调和数

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调和数是一个数。形式的

Hnn= SuMuz（k＝1）^ n/k
（1）

由于截断而产生的调和级数调和数可以用解析式表示

Hyn＝Gamma＋PSI0 0（n＋1），
（2）

在哪里？伽马是欧拉-马谢罗尼常数和Psi（x）＝PSI0 0（x）是DigaMa函数.

前几个调和数Hyn是1，3/2，11/6，25/12，137/60，…（OEIS）A000 1008和A000 2805）分子中的数字个数H~（10）n为n＝0，1，…1, 4, 41、434, 4346, 43451、434111、4342303, 43428680、…（OEIS）A114467），用1, 4, 40、433, 4345、43450, 434110, 4342302、43428678、……给出的分母的相应位数。（OEIS）A114468这些数字收敛到看起来是十进制数字的Loge（10）e＝0.43429448…（OEIS）A00 228 5）

调和数素数

前几项指标N这样分子属于Hyn素数是由2, 3, 5、8、9, 21, 26、41, 56, 62、69、……给出的。（OEIS）A056903搜索原始分子已经完成了八万一千七百八十由E.W.W.Weistin（2009年5月13日），下表总结了已知的最大值。

N十进制数字发现者
六万三千九百四十二二万七千七百九十五E.W.W.韦斯斯坦（第14页，第2007页）
六万九千二百九十四三万零六十七E.W.W.韦斯斯坦（第2页第1, 2008页）
六万九千九百二十七三万零三百零一E.W.W.韦斯斯坦（第11, 2008章）
七万七千四百四十九三万三千六百一十六E.W.W.韦斯斯坦（4, 2009月4日）
七万八千一百二十八三万三千九百二十八E.W.W.韦斯斯坦（9, 2009）
七万八千九百九十三三万四千二百九十六E.W.W.韦斯斯坦（17, 2009月4日）
八万一千六百五十八三万五千四百七十九E.W.W.韦斯斯坦（5月12, 2009）

分母Hyn除了案件之外，永远不会是最好的HY2＝3/2. 此外，分母是从来没有的。素数幂（除了这种情况），因为分母总是可被2的最大功率除或小于或等于N以及任何素数磷与N／2＜P＜n.

谐波数被实现为调和数[N]

价值观N这样Hyn等于或超过1, 2, 3，…由1, 4, 11、31, 83, 227、616, 1674、…（OEIS）A000 4080另一个有趣的序列是简单连分数属于H~（10）n为n＝0，1, 2，…，由1, 8, 68，834, 8356, 84548，841817, 8425934, 84277586，…（OEIS）A091590），猜想这是接近的。12LN2/π2＝0.8427659…（OEIS）A089729）

调和数调和数等高线

调和数的定义也可以扩展到复平面，如上文所示。

根据它们的定义，调和数满足明显的递推方程

Hyn＝1／n+H~（n-1）
（3）

与HY1＝1.

在求和中采用交替符号所形成的数也有明确的解析形式。

哈恩斯=SuMuz（k＝1）^（n）（（1）^（k+1））/k
（4）
=Ln2+ 1/2（- 1）^ n [ PSIIO 0（1／2N+1/2）-PSIIO 0（1／2N+1）]
（5）
=Ln2+ 1/2（-1）^ n[Ha]（（n-1）/2）-Hyn（n／2）]。
（6）

H~（2n）^有特别漂亮的形式

H~（2n）^=SuMuz（k＝1）^（2n）（（1）^（k+1））/k
（7）
=SuMuz（k= 1,3，…）^（2n）（（- 1）^（k+ 1））/k+SuMuMe（k= 2,4，…）^（2n）（（-1）^（k+1））/k
（8）
=SuMuz（k= 1,3，…）^（2n）1 /k- SUMYAF（k= 2,4，…）^（2n）1／k
（9）
=（SuMuz（k= 1,3，…）^（2n）1 /k+SuMuz（k= 2,4，…）^（2n）1 /k）-2SUMUIF（k= 2,4，…）^（2n）1 /k
（10）
=SuMuz（k＝1）^（2n）1／k- SuMuik（k＝1）^（n）1／k
（11）
=H2（2n）-Hyn。
（12）

