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从大小为2*n+1的集合中选择最多n-1个项目的方法的数量。
+0 65
0, 1, 6, 29, 130, 562, 2380, 9949, 41226, 169766, 695860, 2842226, 11576916, 47050564, 190876696, 773201629, 3128164186, 12642301534, 51046844836, 205954642534, 830382690556, 3345997029244, 13475470680616, 54244942336114, 218269673491780, 877940640368572
评论
Dyck偏移下的面积(以0结束的路径):a(n)是长度为2*n的所有Dyck漂移下的面积之和(以0开始和结束的非负步行,跳跃为-1,+1)。
所有321个无效排列[n+1]中的反转数。例如:a(2)=6,因为[3]的321无效置换,即123132312213231,分别有0,1,2,1,2中的反转-Emeric Deutsch公司2003年7月28日
a(n)=从上步U开始的“最长Dyck子路径”的总半长,该上步覆盖了半长n的所有Dyck路径中的所有上步-大卫·卡伦2008年7月25日
a(n)是所有从(0,0)到(n+1,n+1)的东北晶格路径从右侧的y=x对角线反弹的总次数。这与Pan和Remmel链接中的配对模式P_2有关,更多详细信息可在链接的第3.2节中找到。
a(n)是所有从(0,0)到(n+1,n+1)的东北晶格路径水平穿过对角线y=x的总次数。这与Pan和Remmel链接中的配对模式P_3有关,更多详细信息请参阅链接中的第3.3节。
2*a(n)是所有从(0,0)到(n+1,n+1)的东北晶格路径从对角线y=x反弹的总次数。这与平移和Remmel链接中的配对模式P_2和P_4有关,更多详细信息请参阅链接中的第4.2节。
2*a(n)是所有从(0,0)到(n+1,n+1)的东北晶格路径穿过对角线y=x的总次数。这与Pan和Remmel链接中的配对模式P_3和P_4有关,更多详细信息请参阅链接中的第4.3节。(结束)
还有2*(n+1)的整数合成数,交替和<0,其中序列(y_1,…,y_k)的交替和是sum_i(-1)^(i-1)y_i。例如,a(3)=29个8的合成为:
(1,7) (1,5,2) (1,1,1,5) (1,1,1,4,1) (1,1,1,1,1,3)
(2,6) (1,6,1) (1,1,2,4) (1,2,1,3,1) (1,1,1,2,1,2)
(3,5) (2,5,1) (1,2,1,4) (1,3,1,2,1) (1,1,1,3,1,1)
(1,2,2,3) (1,4,1,1,1) (1,2,1,1,1,2)
(1,3,1,3) (1,2,1,2,1,1)
(1,3,2,2) (1,3,1,1,1,1)
(1,4,1,2)
(1,4,2,1)
(1,5,1,1)
(2,1,1,4)
(2,2,1,3)
(2,3,1,2)
(2,4,1,1)
还有2*(n+1)的整数合成数,其反向交替和<0。对于双射,保留奇数长度的构图并反转偶数长度的。
还有0大于1的2*(n+1)位二进制数的数目。例如,a(2)=6个二进制数是:100000,100001,100010,100100,101000,110000;或十进制:32、33、34、36、40、48。
(结束)
参考文献
D.Phulara和L.W.Shapiro,带标记顶点的有序树的后代,《数值国会》,205(2011),121-128。
链接
何塞·阿加皮托(JoséAgapito)、恩格拉·梅斯特雷(ngela Mestre)、玛丽亚·托雷斯(Maria M.Torres)和帕斯奎尔·佩特鲁洛(Pasquale Petrullo),关于单参数加泰罗尼亚阵列,《整数序列杂志》,18(2015),第15.5.1.条。
Jean-Christophe Aval、A.Boussicault、P.Laborde-Zubieta和M.Pétréolle,周期平行四边形多项式的生成序列,arXiv:1612.037592016年。
维杰·巴拉苏布拉曼尼亚(Vijay Balasubramanian)、哈维尔·马甘(Javier M.Magan)和吴庆岳(Qingyue Wu),两个匈牙利人的故事:三对角化随机矩阵,arXiv:2208.08452[hep-th],2022年。
阿德里安·布西科和P.Laborde Zubieta,周期平行四边形,arXiv预印本arXiv:1611.03766[math.CO],2016。
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尼科尔·冈萨雷斯(Nicolle González)、帕梅拉·哈里斯(Pamela E.Harris)、戈登·罗哈斯·柯比(Gordon Rojas Kirby)、玛丽亚娜·斯米特·维加·加西亚(Mariana Smit Vega Garcia)和布里吉特·艾琳·坦纳,带符号置换的Pinnacle集,arXiv:2301.02628[math.CO],2023。
郭牛汉,标准拼图的枚举,arXiv:2006.14070[math.CO],2020年。
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W.-J.Woan,加泰罗尼亚小径面积,离散数学。,226 (2001), 439-444.
