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谐波数


谐波编号

调和数是一个数表单的

 H_n=总和_(k=1)^n1/k
(1)

由于截断调和级数.谐波数可以解析地表示为

 H_n=γ+psi_0(n+1),
(2)

哪里伽马射线Euler-Mascheroni常数Psi(x)=磅/平方英寸_0(x)迪加玛功能.

前几个谐波数H_n(H_n)为1,3/2,11/6,25/12,137/60, ...(OEIS)A001008号A002805号).中的位数的分子H_(10^n)对于n=0,1, .…是1、4、41、434、4346、43451、434111、4342303、43428680、。..(OEIS)A114467号),分母中相应的位数由1、4、40、433给出,4345, 43450, 434110, 4342302, 43428678, ...(OEIS)A114468号).这些数字收敛到似乎是的十进制数字log_(10)e=0.43429448。。。(组织环境信息系统A002285号).

和声数字素数

前几个指数n个这样分子属于H_n(H_n)是素数由2、3、5、8、9、21、26、41、56、62、,69, ...(OEIS)A056903号).搜索素数分子已完成到81780作者:E.W。Weisstein(2009年5月13日),以及以下内容表总结了已知的最大值。

n个十进制数字发现者
6394227795东-西。魏斯坦(2007年2月14日)
6929430067东-西。魏斯坦(2008年2月1日)
6992730301东-西。魏斯坦(2008年3月11日)
7744933616东-西。魏斯坦(2009年4月4日)
7812833928东-西。魏斯坦(2009年4月9日)
7899334296东-西。魏斯坦(2009年4月17日)
8165835479东-西。魏斯坦(2009年5月12日)

的分母H_n(H_n)除了这种情况外,似乎从来都不是最好的H_2=3/2此外,分母永远不是首要的权力(除了这种情况),因为分母总是可以被2的最大幂小于或等于n个,也可以通过任何素数第页具有n/2<p<=n.

谐波数实现为谐波编号[n个].

的值n个这样的话H_n(H_n)等于或超过1、2、3、。…由1、4、11、31、83、227、616、1674给出。..(组织环境信息系统A004080号).另一个有趣的序列是中的字数简单-续分数属于H_(10^n)对于n=0,1, 2, ...,由1、8、68、834、8356、84548、841817、8425934、84277586给出。..(OEIS)A091590型),推测接近12ln2/pi^2=0.8427659。。。(组织环境信息系统A089729号).

谐波数字ReIm
谐波数字等高线

调和数的定义也可以扩展到复平面,如上所示。

根据它们的定义,谐波数满足明显的重现方程式

 H_n=1/n+H_(n-1)
(3)

具有H_1=1.

取和中的交替符号所形成的数字也有明确的解析形式

H_n^'=sum_(k=1)^(n)((-1)^(k+1))/k
(4)
=ln2+1/2(-1)^n[磅/平方英寸_0(1/2n+1/2)-磅/平方英尺_0(1/2牛顿+1)]
(5)
=ln2+1/2(-1)^n[H_(n-1)/2)-H_(n/2)]。
(6)

H_(2n)^'有着特别美丽的形式

H_(2n)^'=总和(k=1)^(2n)((-1)^
(7)
=sum_(k=1,3,…)^(2n)((-1)^
(8)
=总和_(k=1,3,…)^(2n)1/k-sum_(k=2,4,…)
(9)
=(总和_(k=1,3,…)^(2n)1/k+sum_(k=2,4,…)
(10)
=sum_(k=1)^(2n)1/k-sum_
(11)
=H_(2n)-H_n。
(12)

谐波数H_n(H_n)从来都不是整数除了氢-1,可以用强三角不等式证明以表明2-adic值属于H_n(H_n)的大于1n> 1个1915年,泰辛格证明了这一结果更一般的结果是,任何数量的连续项都不一定开始1918年,KürscháK证明了1永远不会和为整数(霍夫曼1998年,第157页)。

谐波数有古怪的 分子即使 分母.这个n个第个谐波数由以下公式渐近给出

 H_n~lnn+γ+1/(2n)-1/(12)n^(-2)+1/(120)n^-(-4)-1/。..,
(13)

哪里伽马射线Euler-Mascheroni常数(康威和盖伊1996;Havil 2003,第79和89页),其中(2个)第个学期是ζ(1-2n),给予-12, 120,-252, 240, ...用于n=1, 2, ...(OEIS)A006953号).此公式是欧拉-马克拉林积分公式(哈维尔2003年,第79页)。

和谐数字不等式

不等式边界H_n(H_n)包括

 1/(2(n+1))<H_n-lnn-gamma<1/(2n)
(14)