调和数Hyn绝不是整数除了HY1这可以用强三角不等式证明2-进制值属于Hyn大于1n＞1. 这一结果在Taeisinger中被证明了1915，并且在1918（霍夫曼1998，p 157）中证明了任何数目的不连续的项不必从1开始不等于一个整数的更一般的结果。

调和数有奇数 分子和即使 分母. TheNTH调和数渐近给出

Hnn~Lnn+Gamma＋1／（2n）- 1／（12）n^（- 2）+1／（120）n^（-4）-1／（252）n^（-6）+，…
（13）

在哪里？伽马是欧拉-马谢罗尼常数（考平和盖伊1996；Havil 2003，pp.79和89），其中一般（2n）第学期是Zeta（1-2N）给予- 12120，- 252，240，…为n＝1，2，…（OEIS）A000 6953这个公式是一个特殊的例子。Euler-MaCururin积分公式（HVIL 2003，P 79）。

调和数不等式

不等式边界Hyn包括

1／（2（n＋1））<HYN-LN-GAMMA＜1／（2n）
（14）

（青年1991；Havl 2003，pp.73-75）；

1／（24（n＋1）^ 2）＜HYN-LN（n+1/2）-γ＜1（24n^ 2）
（15）

（DEVITE 1991；HAVIL 2003，pp.76－78）。

给出了一个有趣的解析和。

SuMui（n＝1）^（Hyn）/（n·2 ^ n）＝1／（12）π^ 2。
（16）

（考夫曼1987）。BurWein和BurWein（1995）表明

SuMui（n＝1）^（ffTy）（Hyn ^ 2）/（（n＋1）^ 2）=（11）/4Zeta（4）＝（11）/（360）π^ 4
（17）
SuMui（n＝1）^（ffTy）（Hyn ^ 2）/（n ^ 2）=（17）/4Zeta（4）＝（17）/（360）π^ 4
（18）
SuMui（n＝1）^（fnTy）（Hyn）/（n ^ 3）=5／4Zeta（4）＝1／（72）π^ 4
（19）
SuMui（n＝1）^（fnTy）（Hyn）/（n ^ 4）=3Zeta（5）-1／6Pi^ 2Zeta（3）
（20）
SuMui（n＝1）^（fnTy）（Hyn）/（n ^ 5）=1／（540）π6-1／2〔ζ（3）〕^ 2；
（21）

在哪里？泽塔（Z）是黎曼ζ函数. 其中的第一个是de Doelder（1991），第三和哥德巴赫在1742封Euler（博温和贝利2003，pp.99100）；等。2007，P 256）。这些恒等式是“恒等式”的推论。

1 / PiTIN 0 0 ^ PIX ^ 2 {LN[2COS（1 /2x）] } ^ 2Dx＝（11）/2Zeta（4）＝（11）/（180）π^ 4
（22）

（博温和博文1995）。欧拉的附加恒等式

SuMui（n＝1）^（fnTy）（Hyn）/（n ^ 2）=2Zeta（3）
（23）
2SuMui（n＝1）^（fnTy）（Hyn）/（n^ m）=（m+ 2）ζ（m+ 1）-苏米（n＝1）^（m-2）ζ（m n）zeta（n+1）
（24）

为M＝2，3，…（博温和博尔温1995）ζ（3）是阿佩里常数. 这些总和与所谓的欧拉和.

由于B.CultRe（Pes）的一般身份。7, 2006月1日

SuMuz（k＝1）^ fTy（HYK）/（（k+1）1 m）＝1（/（M-1））！（M-1）^ 2）；
（25）

在哪里？（x）n是一个波奇哈默符号.

