话题

谐波数

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谐波编号

调和数是一个数表单的

H_n=总和_（k=1）^n1/k
(1)

由于截断调和级数。谐波数可以解析表示为

H_n=γ+psi_0（n+1），
(2)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数和Psi（x）=磅/平方英寸_0（x）是迪加玛功能。

前几个谐波数H_n（H_n）为1，3/2,11/6,2012年5月25日,137/60, ... （组织环境信息系统A001008号和A002805号). 中的位数的分子H_（10^n）对于n=0,1, ... 是1、4、41、434、4346、43451、434111、4342303、43428680。。。（组织环境信息系统A114467号),分母中相应的位数由1、4、40、433给出，4345, 43450, 434110, 4342302, 43428678, ... （组织环境信息系统A114468号).这些数字收敛到似乎是的十进制数字log_（10）e=0.43429448。。。（组织环境信息系统A002285号).

和声数字素数

前几个指数n个这样分子属于H_n（H_n）是素数由2、3、5、8、9、21、26、41、56、62、，69, ... （组织环境信息系统A056903号). 搜索素数分子已完成到81780作者：E.W.Weisstein（2009年5月13日）表总结了已知的最大值。

n个十进制数字发现者
6394227795E.W.魏斯坦（2007年2月14日）
6929430067E.W.Weisstein（2008年2月1日）
6992730301E.W.魏斯坦（2008年3月11日）
7744933616E.W.Weisstein（2009年4月4日）
7812833928E.W.魏斯坦（2009年4月9日）
7899334296E.W.Weisstein（2009年4月17日）
8165835479E.W.魏斯坦（2009年5月12日）

的分母H_n（H_n）除了这种情况外，似乎从来都不是最好的H_2=3/2此外，分母从来都不是首要的权力（除了这种情况），因为分母总是可以被2的最大幂小于或等于n个，也可以通过任何素数第页具有n/2<p<=n。

谐波数实现为谐波编号[n个].

的值n个这样的话H_n（H_n）等于或超过1、2、3。。。由1、4、11、31、83、227、616、1674。。。（组织环境信息系统A004080号). 另一个有趣的序列是中的字数简单-续分数属于H_（10^n）对于n=0,1, 2, ..., 由1、8、68、834、8356、84548、841817、8425934、84277586。。。（组织环境信息系统A091590型)，推测接近12ln2/pi^2=0.8427659。。。（组织环境信息系统A089729号).

谐波数字ReIm谐波数字轮廓

调和数的定义也可以扩展到复平面，如上所示。

根据它们的定义，谐波数满足明显的重现方程式

H_n=1/n+H_（n-1）
(3)

具有H_1=1。

取和中的交替符号所形成的数字也有明确的解析形式

H_n^'=总和（k=1）^（n）（（-1）^
(4)
=ln2+1/2（-1）^n[磅/平方英寸_0（1/2n+1/2）-磅/平方英尺_0（1/2牛顿+1）]
(5)
=ln2+1/2（-1）^n[H_（n-1）/2）-H_（n/2）]。
(6)

H_（2n）^’有着特别美丽的形式

H_（2n）^'=总和（k=1）^（2n）（（-1）^
（7）
=sum_（k=1,3，…）^（2n）（（-1）^
(8)
=总和_（k=1,3，…）^（2n）1/k-sum_（k=2,4，…）
(9)
=（总和_（k=1,3，…）^（2n）1/k+sum_（k=2,4，…）
(10)
=sum_（k=1）^（2n）1/k-sum_
(11)
=H_（2n）-H_。
(12)

谐波数H_n（H_n）从来都不是整数除了氢-1，可以用强三角不等式证明以表明2-adic值属于H_n（H_n）的大于1n> 1个1915年，泰辛格证明了这一结果更一般的结果是，任何数量的连续项都不一定开始1918年，KürscháK证明了1永远不会和为整数（霍夫曼1998年，第157页）。

谐波数有古怪的 分子和即使 分母。这个n个第个调和数渐近地由

H_n～lnn+γ+1/（2n）-1/（12）n^（-2）+1/。。。，
(13)

