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谐波数

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谐波编号

调和数是一个数表单的

H_n=总和_（k=1）^n1/k
(1)

由于截断调和级数.谐波数可以解析地表示为

H_n=γ+psi_0（n+1），
(2)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数和Psi（x）=磅/平方英寸_0（x）是迪加玛功能.

前几个谐波数H_n（H_n）为1，3/2,11/6,25/12,137/60, ...（OEIS）A001008号和A002805号).中的位数的分子H_（10^n）对于n=0,1, .…是1、4、41、434、4346、43451、434111、4342303、43428680、。..（OEIS）A114467号),分母中相应的位数由1、4、40、433给出，4345, 43450, 434110, 4342302, 43428678, ...（OEIS）A114468号).这些数字收敛到似乎是的十进制数字log_（10）e=0.43429448。。。（组织环境信息系统A002285号).

和声数字素数

前几个指数n个这样分子属于H_n（H_n）是素数由2、3、5、8、9、21、26、41、56、62、，69, ...（OEIS）A056903号).搜索素数分子已完成到81780作者：E.W。Weisstein（2009年5月13日），以及以下内容表总结了已知的最大值。

n个十进制数字发现者
6394227795东-西。魏斯坦（2007年2月14日）
6929430067东-西。魏斯坦（2008年2月1日）
6992730301东-西。魏斯坦（2008年3月11日）
7744933616东-西。魏斯坦（2009年4月4日）
7812833928东-西。魏斯坦（2009年4月9日）
7899334296东-西。魏斯坦（2009年4月17日）
8165835479东-西。魏斯坦（2009年5月12日）

的分母H_n（H_n）除了这种情况外，似乎从来都不是最好的H_2=3/2此外，分母永远不是首要的权力（除了这种情况），因为分母总是可以被2的最大幂小于或等于n个，也可以通过任何素数第页具有n/2<p<=n.

谐波数实现为谐波编号[n个].

的值n个这样的话H_n（H_n）等于或超过1、2、3、。…由1、4、11、31、83、227、616、1674给出。..（组织环境信息系统A004080号).另一个有趣的序列是中的字数简单-续分数属于H_（10^n）对于n=0,1, 2, ...，由1、8、68、834、8356、84548、841817、8425934、84277586给出。..（OEIS）A091590型)，推测接近12ln2/pi^2=0.8427659。。。（组织环境信息系统A089729号).

谐波数字ReIm
谐波数字等高线

调和数的定义也可以扩展到复平面，如上所示。

根据它们的定义，谐波数满足明显的重现方程式

H_n=1/n+H_（n-1）
(3)

具有H_1=1.

取和中的交替符号所形成的数字也有明确的解析形式

H_n^'=sum_（k=1）^（n）（（-1）^（k+1））/k
(4)
=ln2+1/2（-1）^n[磅/平方英寸_0（1/2n+1/2）-磅/平方英尺_0（1/2牛顿+1）]
(5)
=ln2+1/2（-1）^n[H_（n-1）/2）-H_（n/2）]。
(6)

H_（2n）^'有着特别美丽的形式

H_（2n）^'=总和（k=1）^（2n）（（-1）^
(7)
=sum_（k=1,3，…）^（2n）（（-1）^
(8)
=总和_（k=1,3，…）^（2n）1/k-sum_（k=2,4，…）
(9)
=（总和_（k=1,3，…）^（2n）1/k+sum_（k=2,4，…）
(10)
=sum_（k=1）^（2n）1/k-sum_
(11)
=H_（2n）-H_n。
(12)

谐波数H_n（H_n）从来都不是整数除了氢-1，可以用强三角不等式证明以表明2-adic值属于H_n（H_n）的大于1n> 1个1915年，泰辛格证明了这一结果更一般的结果是，任何数量的连续项都不一定开始1918年，KürscháK证明了1永远不会和为整数（霍夫曼1998年，第157页）。

谐波数有古怪的 分子和即使 分母.这个n个第个谐波数由以下公式渐近给出

H_n～lnn+γ+1/（2n）-1/（12）n^（-2）+1/（120）n^-（-4）-1/。..,
(13)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数（康威和盖伊1996；Havil 2003，第79和89页），其中（2个）第个学期是ζ（1-2n），给予-12, 120,-252, 240, ...用于n=1, 2, ...（OEIS）A006953号).此公式是欧拉-马克拉林积分公式（哈维尔2003年，第79页）。

和谐数字不等式

不等式边界H_n（H_n）包括

1/（2（n+1））＜H_n-lnn-gamma＜1/（2n）
(14)

