

对于一般n>0J>0这相当于

 Cnn^((j))=SuMuxi(i=1)^ n1/iCiI ^((j-1));
(59)

为了n>0它简化了

 Cnn^((j))=SuSuMi(i=1)^ n(n;i)(- 1)^(i-1)i^(-j)。
(60)

n<0可以写出谐波数

 Cnn^((j))=(- 1)^ j}n!S(-n,j),
(61)

在哪里?“嗯!”罗马-阶乘S是一个斯特灵第一类数.

一个单独的数字类型有时也称为“谐波数”。调和数(或矿石号)。

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