哪里伽马射线是Euler-Mascheroni常数（康威和盖伊1996；Havil 2003，第79和89页），其中（2个）第个学期是zeta（1-2n），给予-12, 120,-252个, 240, ... 对于n=1, 2, ... （组织环境信息系统A006953号).此公式是欧拉-马克拉林积分公式（哈维尔2003年，第79页）。

和谐数字不等式

不等式边界H_n（H_n）包括

1/（2（n+1））<H_n-lnn-γ<1/（2n）
(14)

（Young 1991；Havil 2003，第73-75页）和

1/（24（n+1）^2）<H_n-ln（n+1/2）-γ<1/（24n^2）
(15)

（DeTemple 1991；Havil 2003，第76-78页）。

下面给出了一个有趣的解析和

sum_（n=1）^infty（H_n）/（n·2^n）=1/（12）pi^2。
（16）

（科夫曼1987）。博文和博文（1995）表明

sum_（n=1）^（infty）（H_n^2）/（（n+1）^2）=（11） /4zeta（4）=（11）/（360）pi^4
(17)
sum_（n=1）^（infty）（H_n^2）/（n^2）=（17） /4zeta（4）=（17）/（360）pi^4
(18)
sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^3）=5/4zeta（4）=1/（72）pi^4
(19)
sum_（n=1）^（单位）（H_n）/（n^4）=泽塔（5）-1/6pi^2泽塔（3）
(20)
sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^5）=1/（540）π^6-1/2[泽塔（3）]^2，
(21)

哪里泽塔（z）是黎曼-泽塔函数。第一个这些数据之前是由德多尔德（1991）推导出来的，第三个是由哥德巴赫推导出来的在1742年写给Euler的信中（Borwein和Bailey 2003，第99-100页；Baileyet（等）阿尔。2007年，第256页）。这些恒等式是恒等式的推论

1/piint_0^pix^2｛ln[2cos（1/2x）]｝^2dx=（11）/2ζ（4）=（11）/（180）pi^4
(22)

（Borwein和Borwein1995）。Euler提供的其他身份包括

sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^2）=2zeta（三）
(23)
2sum_（n=1）^（infty）（H_n）/（n^m）=（m+2）zeta（m+1）-sum（n=1）^（m-2）zeta
(24)

对于m=2,3。。。（Borwein和Borwein1995），其中泽塔（3）是阿佩里常数。这些金额与所谓的欧拉总和。

B.Cloitre的一般身份（pers.comm.，2006年1月7日）是

sum_（k=1）^infty（H_k）/（（k+1）_m）=1/（（m-1）！（m-1）^2），
(25)

哪里（x） _n（n）是一个Pochhammer符号。

高斯珀给出了有趣的身份

sum_（i=0）^（infty）（z^iH_i）/（i！）=-e^zsum_（k=1）^（infty）（（-z）^k）/（kk！）
(26)
=e^z[lnz+Gamma（0，z）+Gamma]，
(27)

哪里伽马（0，z）是不完全伽马函数和伽马射线是尤勒·马切罗尼常数。

G.Huvent（2002）发现了美丽的公式

ζ（5）=-（16）/（11）sum_（n=1）^infty（[2（-1）^n+1]h_n）/（n^4）。
(28)

一个美丽的双系列由提供

sum_（k=1）^inftysum_（j=1）=-4zeta（2）-2zeta（3）+4zeta（二）zeta（三）+2zeta（五）
(29)

（贝利等。2007年，第273-274页）。另一个双倍总和是

sum_（i=0）^（k-1）sum_
(30)

对于1<=k<=n（Sondow，2003年，2005年）。

谐波数和黎曼假设。

功率中的广义谐波数对可以由关系定义

H_（n，r）=总和_（k=1）^n1/（k^r），
(31)

哪里

H_（n，1）=H_n。
(32)

这些数字实现为谐波编号[n个,对].