（Young 1991；Havil 2003，第73-75页）和

1/（24（n+1）^2）<H_n-ln（n+1/2）-γ<1/（24n^2）
(15)

（DeTemple 1991；Havil 2003，第76-78页）。

下面给出了一个有趣的解析和

sum_（n=1）^infty（H_n）/（n·2^n）=1/（12）pi^2。
(16)

（科夫曼1987）。博文和博文（1995）表明

sum_（n=1）^（infty）（H_n^2）/（（n+1）^2）=（11） /4zeta（4）=（11）/（360）pi^4
(17)
sum_（n=1）^（infty）（H_n^2）/（n^2）=（17） /4zeta（4）=（17）/（360）pi^4
(18)
sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^3）=5/4zeta（4）=1/（72）pi^4
(19)
sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^4）=泽塔（5）-1/6pi^2泽塔（3）
(20)
sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^5）=1/（540）π^6-1/2[泽塔（3）]^2，
(21)

哪里泽塔（z）是黎曼-泽塔函数。第一个这些数据以前是由德多尔德（1991）推导出来的，第三个是由哥德巴赫推导出来的在1742年写给Euler的信中（Borwein和Bailey 2003，第99-100页；Baileyet（等）等。2007年，第256页）。这些恒等式是恒等式的推论

1/piint_0^pix^2{ln[2cos（1/2x）]}^2dx=（11）/2zeta（4）=（11/（180）pi^4
(22)

（Borwein和Borwein1995）。Euler提供的其他身份包括

sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^2）=2zeta（三）
(23)
2sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^m）=（m+2）zeta（m+1）-sum（n=1）^（m-2）zeta
(24)

对于m=2,3, ...（Borwein和Borwein1995），其中泽塔（3）是阿佩里常数.这些金额与所谓的欧拉总和.

B.Cloitre的一般身份（pers.comm.，2006年1月7日）是

sum_（k=1）^infty（H_k）/（（k+1）_m）=1/（（m-1）！（m-1）^2），
(25)

哪里（x） _n（n）是一个Pochhammer符号.

高斯珀给出了有趣的身份

sum_（i=0）^（infty）（z^iH_i）/（i！）=-e^zsum_（k=1）^（infty）（（-z）^k）/（kk！）
(26)
=e^z[lnz+Gamma（0，z）+Gamma]，
(27)

哪里伽马（0，z）是不完全伽马函数和伽马射线是尤勒·马切罗尼常数.

G.Huvent（2002）发现了美丽的公式

zeta（5）=-（16）/（11）sum_（n=1）^infty（[2（-1）^n+1]h_n）/（n^4）。
(28)

一个美丽的双系列由提供

sum_（k=1）^inftysum_（j=1）=-4zeta（2）-2zeta（3）+4zeta（二）zeta（三）+2zeta（五）
(29)

（贝利等。2007年，第273-274页）。另一个双倍的总和是

sum_（i=0）^（k-1）sum_
(30)

对于1<=k<=n（Sondow，2003年，2005年）。

谐波数和黎曼假设.

功率中的广义谐波数第页可以由关系定义

H_（n，r）=总和_（k=1）^n1/（k^r），
(31)

哪里

H_（n，1）=H_n。
(32)

这些数字实现为谐波编号[n个,第页].

特殊情况的分子H_（n，2）被称为沃尔斯滕霍尔姆数字.B Cloitre（pers.comm.，）给出了令人惊讶的身份

H_（n，2）=1/2sum_（i=1）^nsum_（j=1）*n（i-1）！（j-1）！)/（i+j）！)+3/2sum_（k=1）^n1/（k^2（2k；k））
(33)

这与H_（n，2）一个著名系列的不确定版本泽塔（2）.H_（n，2）也满足了

lim_（n->infty）H_（n，2）=zeta（2）=（pi^2）/6，
(34)

哪里泽塔（2）是黎曼-泽塔函数。如下所示从身份上

H_（n，2）=zeta（2）-gamma_1（n+1），
(35)

哪里γ_1（z）是三角函数自从

lim（n->infty）gamma1（n+1）=0。
(36)

对于奇数r> =3,广义调和数具有显式形式

H_（n，r）=n^（-r）+（psi_（r-1）（n））/（γ（r））+zeta（r），
(37)

哪里psir（n）是多囊膜功能,伽马（r）是伽马函数,和泽塔（r）是黎曼-泽塔函数.