(Young 1991;Havil 2003,第73-75页)和

 1/(24(n+1)^2)<H_n-ln(n+1/2)-γ<1/(24n^2)
(15)

(DeTemple 1991;Havil 2003,第76-78页)。

下面给出了一个有趣的解析和

 sum_(n=1)^infty(H_n)/(n·2^n)=1/(12)pi^2。
(16)

(科夫曼1987)。博文和博文(1995)表明

sum_(n=1)^(infty)(H_n^2)/((n+1)^2)=(11) /4zeta(4)=(11)/(360)pi^4
(17)
sum_(n=1)^(infty)(H_n^2)/(n^2)=(17) /4zeta(4)=(17)/(360)pi^4
(18)
sum_(n=1)^(infty)(H_n)/(n^3)=5/4zeta(4)=1/(72)pi^4
(19)
sum_(n=1)^(infty)(H_n)/(n^4)=泽塔(5)-1/6pi^2泽塔(3)
(20)
sum_(n=1)^(infty)(H_n)/(n^5)=1/(540)π^6-1/2[泽塔(3)]^2,
(21)

哪里泽塔(z)黎曼-泽塔函数。第一个这些数据以前是由德多尔德(1991)推导出来的,第三个是由哥德巴赫推导出来的在1742年写给Euler的信中(Borwein和Bailey 2003,第99-100页;Baileyet(等)等。2007年,第256页)。这些恒等式是恒等式的推论

 1/piint_0^pix^2{ln[2cos(1/2x)]}^2dx=(11)/2zeta(4)=(11/(180)pi^4
(22)

(Borwein和Borwein1995)。Euler提供的其他身份包括

sum_(n=1)^(infty)(H_n)/(n^2)=2zeta(三)
(23)
2sum_(n=1)^(infty)(H_n)/(n^m)=(m+2)zeta(m+1)-sum(n=1)^(m-2)zeta
(24)

对于m=2,3, ...(Borwein和Borwein1995),其中泽塔(3)阿佩里常数.这些金额与所谓的欧拉总和.

B.Cloitre的一般身份(pers.comm.,2006年1月7日)是

 sum_(k=1)^infty(H_k)/((k+1)_m)=1/((m-1)!(m-1)^2),
(25)

哪里(x) _n(n)是一个Pochhammer符号.

高斯珀给出了有趣的身份

sum_(i=0)^(infty)(z^iH_i)/(i!)=-e^zsum_(k=1)^(infty)((-z)^k)/(kk!)
(26)
=e^z[lnz+Gamma(0,z)+Gamma],
(27)

哪里伽马(0,z)不完全伽马函数伽马射线尤勒·马切罗尼常数.

G.Huvent(2002)发现了美丽的公式

 zeta(5)=-(16)/(11)sum_(n=1)^infty([2(-1)^n+1]h_n)/(n^4)。
(28)

一个美丽的双系列由提供

 sum_(k=1)^inftysum_(j=1)=-4zeta(2)-2zeta(3)+4zeta(二)zeta(三)+2zeta(五)
(29)

(贝利等。2007年,第273-274页)。另一个双倍的总和是

 sum_(i=0)^(k-1)sum_
(30)

对于1<=k<=n(Sondow,2003年,2005年)。

谐波数和黎曼假设.

功率中的广义谐波数第页可以由关系定义

 H_(n,r)=总和_(k=1)^n1/(k^r),
(31)

哪里

 H_(n,1)=H_n。
(32)

这些数字实现为谐波编号[n个,第页].

特殊情况的分子H_(n,2)被称为沃尔斯滕霍尔姆数字.B Cloitre(pers.comm.,)给出了令人惊讶的身份

 H_(n,2)=1/2sum_(i=1)^nsum_(j=1)*n(i-1)!(j-1)!)/(i+j)!)+3/2sum_(k=1)^n1/(k^2(2k;k))
(33)

这与H_(n,2)一个著名系列的不确定版本泽塔(2).H_(n,2)也满足了

 lim_(n->infty)H_(n,2)=zeta(2)=(pi^2)/6,
(34)

哪里泽塔(2)黎曼-泽塔函数。如下所示从身份上

 H_(n,2)=zeta(2)-gamma_1(n+1),
(35)

哪里γ_1(z)三角函数自从

 lim(n->infty)gamma1(n+1)=0。
(36)

对于奇数r> =3,广义调和数具有显式形式

 H_(n,r)=n^(-r)+(psi_(r-1)(n))/(γ(r))+zeta(r),
(37)

哪里psir(n)多囊膜功能,伽马(r)伽马函数,泽塔(r)黎曼-泽塔函数.