Gosper给出了有趣的身份。

SuMui（i＝0）^（ffTy）（Z^ IHEI）/（I！）=- E^ ZSuMuz（k＝1）^（ffTy）（（-z）^ k）/（kk！）
（26）
=E^ Z[LNZ+Gamma（0，z）+Gamma ]，
（27）

在哪里？伽玛（0，z）是不完全Γ函数和伽马是欧拉-马谢罗尼常数.

G·休特（2002）发现了美丽的公式

Zeta（5）＝-（16）/（11）SUMUIN（n＝1）^ fTy（[2（-1）^ n+1）Hyn）/（n^ 4）。
（28）

美丽的双级数是由

SuMuik（k＝1）^ ffTimeSuj（j＝1）^ fTyt（Hyj（Hyk（k+ 1）-1））/（kj（k+1）（j+k））＝-4zeta（2）-2zeta（3）+4zeta（2）zeta（3）+2zeta（5）
（29）

（贝利等。2007，pp.27～27 4）。另一个和是

SuMui（i＝0）^（k-1）SuMuj（j＝k）^ n（（- 1）^（i+j-1））/（j-i）（n；i）（n；j）＝SUMUM（i＝1）^（k-1）（n；i）^ 2（Hi（n- i）-Hi i）
（30）

为1 <= k<n（索多夫2003, 2005）。

在谐波数与谐波之间存在着意外的联系。黎曼假说.

幂广义调和数R可以通过关系来定义

Hyn（n，r）＝SuMuz（k＝1）^ n1//（k^ r），
（31）

在哪里？

Hyn（n，1）＝Hyn。
（32）

这些数字被实现为调和数[N，R]特殊情况下的分子Hyn（n，2）被称为Wolstenholme数.

B.C.CultRe（Pes）。给出了惊人的身份

Hyn（n，2）＝1／2SuMixi（i＝1）^ nSuthij（j＝1）^ n（（i-1）！（J-1）！/（（i+j）！）+ 3 /2SUMUIF（k＝1）^ n/（k^ 2（2k；k））
（33）

这涉及Hyn（n，2）一个著名系列的不定版本ζ（2）.

奇数r>＝3这些都有明确的形式

Hyn（n，r）＝n^（-r）+（psii（r-1）（n））/（γ（r））+zeta（r），
（34）

在哪里？PSIr r（n）是多Γ函数，伽玛（R）是γ函数和泽塔（R）是黎曼ζ函数.

2-指数调和数满足同一性

Hyn（n，r）＝2 ^（r-1）（Hyr（2n，r）-Hyr（2n，r）^′）
（35）

（P.西蒙，Pes）。8月30, 2004日

广义调和数的和H~（n，r）包括

SuMuz（n＝1）^ fnTyHig（n，r）Z^ n＝（Lyr r（z））/（1-z）
（36）

为Z＜1在哪里利亚尔（Z）是一个多对数，

SuMuz（k＝1）^（ffTy）（Hyk（k，1））/（k（z＋1）^ k）=- LIY2（-1／z）
（37）
SuMuz（k＝1）^（ffTy）（Hyk（k，1））/（kphi ^（2k））=1／（15）π2-1／2〔CSCH ^（- 1）2〕^ 2
（38）
SuMuz（k＝1）^（ffTy）（Hyk（k，1））/（k^ 22 ^ k）=Zeta（3）- 1／（12）π2Ln2
（39）
SuMuz（k＝1）^（ffTy）（Hyk（k，2））/（k^ 4）=〔ζ（3）〕^ 2 -（π^ 6）/（2835）
（40）
SuMuz（k＝1）^（ffTy）（Hyk（k，2））/（k2^ k）=5／8Zeta（3）
（41）
SuMuz（k＝1）^（ffTy）（Hyk（k，4））/（k^ 2）=（37π^ 6）/（11340）-[zeta（3）] ^ 2，
（42）