特殊情况的分子H_（n，2）被称为沃尔斯滕霍尔姆数字.B Cloitre（pers.comm.，）给出了令人惊讶的身份

H_（n，2）=1/2sum_（i=1）^nsum_（j=1）*n（i-1）！（j-1）！）/（（i+j）！）+3/2sum_（k=1）^n1/（k^2（2k；k））
(33)

这与H_（n，2）一个著名系列的不确定版本泽塔（2）。H_（n，2）也满足了

lim_（n->infty）H_（n，2）=zeta（2）=（pi^2）/6，
(34)

哪里泽塔（2）是黎曼-泽塔函数如下所示从身份上

H_（n，2）=zeta（2）-gamma_1（n+1），
(35)

哪里γ_1（z）是三角函数自从

lim（n->infty）gamma1（n+1）=0。
(36)

对于奇数r> =3,广义调和数具有显式形式

H_（n，r）=n^（-r）+（psi_（r-1）（n））/（γ（r））+zeta（r），
（37）

哪里磅/平方英寸（n）是多囊膜功能,伽马（r）是伽马函数,和泽塔（r）是黎曼-泽塔函数。

2指数调和数满足恒等式

H_（n，r）=2^（r-1）（H_（2n，r）-H_（2n，r）^'）
(38)

（P.Simon，pers.comm.，2004年8月30日）。

广义调和数之和H_（n，r）包括

sum_（n=1）^inftyH_（n，r）z^n=（Li_r（z））/（1-z）
(39)

对于|z |<1,哪里锂（z）是一个多对数,

sum_（k=1）^（infty）（H_（k，1））/（k（z+1）^k）=-Li_2（-1/z）
(40)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，1））/（kphi^（2k））=1/（15）pi^2-1/2[csch^（-1）2]^2
（41）
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，1））/（k^22^k）=zeta（3）-1/（12）pi^2ln2
(42)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，2））/（k^4）=[泽塔（3）]^2-（π^6）/（2835）
(43)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，2））/（k2^k）=5/8泽塔（3）
(44)
sum_（k=1）^（infty）（H_（k，4））/（k^2）=（37pi^6）/（11340）-[ζ（3）]^2，
(45)

其中方程式(40), (41), (42)、和(44)提交给B.Cloitre（pers.comm.，10月4日，2004年）和Li_2（z）是一个双对数一般来说，

sum_（k=1）^infty（H_（k，r））/（k^r）=1/2{[zeta（r）]^2+zeta（2r）}
(46)

（P.Simone，《公共通讯》，2003年6月2日）。功率谐波数也服从意外恒等式

9H_（8，n）-19H_（9，n）+10H_（10，n）+sum_（k=1）^（n-1）[H（8，n-k）H_（9，k）-H（9，n-k）H_（9，k）-H_（8，n-k）H_（10，k）+H_（9，n-k
（47）

（M.Trott，个人通讯）。

P.Simone（pers.comm.，2004年8月30日）表示

[C（t）]^2+[S（t）]^2=1/（90）pi^4+2/3pi^2C（t）-2sum_（m=1）^infty（（H_（m，2））/（m^2）+（2H_m）/（m ^3））cos（mt），
(48)

哪里

C（吨）=sum_（n=1）^（infty）（cos（nt））/（n^2）
(49)
=1/2[Li_2（e^（-it））+Li_2（e ^（it））]
(50)
S（吨）=sum_（n=1）^（infty）（sin（nt））/（n^2）
(51)
=1/2i[Li_2（e^（-it））-Li_2（e ^（it））]。
(52)

这会产生特殊的结果

sum_（n=1）^infty（H_n）/（n^3）=1/（72）pi^41/8sum_（n=1）^infty（（2H_（4k，2））/（k^2）+（H_（2k））/2sum_（k=1）^infty[（（-1）^（k+1）H_（k，2））/（k^2）+（2（-1）
（53）

对于t=0，pi/2，pi,分别是。

Conway和Guy（1996）通过以下公式定义了二阶谐波数

H_n^（（2））=sum_（i=1）^（n）H_i
(54)
=（n+1）（H_（n+1）-1）
(55)
=（n+1）（H_（n+1，
(56)

三阶谐波数

H_n^（（3））=sum_（i=1）^nH_i^（2））=（n+2；2）（H_（n+2）-H_2），
(57)

以及k个四阶谐波数依据

H_n^（（k））=（n+k-1；k-1）（H_（n+k-1）-H_（k-1））。
（58）

两指数调和数的一个稍有不同的定义cn^（（j））由Roman（1992）给出，与调和对数.Roman（1992）对此进行了定义通过

cn^（（0））={1表示n>=0；0表示n<0
(59)
c0^（（j））={1表示j=0；0表示j！=0
(60)