2指数调和数满足恒等式

 H_(n,r)=2^(r-1)(H_(2n,r)-H_(2n,r)^')
(38)

(P.Simon,pers.comm.,2004年8月30日)。

广义调和数之和H_(n,r)包括

 sum_(n=1)^inftyH_(n,r)z^n=(Li_r(z))/(1-z)
(39)

对于|z |<1,哪里锂(z)是一个多对数,

sum_(k=1)^(infty)(H_(k,1))/(k(z+1)^k)=-Li_2(-1/z)
(40)
sum_(k=1)^(infty)(H_(k,1))/(kphi^(2k))=1/(15)pi^2-1/2[csch^(-1)2]^2
(41)
sum_(k=1)^(infty)(H_(k,1))/(k^22^k)=zeta(3)-1/(12)pi^2ln2
(42)
sum_(k=1)^(infty)(H_(k,2))/(k^4)=[泽塔(3)]^2-(π^6)/(2835)
(43)
sum_(k=1)^(infty)(H_(k,2))/(k2^k)=5/8泽塔(3)
(44)
sum_(k=1)^(infty)(H_(k,4))/(k^2)=(37pi^6)/(11340)-[泽塔(3)]^2,
(45)

其中方程式(40), (41), (42)、和(44)提交给B.Cloitre(pers.comm.,10月4日,2004年)和Li_2(z)是一个双对数一般来说,

 sum_(k=1)^infty(H_(k,r))/(k^r)=1/2{[zeta(r)]^2+zeta(2r)}
(46)

(P.Simone,《公共通讯》,2003年6月2日)。电力谐波数也服从意外恒等式

 9H_(8,n)-19H_(9,n)+10H_(10,n)+总和_(k=1)^-H_(8,n-k)H_(10,k)+H_(9,n-k
(47)

(M.Trott,个人通讯)。

P.Simone(pers.comm.,2004年8月30日)表示

 [C(t)]^2+[S(t)]^2=1/(90)pi^4+2/3pi^2C(t)-2sum_(m=1)^infty((H_(m,2))/(m^2)+(2H_m)/(m^3))cos(mt),
(48)

哪里

C(吨)=sum_(n=1)^(infty)(cos(nt))/(n^2)
(49)
=1/2[Li_2(e^(-it))+Li_2(e ^(it))]
(50)
S(吨)=sum_(n=1)^(infty)(sin(nt))/(n^2)
(51)
=1/2i[Li_2(e^(-it))-Li_2(e ^(it))]。
(52)

这会产生特殊的结果

 sum_(n=1)^infty(H_n)/(n^3)=1/(72)pi^41/8sum_(n=1)^infty((2H_(4k,2))/(k^2)+(H_(2k))/2sum_(k=1)^infty[((-1)^(k+1)H_(k,2))/(k^2)+(2(-1)
(53)

对于t=0,pi/2,pi,分别是。

Conway和Guy(1996)通过以下公式定义了二阶谐波数

H_n^((2))=sum_(i=1)^(n)H_i
(54)
=(n+1)(H_(n+1)-1)
(55)
=(n+1)(H_(n+1,
(56)

三阶谐波数

 H_n^((3))=sum_(i=1)^nH_i^(2))=(n+2;2)(H_(n+2)-H_2),
(57)

以及k四阶谐波数依据

 H_n^((k))=(n+k-1;k-1)(H_(n+k-1)-H_(k-1))。
(58)

二阶调和数的定义略有不同cn^((j))由Roman(1992)给出,与调和对数.Roman(1992)对此进行了定义通过

cn^((0))={1表示n>=0;0表示n<0
(59)
c0^((j))={1表示j=0;0表示j!=0
(60)

加上递推关系

 碳氮((j))=碳氮(j-1)+碳氮(n-1)。
(61)

一般情况下n> 0个j> 0个,这相当于

 c_n^((j))=总和(i=1)^n1/ic_i^(j-1)),
(62)

和用于n> 0个,它简化为

 cn^((j))=总和(i=1)^n(n;i)(-1)^(i-1)i^(-j)。
(63)

对于n<0,谐波数可以写

 c_n^((j))=(-1)^j|_n]!s(-n,j),
(64)

哪里|_n] !罗马阶乘秒是一个斯特林第一类数量.

有时也称为“谐波数”的另一种类型的数是调和因子数(或矿石编号)。


另请参见

阿佩里常数,书籍堆叠问题,埃及分数,欧拉总和,Faulhaber的公式,谐波除数,调和对数,谐波系列,单位分数,沃尔斯滕霍尔姆编号

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Harmonic编号/,http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/HarmonicNumber2/

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

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谐波数

引用如下:

乔纳森·索多埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“谐波数”来自数学世界--A类Wolfram资源。https://mathworld.wolfram.com/Harmonic数字.html

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