2指数调和数满足恒等式

H_（n，r）=2^（r-1）（H_（2n，r）-H_（2n，r）^'）
(38)

（P.Simon，pers.comm.，2004年8月30日）。

广义调和数之和H_（n，r）包括

sum_（n=1）^inftyH_（n，r）z^n=（Li_r（z））/（1-z）
(39)

对于|z |<1,哪里锂（z）是一个多对数,

sum_（k=1）^（infty）（H_（k，1））/（k（z+1）^k）=-Li_2（-1/z）
(40)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，1））/（kphi^（2k））=1/（15）pi^2-1/2[csch^（-1）2]^2
(41)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，1））/（k^22^k）=zeta（3）-1/（12）pi^2ln2
(42)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，2））/（k^4）=[泽塔（3）]^2-（π^6）/（2835）
(43)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，2））/（k2^k）=5/8泽塔（3）
(44)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，4））/（k^2）=（37pi^6）/（11340）-[泽塔（3）]^2，
(45)

其中方程式(40), (41), (42)、和(44)提交给B.Cloitre（pers.comm.，10月4日，2004年）和Li_2（z）是一个双对数一般来说，

sum_（k=1）^infty（H_（k，r））/（k^r）=1/2{[zeta（r）]^2+zeta（2r）}
(46)

（P.Simone，《公共通讯》，2003年6月2日）。电力谐波数也服从意外恒等式

9H_（8，n）-19H_（9，n）+10H_（10，n）+总和_（k=1）^-H_（8，n-k）H_（10，k）+H_（9，n-k
(47)

（M.Trott，个人通讯）。

P.Simone（pers.comm.，2004年8月30日）表示

[C（t）]^2+[S（t）]^2=1/（90）pi^4+2/3pi^2C（t）-2sum_（m=1）^infty（（H_（m，2））/（m^2）+（2H_m）/（m^3））cos（mt），
(48)

哪里

C（吨）=sum_（n=1）^（infty）（cos（nt））/（n^2）
(49)
=1/2[Li_2（e^（-it））+Li_2（e ^（it））]
(50)
S（吨）=sum_（n=1）^（infty）（sin（nt））/（n^2）
(51)
=1/2i[Li_2（e^（-it））-Li_2（e ^（it））]。
(52)

这会产生特殊的结果

sum_（n=1）^infty（H_n）/（n^3）=1/（72）pi^41/8sum_（n=1）^infty（（2H_（4k，2））/（k^2）+（H_（2k））/2sum_（k=1）^infty[（（-1）^（k+1）H_（k，2））/（k^2）+（2（-1）
(53)

对于t=0，pi/2，pi,分别是。

Conway和Guy（1996）通过以下公式定义了二阶谐波数

H_n^（（2））=sum_（i=1）^（n）H_i
(54)
=（n+1）（H_（n+1）-1）
(55)
=（n+1）（H_（n+1，
(56)

三阶谐波数

H_n^（（3））=sum_（i=1）^nH_i^（2））=（n+2；2）（H_（n+2）-H_2），
(57)

以及k四阶谐波数依据

H_n^（（k））=（n+k-1；k-1）（H_（n+k-1）-H_（k-1））。
(58)

二阶调和数的定义略有不同cn^（（j））由Roman（1992）给出，与调和对数.Roman（1992）对此进行了定义通过

cn^（（0））={1表示n>=0；0表示n<0
(59)
c0^（（j））={1表示j=0；0表示j！=0
(60)

加上递推关系

碳氮（（j））=碳氮（j-1）+碳氮（n-1）。
(61)

一般情况下n> 0个和j> 0个,这相当于

c_n^（（j））=总和（i=1）^n1/ic_i^（j-1）），
(62)

和用于n> 0个,它简化为

cn^（（j））=总和（i=1）^n（n；i）（-1）^（i-1）i^（-j）。
(63)

对于n<0,谐波数可以写

c_n^（（j））=（-1）^j|_n]！s（-n，j），
(64)

哪里|_n] ！是罗马阶乘和秒是一个斯特林第一类数量.

有时也称为“谐波数”的另一种类型的数是一调和因子数（或矿石编号）。

另请参见

阿佩里常数,书籍堆叠问题,埃及分数,欧拉总和,Faulhaber的公式,谐波除数,调和对数,谐波系列,单位分数,沃尔斯滕霍尔姆编号

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Harmonic编号/,http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/HarmonicNumber2/

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

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谐波数

引用如下：

乔纳森·索多和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“谐波数”来自数学世界--A类Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/Harmonic数字.html

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