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0, 3, 21, 144, 987, 6765, 46368, 317811, 2178309, 14930352, 102334155, 701408733, 4807526976, 32951280099, 225851433717, 1548008755920, 10610209857723, 72723460248141, 498454011879264, 3416454622906707, 23416728348467685, 160500643816367088, 1100087778366101931, 7540113804746346429
配方奶粉
a(n)=7*a(n-1)-a(n-2)。
a(n)=和{k=0..n}F(3n-k)*二项式(n,k)-贝诺伊特·克洛伊特2004年6月7日
a(n)=卢卡斯(2n)*Lucas(n)*Fibonacci(n)-拉尔夫·斯蒂芬2004年9月25日
a(n)=斐波那契[(4*n+2)]模斐波那奇[(4xn+1)]-阿图尔·贾辛斯基,2011年11月15日(由伊恩·福克斯2017年12月18日)
例如:2*exp(7*x/2)*sinh(3*sqrt(5)*x/2-斯特凡诺·斯佩齐亚2021年2月7日
a(n)=Sum_{k>=0}斐波那契(2*n*k)/卢卡斯(2*n)^k(菲利波尼和布奇,1994)-阿米拉姆·埃尔达尔2022年1月17日
例子
G.f.=3*x+21*x^2+144*x^3+987*x^4+6765*x^5+46368*x^6+。。。
数学
表[Mod[Fibonacci[(4n+2)],Fibonacci[(4 n+1)]],{n,1,10}](*阿图尔·贾辛斯基,2011年11月15日(由伊恩·福克斯,2017年12月18日)*)
黄体脂酮素
(MuPAD)numlib::fibonacci(n*4)$n=0..30//零入侵拉霍斯,2008年5月8日
(鼠尾草)[lucas_number1(n,3,1)*lucas_nomber2(n,3,1)表示范围(0,21)中的n]#零入侵拉霍斯2008年6月28日
(鼠尾草)[fibonacci(4*n)代表范围(0,20)内的n]#零入侵拉霍斯2009年5月15日
(岩浆)[斐波那契(4*n):n in[0..100]]//文森佐·利班迪2011年4月15日
(PARI)第一(n)=Vec(3*x/(1-7*x+x^2)+O(x^n),-n)\\伊恩·福克斯2017年12月18日
(PARI)a(n)=斐波那契(4*n+2)%斐波那契(4*n+1)\\伊恩·福克斯2017年12月18日
数字w使得(F(2n+1)^2,-F(2n)^2、-w)是丢番图方程2*x^3+2*y^3+z^3=1的本原解,其中F(n)是第n个斐波那契数(A000045号).
+10 6
1, 5, 31, 209, 1429, 9791, 67105, 459941, 3152479, 21607409, 148099381, 1015088255, 6957518401, 47687540549, 326855265439, 2240299317521, 15355239957205, 105246380382911, 721369422723169, 4944339578679269, 33889007628031711, 232278713817542705
配方奶粉
a(n)=(2*F(2*n+1)^6-2*F(2*n)^6-1)^(1/3)。
通用格式:(1-3*x-x^2)/(1-x)*(1-7*x+x^2。
当n>2时,a(n)=8*a(n-1)-8*a(n-2)+a(n-3)。
(结束)
a(n)=F(2*n+1)*F(2*n+2)-F(2*n)^2-沃尔夫冈·伯恩特2023年5月26日
a(2*n-1)=5+6*Sum_{k=1..n-1}F(8*k+1),a(2*n)=1+6*Sum _{k=1..n}F(8*k-3)-徐平雅,2024年6月9日
数学
表[(2*Fibonacci[2n+1]^6-2*Fiponacci[2]^6-1)^(1/3),{n,0,21}]
表[(斐波那契[2n+1]*Fibonacci[2n+2]-Fibonacci[2n]^2),{n,0,21}](*沃尔夫冈·伯恩特2023年5月26日*)
线性递归[{8,-8,1},{1,5,31},30](*哈维·P·戴尔2023年12月17日*)
黄体脂酮素
