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三三角数:a(n)=二项(二项(n,2),2)=n*(n+1)*(n-1)*(n-2)/8。
+0 53
0, 0, 0, 3, 15, 45, 105, 210, 378, 630, 990, 1485, 2145, 3003, 4095, 5460, 7140, 9180, 11628, 14535, 17955, 21945, 26565, 31878, 37950, 44850, 52650, 61425, 71253, 82215, 94395, 107880, 122760, 139128, 157080, 176715, 198135, 221445, 246753, 274170, 303810, 335790
评论
“平面上有n条直线,其中没有两条平行,也没有三条平行。它们的交点相连,表明画出的新线数为(1/8)n(n-1)(n-2)(n-3)。”(Schmall,1915)。
这个序列可能有几个不同的版本,从一个、两个或三个0开始。
如果Y是n个集合X的3个子集,那么对于n>=6,a(n-4)是X的(n-6)个子集的数量,这些子集正好有一个元素与Y相同-米兰Janjic2007年12月28日
当顺序无关紧要时,从一组n+1对象中选择2对对象的不同方法的数量。例如,当n=3(4个对象)时,3种可能性是(12)(34)、(13)(24)和(14)(23)-布莱恩·帕森特2012年1月3日
对于集合{1,2,…,n},具有3个元素的所有子集中的2个最小元素的和是a(n)(参见Bulut等人的链接)-塞哈特·布鲁特2015年1月20日
a(n)也是与D4(8阶二面体群)同构的S_{n+1}(n+1元素上的对称群)的子群数-杰弗里·克雷策2015年9月13日
a(n)是指数Bell多项式B_{n+1}(x1,x2,…)中x1^(n-3)*x2^2的系数(在n+1对象中选择2对的方法的数量,见上文),因此它与A000292号和A001296号(见公式)-西里尔·达玛姆2018年2月26日
使用n种或更少颜色的正方形的4条边或顶点的手性成对着色数。手性对的每一个成员都是另一个的反射,而不是旋转-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
参考文献
Arthur T.Benjamin和Jennifer Quinn,《真正重要的证明:组合证明的艺术》,麻省理工学院,2003年,第154页。
Louis Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,问题1,第72页。
理查德·斯坦利(Richard P.Stanley),《枚举组合数学》,剑桥,第2卷,1999年;参见问题5.5,情况k=2。
链接
Serhat Bulut和Oktay Erkan Temizkan,子集和问题2015年1月20日。
Alexander Burstein、Sergey Kitaev和Toufik Mansour,部分有序模式及其组合解释,聚氨酯。M.A.,第19卷,第2-3期(2008年),第27-38页。
Frank Harary和Bennet Manvel,关于图中的圈数、Matemat。卡索普。21(1971)55-63,完全图中4圈的定理1。
Frank Ruskey和Jennifer Woodcock,集分区对的随机距离和块距离,《组合算法》,287-299,《计算讲义》。科学。,7056,施普林格,海德堡,2011年。
C.N.Schmall,问题432《美国数学月刊》,第22卷,第4期(1915年),第130页。
配方奶粉
递归:a(n)=5*a(n-1)-10*a(n-2)+10*a(n3)-5*a(ns4)+a(n-5)。
总尺寸:3*x^3/(1-x)^5。(结束)
a(n+1)=T(T(n))-T(n);a(n+2)=T(T(n)+n),其中T为A000217号. -乔恩·佩里2003年6月11日
当n>3时,a(n)=3*C(n,4)+3*C(n,3)。
a(n)=(1/2)*Sum_{k=1..n}k*(k-1)*(k-2)。
a(n)=C(n-1,2)*C(n+1,2)/2,n>2。(结束)
a(n)=(4x^4-4x^3-x^2+x)/2其中x=楼层(n/2)*(-1)^n表示n>=0-威廉·特德斯基2010年8月24日
例如:x^3*exp(x)*(4+x)/8-罗伯特·伊斯雷尔2015年11月1日
a(n)=和{k=1..n}和{i=1..k}(n-i-1)*(n-k)-韦斯利·伊万·赫特2017年9月12日
和{n>=3}(-1)^(n+1)/a(n)=32*log(2)/3-64/9-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月9日
a(n)=和{k=1..2}(-1)^(k+1)*二项式(n,2-k)*二项式(n、2+k)-格里·马滕斯2022年10月9日
例子
对于a(3)=3,方形着色的手性对是AABC-AACB、ABBC-ACBB和ABCC-ACCB-罗伯特·拉塞尔2020年10月20日
MAPLE公司
[seq(二项式(n+1,4)*3,n=0..40)]#零入侵拉霍斯2006年7月18日
数学
表[二项式[二项式[n,2],2](n,0,50})](*斯特凡·斯坦纳伯格2006年4月8日*)
线性递归[{5,-10,10,-5,1},{0,0,0、3,15},40](*哈维·P·戴尔,2011年12月14日*)
二项式[二项式[Range[0,20],2],2]
嵌套[二项式[#,2]&,范围[0,20],2]
嵌套[PolygonalNumber[#-1]&,范围[0,20],2]
系数列表[级数[3 x ^3/(1-x)^5,{x,0,20}],x]
(*结束*)
黄体脂酮素
(Sage)[(二项式(n,2),2))表示范围(0,39)内的n]#零入侵拉霍斯2009年11月30日
(PARI)a(n)=n*(n+1)*(n-1)*(n-2)/8\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年11月20日
(岩浆)[3*二项式(n+1,4):n in[0..40]]//文森佐·利班迪2015年2月14日
(PARI)x='x+O('x^100);concat([0,0,0],Vec(3*x^3/(1-x)^5))\\阿尔图·阿尔坎2015年11月1日
(GAP)列表([0..40],n->3*二项式(n+1,4))#穆尼鲁·A·阿西鲁2018年3月20日
作者
克劳斯·斯特拉斯伯格(strass(AT)ddfi.uni-duesseldorf.de),1999年12月29日
扩展
Antreas P.Hatzipolakis的补充意见,2002年5月3日
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