加上递推关系

c_n^（（j））=c_n^（（j-1））+nc_（n-1）^（（j））。
(61)

对于一般情况n> 0个和j> 0个,这相当于

c_n^（（j））=总和（i=1）^n1/ic_i^（j-1）），
(62)

和用于n> 0个,它简化为

c_n^（（j））=sum_（i=1）^n（n；i）（-1）^（i-1）i^（-j）。
（63）

对于n<0,谐波数可以写

c_n^（（j））=（-1）^j|_n]！s（-n，j），
(64)

哪里|_n] ！是罗马阶乘和秒是一个斯特林第一类数量。

有时也称为“谐波数”的另一种类型的数是一调和因子数（或矿石编号）。

另请参见

阿佩里常数,书籍堆叠问题,埃及分数,欧拉总和,Faulhaber的公式,谐波除数,调和对数,谐波系列,单位分数,沃尔斯滕霍尔姆编号

相关Wolfram站点

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Harmonic编号/,http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/HarmonicNumber2/

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

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Bailey，D.H。；Borwein，J.M。；新泽西州卡尔金。；Girgensohn，R。；卢克·D·R。；和V.H.Moll。实验数学在行动。马萨诸塞州韦尔斯利：A K Peters，2007年。博文，J.和Bailey，D。数学实验：21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利：AK Peters，2003年。Borwein，D.和Borweing，J.M.“关于一个有趣的积分及其相关级数泽塔（4）."程序。阿默尔。数学。Soc公司。 123, 1191-1198,1995Coffman，S.W.“问题1240和解决方案：无限带调和数的级数。"数学。美格。 60第118-119页，1987Conway，J.H.和Guy，R.K。这个《数字书》。纽约：Springer-Verlag，第143和258-259页，1996年。德Doelder，P.J.“关于包含Psi（x）-Psi（y）和（Psi（x）-Psi（y））^2对于的某些值x个和年."J.公司。申请。数学。 37, 125-141, 1991.德坦普尔，D.W.“连续整数倒数和的非整数性质。”数学。加兹。 75, 193-194, 1991.弗拉乔莱特，P.和莎维，B。“欧拉和和轮廓积分表示法。”益百利。数学。 7,1998年15月35日。格雷厄姆·R·L。；Knuth，D.E。；和O.Patashnik。“谐波数”和“谐波求和”§6.3和6.4在里面混凝土数学：计算机科学基础，第二版。马萨诸塞州雷丁：Addison-Wesley，第272-282页，1994年。Gosper，R.W.“调和和指数gfs。" math-fun@cs.arizona.edu发布日期：1996年8月2日。哈维尔，J。伽马射线：探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，2003年。霍夫曼，第页。这个只爱数字的人：保罗·埃尔德的故事与数学探索真相。纽约：Hyperion，1998年。Huvent，G.“自动驾驶原语det ^ pcoth（字母/2）."2002年2月3日。http://perso.orange.fr/gery.huvent/articlespdf/Autour_primitive.pdf。罗马人，S.“对数二项式公式”阿默尔。数学。每月 99,641-648, 1992.罗曼，S。这个脑微积分。纽约：学术出版社，第99页，1984年。萨维奥，D.Y。；拉玛格纳，E.A。；和Liu，S.-M.，“调和数的求和”在计算机和数学（编辑E.Kaltoffen和S.M.Watt）。纽约：Springer-Verlag，第12-20页，1989年。斯隆，新泽西州。序列A001008号/M2885，A002285号/M3210，A002805号/M1589，A004080号,A006953号/M2039，A056903号,A082912号,A089729号,A091590型,A096618号,A114467号、和A114468号在“整数序列在线百科全书”中索多，J.“欧拉常数非理性的标准”程序。阿默尔。数学。Soc公司。 131, 3335-3344, 2003.Sondow，J.“问题11026：包含调和数的恒等式。"阿默尔。数学。每月 112,367-369, 2005.Trott，M.“数学指南附加材料：谐波数反转。"http://www.mathematicaguidebooks.org/addressions.shtml#S_3_06。年轻，R.M.“欧拉常数”数学。加兹。 75, 187-190, 1991.

引用的关于Wolfram | Alpha

谐波数

引用如下：

乔纳森·索多和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“谐波数”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Harmonic数字.html

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