(PARI)Vec((1-3*x-x^2)/(1-x)*(1-7*x+x^2,)+O(x^20))\\科林·巴克2020年10月1日
刘易斯·卡罗尔的反常F(2n+1)X F(2n+3)矩形的面积。
+10 2
10, 65, 442, 3026, 20737, 142130, 974170, 6677057, 45765226, 313679522, 2149991425, 14736260450, 101003831722, 692290561601, 4745030099482, 32522920134770, 222915410843905, 1527884955772562, 10472279279564026, 71778070001175617, 491974210728665290, 3372041405099481410
评论
Warren Weaver(1938):“在一个常见的几何悖论中,面积为8 X 8=64平方单位的正方形被切割成四部分,可以将其重新装配成一个表观面积为5 X 13=65平方单位的矩形……Lewis Carroll概括了这个悖论……”
Carroll将F(2n+2)X F(2n+2)的正方形切成四部分,其中F(n)是第n个斐波那契数。两部分是带有支腿F(2n)和F(2n+2)的直角三角形;两个是右梯形,其中三个边是F(2n)、F(2n+1)和F(2nC+1)。(因此n>0.)悖论(或解剖谬误)取决于卡西尼恒等式F(2n+1)*F(2n+3)=F(2n-+2)^2+1。
关于利用卡西尼恒等式F(2n)*F(2n+2)=F(2n-1)^2-1将悖论推广到F(2nC+1)X F(2n+1)正方形的问题,请参见Dudeney(1970)、Gardner(1956)、Horadam(1962)、Knott(2014)、Kumar(1964)和Sillke(2004)。Sillke还有许多其他参考和链接。
参考文献
W.W.Rouse Ball和H.S.M.Coxeter,《数学娱乐与论文》,第13版,多佛,1987年,第85页。
亨利·E·杜德尼,《536个谜题和好奇的问题》,斯克里布纳,1970年再版,《问题352-353及其答案》。
马丁·加德纳,《数学、魔法与神秘》,多佛,1956年,第8章。
Edward Wakeling,《重新发现刘易斯·卡罗尔难题》,多佛,1995年,第12页。
大卫·威尔斯,《企鹅奇趣之谜》,企鹅出版社,1997年,第143期。
链接
Oskar Schlömilch,Ein几何悖论《Zeitschrift für Mathematik und Physik》,第13卷(1868年),第162页。
David Singmaster,消失区域谜题,娱乐数学。Mag.,第1卷(2014年),第10-21页。
配方奶粉
a(n)=斐波那契(2n+1)*斐波那奇(2n+3)=斐波那契(2 n+2)^2+1,对于n>0。
a(n)=8*a(n-1)-8*a(n-2)+a(n-3)。
通用名称:-x*(2*x^2-15*x+10)/((x-1)*(x^2-7*x+1))。
(结束)
a(3*k-2)mod 2=0;a(3*k-1)mod 2=1;a(3*k)mod 2=0,k>0-阿尔图·阿尔坎2015年10月17日
例如:(1/5)*((1/phi*r)*exp(b*x)+(phi^4/r)*exp(a*x)+3*exp-G.C.格鲁贝尔2015年10月17日
例子
F(3)*F(5)=2*5=10=3^2+1=F(4)^2+1,所以a(1)=10。
G.f.=10*x+65*x^2+442*x^3+3026*x^4+20737*x^5+142130*x^6+974170*x^7+。。。
数学
表[Fibonacci[2n+1]斐波纳契[2n+3],{n,22}]
线性递归[{8,-8,1},{10,65,442},30](*哈维·P·戴尔2024年8月6日*)
黄体脂酮素
(Magma)[斐波那契(2*n+1)*斐波那契(2*n+3):[1..30]]中的n//韦斯利·伊万·赫特2015年10月16日
(PARI)Vec(-x*(2*x^2-15*x+10)/((x-1)*(x^2-7*x+1))+O(x^30))\\科林·巴克2015年10月17日
(PARI)a(n)=斐波那契(2*n+1)*fibonacci(2*n+3)\\阿尔图·阿尔坎2015年10月17日
a(n)是整数w,使得(L(2*n)^2,-L(2*n+1)^2、w)是丢番图方程2*x^3+2*y^3+z^3=125的本原解,其中L(n)为第n个卢卡斯数(A000032号).