配方奶粉
a(n)=4^n-C(2*n+1,n)。
a(n)=和{k=1..n}加泰罗尼亚语(k)*4^(n-k):加泰罗尼亚数与4的幂的卷积。
注Sum_{k=0..2*n+1}二项式(2*n+1,k)=2^(2n+1)。因此,根据Pascal三角形的对称性,Sum_{k=0..n}二项式(2*n+1,k)=2^(2*n)=4^n。这解释了为什么a(n)的以下两个表达式相等:Sum_{k=0..n-1}二项式(2*n+1,k)=4^n-二项式(2*n+1,n)。-丹·维尔曼
总面积:(2*x^2-1+平方(1-4*x^2))/(2*(1+2*x)*(2*x-1)*x^3)。
a(n)=和{k=0..n}C(2*k,k)*C(2*(n-k),n-k-1)-保罗·巴里2005年2月16日
a(n)=和{0<i<=k<n}二项式(n,k+i)*二项式-米尔恰·梅卡2012年4月5日
递归D-有限(n+1)*a(n)+2*(-4*n-1)*a-R.J.马塔尔2012年12月3日
如果n>-5,则0=a(n)*(256*a(n+1)-224*a(n+2)+40*a(n+3))+a(n+1)*-迈克尔·索莫斯,2014年1月25日
HANKEL变换是[0,-1,2,-3,4,-5,…]-迈克尔·索莫斯,2014年1月25日
a(n)=和{m=n+2..2*n+1}二项式(2*n+1,m),n>=0-沃尔夫迪特·朗2015年5月22日
例子
a(2)=6,因为有6种方法可以从大小为5的集合中最多选择1项:您可以选择空集合,也可以选择五个单元素集合中的任何一个。
G.f.=x+6*x^2+29*x^3+130*x^4+562*x^5+2380*x^6+9949*x^7+。。。
数学
表[4^n-二项式[2n+1,n],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔,2011年5月11日*)
a[n_]:=如果[n<-4,0,4^n-二项式[2 n+2,n+1]/2](*迈克尔·索莫斯2014年1月25日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<0,0,4^n-二项式(2*n+1,n))}/*迈克尔·索莫斯2006年10月31日*/
(PARI){a(n)=如果(n<-4,0,n++;(4^n/2-二项式(2*n,n))/2)}/*迈克尔·索莫斯2014年1月25日*/
(岩浆)[4^n-二项式(2*n+1,n):[0.30]]中的n//文森佐·利班迪2016年2月4日
(Python)
导入数学
定义C(n,r):
….f=矩阵阶乘
….返回f(n)/f(r)/f
….返回str((4**n)-C(2*n+1,n))#印地瑞尼Ghosh2017年2月18日
交叉参考
对于2*(n+1)与交替和k<0的整数组合,我们有:
囊性纤维变性。A000070型,A001791号,A007318号,A025047号,A027306号,A032443美元,A058622号,A120452号,1993年1月,A239830型,A344611型.
扩展
Dan Velleman(djvelleman(AT)amherst.edu)的更好描述,2000年12月1日
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