调和数是一个数表单的
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由于截断调和级数。谐波数可以解析表示为
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哪里
是Euler-Mascheroni常数和
是迪加玛功能。
前几个谐波数
为1,
,
,
,
, ... (组织环境信息系统A001008号和A002805号). 中的位数的分子
对于
,1, ... 是1、4、41、434、4346、43451、434111、4342303、43428680。。。(组织环境信息系统A114467号),分母中相应的位数由1、4、40、433给出,4345, 43450, 434110, 4342302, 43428678, ... (组织环境信息系统A114468号).这些数字收敛到似乎是的十进制数字
(组织环境信息系统A002285号).
前几个指数
这样分子属于
是素数由2、3、5、8、9、21、26、41、56、62、,69, ... (组织环境信息系统A056903号). 搜索素数分子已完成到
作者:E.W.Weisstein(2009年5月13日)表总结了已知的最大值。
 | 十进制数字 | 发现者 |
63942 | 27795 | E.W.魏斯坦(2007年2月14日) |
69294 | 30067 | E.W.Weisstein(2008年2月1日) |
69927 | 30301 | E.W.魏斯坦(2008年3月11日) |
77449 | 33616 | E.W.Weisstein(2009年4月4日) |
78128 | 33928 | E.W.魏斯坦(2009年4月9日) |
78993 | 34296 | E.W.Weisstein(2009年4月17日) |
81658 | 35479 | E.W.魏斯坦(2009年5月12日) |
的分母
除了这种情况外,似乎从来都不是最好的
此外,分母从来都不是首要的权力(除了这种情况),因为分母总是可以被2的最大幂小于或等于
,也可以通过任何素数
具有
。
谐波数实现为谐波编号[n个].
的值
这样的话
等于或超过1、2、3。。。由1、4、11、31、83、227、616、1674。。。(组织环境信息系统A004080号). 另一个有趣的序列是中的字数简单-续分数属于
对于
,1, 2, ..., 由1、8、68、834、8356、84548、841817、8425934、84277586。。。(组织环境信息系统A091590型),推测接近
(组织环境信息系统A089729号).

调和数的定义也可以扩展到复平面,如上所示。
根据它们的定义,谐波数满足明显的重现方程式
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(3)
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具有
。
取和中的交替符号所形成的数字也有明确的解析形式
有着特别美丽的形式
谐波数
从来都不是整数除了
,可以用强三角不等式证明以表明2-adic值属于
的大于1
1915年,泰辛格证明了这一结果更一般的结果是,任何数量的连续项都不一定开始1918年,KürscháK证明了1永远不会和为整数(霍夫曼1998年,第157页)。
谐波数有古怪的 分子和即使 分母。这个
第个调和数渐近地由
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(13)
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哪里
是Euler-Mascheroni常数(康威和盖伊1996;Havil 2003,第79和89页),其中
第个学期是
,给予
, 120,
, 240, ... 对于
, 2, ... (组织环境信息系统A006953号).此公式是欧拉-马克拉林积分公式(哈维尔2003年,第79页)。
不等式边界
包括
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(14)
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(Young 1991;Havil 2003,第73-75页)和
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(15)
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(DeTemple 1991;Havil 2003,第76-78页)。
下面给出了一个有趣的解析和
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(16)
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(科夫曼1987)。博文和博文(1995)表明
哪里
是黎曼-泽塔函数。第一个这些数据之前是由德多尔德(1991)推导出来的,第三个是由哥德巴赫推导出来的在1742年写给Euler的信中(Borwein和Bailey 2003,第99-100页;Baileyet(等)阿尔。2007年,第256页)。这些恒等式是恒等式的推论
![1/piint_0^pix^2{ln[2cos(1/2x)]}^2dx=(11)/2ζ(4)=(11)/(180)pi^4](/images/equations/HarmonicNumber/NumberedEquation8.svg) |
(22)
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(Borwein和Borwein1995)。Euler提供的其他身份包括
对于
,3。。。(Borwein和Borwein1995),其中
是阿佩里常数。这些金额与所谓的欧拉总和。
B.Cloitre的一般身份(pers.comm.,2006年1月7日)是
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(25)
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哪里
是一个Pochhammer符号。
高斯珀给出了有趣的身份
哪里
是不完全伽马函数和
是尤勒·马切罗尼常数。
G.Huvent(2002)发现了美丽的公式
![ζ(5)=-(16)/(11)sum_(n=1)^infty([2(-1)^n+1]h_n)/(n^4)。](/images/equations/HarmonicNumber/NumberedEquation10.svg) |
(28)
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一个美丽的双系列由提供
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(29)
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(贝利等。2007年,第273-274页)。另一个双倍总和是
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(30)
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对于
(Sondow,2003年,2005年)。
谐波数和黎曼假设。
功率中的广义谐波数
可以由关系定义
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(31)
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哪里
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(32)
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这些数字实现为谐波编号[n个,对].
特殊情况的分子
被称为沃尔斯滕霍尔姆数字.B Cloitre(pers.comm.,)给出了令人惊讶的身份
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(33)
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这与
一个著名系列的不确定版本
。
也满足了
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(34)
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哪里
是黎曼-泽塔函数如下所示从身份上
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(35)
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哪里
是三角函数自从
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(36)
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对于奇数
,广义调和数具有显式形式
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(37)
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哪里
是多囊膜功能,
是伽马函数,和
是黎曼-泽塔函数。
2指数调和数满足恒等式
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(38)
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(P.Simon,pers.comm.,2004年8月30日)。
广义调和数之和
包括
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(39)
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对于
,哪里
是一个多对数,
其中方程式(40), (41), (42)、和(44)提交给B.Cloitre(pers.comm.,10月4日,2004年)和
是一个双对数一般来说,
![sum_(k=1)^infty(H_(k,r))/(k^r)=1/2{[zeta(r)]^2+zeta(2r)}](/images/equations/HarmonicNumber/NumberedEquation22.svg) |
(46)
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(P.Simone,《公共通讯》,2003年6月2日)。功率谐波数也服从意外恒等式
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(47)
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(M.Trott,个人通讯)。
P.Simone(pers.comm.,2004年8月30日)表示
![[C(t)]^2+[S(t)]^2=1/(90)pi^4+2/3pi^2C(t)-2sum_(m=1)^infty((H_(m,2))/(m^2)+(2H_m)/(m ^3))cos(mt),](/images/equations/HarmonicNumber/NumberedEquation24.svg) |
(48)
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哪里
这会产生特殊的结果
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(53)
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对于
,分别是。
Conway和Guy(1996)通过以下公式定义了二阶谐波数
三阶谐波数
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(57)
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以及
四阶谐波数依据
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(58)
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两指数调和数的一个稍有不同的定义
由Roman(1992)给出,与调和对数.Roman(1992)对此进行了定义通过
加上递推关系
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(61)
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对于一般情况
和
,这相当于
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(62)
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和用于
,它简化为
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(63)
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对于
,谐波数可以写
![c_n^((j))=(-1)^j|_n]!s(-n,j),](/images/equations/HarmonicNumber/NumberedEquation31.svg) |
(64)
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哪里
是罗马阶乘和
是一个斯特林第一类数量。
有时也称为“谐波数”的另一种类型的数是一调和因子数(或矿石编号)。