+10 2
19, 149, 1039, 7139, 48949, 335519, 2299699, 15762389, 108037039, 740496899, 5075441269, 34787591999, 238437702739, 1634276327189, 11201496587599, 76776199786019, 526231901914549, 3606847113615839, 24721697893396339, 169445038140158549, 1161393569087713519
配方奶粉
a(n)=8*a(n-1)-8*a(n-2)+a(n-3)。
G.f.:x*(19-3*x-x^2)/((1-x)*(1-7*x+x^2))-斯特凡诺·斯佩齐亚2022年6月22日
数学
线性递归[{7,-1},{19,149},21]-1+LucasL[2*范围[21]-3]^2
a(n)是整数w,因此(c(n)^2,-d(n)*2,w)是丢番图方程2*x^3+2*y^3+z^3=11^3的本原解,其中c(n(A000045号).
+10 1
1, 29, 59, 241, 445, 1691, 3089, 11629, 21211, 79745, 145421, 546619, 996769, 3746621, 6831995, 25679761, 46827229, 176011739, 320958641, 1206402445, 2199883291, 8268805409, 15078224429, 56675235451, 103347687745, 388457842781, 708355589819, 2662529664049
配方奶粉
a(n)=((1-(-1)^n)/2)*(-5+14*Sum_{k=1..n-1}斐波那契(4*k-1)+6*Sum_{k=0..n-1}斐波那契(4*k+1))+(1+(-1)(^n)/2)*(-5+14*Sum_{k=1..n}斐伯那契(4])+6*Sum_{k=0..n-1)。
通用格式:x*(1+28*x+23*x^2-14*x^3-5*x^4)/(1-x)*(1-3*x+x^2)*(1+3*x+x2))。
当n>5时,a(n)=a(n-1)+7*a(n-2)-7*a(n-3)-a(n-4)+a(n-5)。(结束)
例子
对于n=3,2*((F(5)-F(0))^2)^3+2*(-(F(6)-F。
数学
表[(1331-2*((斐波那契[n+2]+(-1)^n*Fibonacci[n-3]))^6+2*(斐波纳契[n+3]+(-1)^n*斐波那奇[n-2])^6)^(1/3),{n,28}]
丢番图方程2*x^3+2*y^3+z^3=1的本原解(x,y,z)的z值。
+10 0
-1, 1, -5, 11, -17, 19, 29, -31, -37, -61, 79, -85, 113, -127, -143, 145, -209, 305, 361, -485, 487, 545, 647, 667, 811, -1091, -1151, 1153, -1235, -1429, -1525, 1597, 1699, -1793, -2249, 2251, -2533, 2627, -2677, 2977, -2981, 3089, -3295, 3739, -3887, 3889
评论
术语按绝对值递增的顺序排列(如果相等,则负数优先)。
当x=(3*c)*t-(9*a)*t^4,y=;a*x^3+a*y^3+c*z^3=c^4。设a=2,c=1,然后1-18*n^3和1+18*n*3是序列的项。此外-A337928飞机和A337929是子序列。
例子
2*25^3+2*(-64)^3+79^3=2*164^3+2*(-167)^3+79^3=1,79是一个项。
数学
清除[t]
t={};
做[y=((1-2x^3-z^3)/2)^(1/3)/.(-1)^;
如果[IntegerQ[y]&&GCD[x,y,z]==1,AppendTo[t,z]],{z,-4000,4000},{x,-Round[(Abs[1+z^3]/6)^(1/2)],Round[(Abs[1+z ^3]/6)^,(1/2)]}]
u=联盟@t;
v=表[(-1)^n*楼层[(n+1)/2],{n,0,8001}];
选择[v,MemberQ[u,#]&]
交叉参考
囊性纤维变性。A000045号,A000290型,A000578号,A003215号,A004825号,A004826号,A047201号,A050791号,A130472号,A195006号,A337928飞机,A337929.
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