方程式（方程式）三十七）三十八）三十九）和（四十一是由于B.C.CultRe（Pes）。4，2004）LIY2（Z）是一个二次对数一般来说，

SuMui（k＝1）^ fTy（Hyk（k，r））/（k^ r）＝1/2 {zeta（r）^ ^ 2 +zeta（2R）}
（43）

（P.Simon，Pes）。2003年6月2日）。功率谐波数也服从出乎意料的同一性。

9Hyr（8，n）-19Hyr（9，n）+10Hyr（10，n）+SuMuz（k＝1）^（n-1）[Ha]（8，N-K）Hyr（9，K）-Hyl（9，N-K）Hyr（9，K）-Hyi（8，N-K）Hyr（10，K）+Hyr（9，N-K）Hyr（10，k）]＝10
（44）

（M.T.TROTT，PES。公报）

西蒙尼（Pes）。8月30, 2004日）表明

〔C（t）〕^＋〔S（t）〕2＝1／（90）π^ 4＋2／3pI^ 2C（t）-2SUMUM（m= 1）^ fTy（（H*（m，2））/（m^ 2）+（2HYm）/（m^ 3））CoS（MT），
（45）

在哪里？

C（t）=SuMui（n＝1）^（fItY）（COS（NT））/（n ^ 2）
（46）
=1/2〔LIY2（E^（-IT））+LIY2（E^（it））〕
（47）
S（t）=SuMui（n＝1）^（ffTy）（Sin（NT））/（n ^ 2）
（48）
=1 /2I[LIY2（E^（-IT））- LIY2（E^（IT））]。
（49）

这给出了特殊的结果。

（72）p^ 4×1 /8SuMig（n=1）^（（2H*（4K，2））/（k^ 2）+（H2K（2k））/（k^ 3））＝（211pI^ 4）/（11520）-k^ 2 2SUMUIK（k=Oy）^ f[（（-^）^（k+y）Hyk（k，γ））/（k^α）+（（-（^）^（k+y）Hyk）/（k^α）]＝（37π^）/（？）SuMui（n＝1）^ fTy（Hyn）/（n ^ 3）＝1
（50）

为t＝0，PI／2，PI，分别。

考平和盖伊（1996）定义二阶调和数

Hyn^（（2））=SuMui（i＝1）^（n）Hi i
（51）
=（n＋1）（Hyn（n+1）- 1）
（52）
=（n＋1）（Hyn（n+1）-Hy1）；
（53）

三次谐波数

Hyn^（（3））＝SuMuxi（i＝1）^ nHui^ ^（（2））＝（n+2；2）（Hyn（n+2）-Hy2）；
（54）

以及K次谐波数

Hyn^（（k））＝（n+k-1；k-1）（Hyn（n+k-1）-Hyr（k-1））。
（55）

二指标调和数的一个稍微不同的定义Cnn^（（j））由罗马（1992）给出调和对数. 罗马（1992）通过以下定义

Cnn^（（0））={n＝0＝1；n＜0＝0〕
（56）
C0~（^）（（j））={1为j＝0；j为0；= 0
（57）

加上递推关系

Cnn^（（j））＝cnn^（（j-1））+nc~（n-1）^（（j））。
（58）

对于一般n＞0和J＞0这相当于

Cnn^（（j））＝SuMuxi（i＝1）^ n1/iCiI ^（（j-1））；
（59）

为了n＞0它简化了

Cnn^（（j））＝SuSuMi（i＝1）^ n（n；i）（- 1）^（i-1）i^（-j）。
（60）

为n＜0可以写出谐波数

Cnn^（（j））＝（- 1）^ j}n！S（-n，j），
（61）

在哪里？“嗯！”是罗马-阶乘和S是一个斯特灵第一类数.

一个单独的数字类型有时也称为“谐波数”。调和数（或矿石号）。

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