显示找到的15个结果中的1-10个。
3-光滑数:2^i*3^j形式的数,其中i,j>=0。
+10 333
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888
评论
这个序列很容易与A033845型,它给出了形式为2^i*3^j和i的数字,j>=1。不要简单地说“2^i*3^j形式的数字”,而是指定您所指的序列-N.J.A.斯隆2024年5月26日
这些数字曾被称为“谐波数”,见Lenstra链接-N.J.A.斯隆2015年7月3日
也可以是既不能被6k-1整除也不能被6k+1整除的数字,只要k>0-罗伯特·威尔逊v2010年10月26日
也对m进行编号,以便Matula-Goebel编号为m的有根树具有m条反链。根树的Matula-Goebel数可以通过以下递归方式定义:对于单顶点树,对应于数字1;对于根度为1的树T,对应于第T个素数,其中T是通过删除从根发出的边从T获得的树的Matula Goebel数;对于根次数为m>=2的树T,对应于T的m个分支的Matula-Goebel数的乘积。有根树的顶点可视为部分有序集,其中u<=v对两个顶点u和v成立,当且仅当u位于v和根之间的唯一路径上。反链是一组相互不可比的非空顶点。示例:m=4位于序列中,因为对应的根树是\/=ARB(R是根),具有4个反链(A、R、B、AB)-Emeric Deutsch公司2012年1月30日
小于或等于n的项数为Sum_{i=0..floor(log_2(n))}floor(log_3(n/2^i)+1),或Sum_}i=0.floor(对数_3(n),}floor(LO_2(n/3^i)+1),这需要较少的项数进行计算-罗伯特·威尔逊v2012年8月17日
用法语命名为3-fribables-米歇尔·马库斯2013年7月17日
3个光滑数的倒数之和等于3。简证:1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+…=(和{k>=0}1/2^k)*(和{m>=0{1/3^m)=(1/(1-1/2))*(1/1(1-1/3))=(2/(2-1))*-伯纳德·肖特2019年2月19日
对于每个素数p>3的整数k,p^(2k)-1==0(mod 24k)-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日
对于n>1,四个连续项中的一个的指数奇偶校验{奇偶(i),奇偶校验(j)}是{奇数,奇数}。因此,对于n>1,每四个连续项中至少有一个是Zumkeller数(A083207号). 如果奇偶校验为{偶数、奇数}的项的偶数也表示非零,则该项也是Zumkeller数(与四个连续项中的最后一个1296145815361728一样)-伊万·伊纳基耶夫2022年7月10日
除了初始项2、3、4、8、9和16之外,这些是数字k,k^6除以6^k-亚辛2022年7月21日
参考文献
J.-M.De Koninck和A.Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 654,第85、287-8页,巴黎椭圆2004。
S.Ramanujan,《论文集》,编辑G.H.Hardy等人,剑桥,1927年;切尔西,纽约,1962年,第xxiv页。
R.Tijdeman,Diophantine近似的一些应用,《数论调查》(Urbana,2000年5月21日)第261-284页,M.A.Bennett等人编辑,Peters,2003年。
链接
R.Blecksmith、M.McCallum和J.L.Selfridge,整数的3-光滑表示,美国。数学。月刊,105(1998),529-543。
蒂埃里·布什,斯托克梅耶巡回赛Séminaire Lotharingien de Combinatoire 77(2017),第B77d条。
纳塔利亚·达席尔瓦(Natalia da Silva)、塞尔维亚人莱亚努(Raianu)和赫克托尔·萨尔加多(Hector Salgado),调和数的差异与abc猜想,arXiv:1708.0620[math.NT],2017年。
David Eppstein,2048年的变革,arXiv:1804.07396[cs.DM],2018年。
I.Gutman和A.Ivic,关于Matula数,离散数学。,150, 1996, 131-142.
I.Gutman和Yeong-Nan Yeh,从Matula数推导树的性质,出版物。数学研究所。,53 (67), 1993, 17-22.
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。见第252页。图书网站
H.W.Lenstra,Jr.,小。,调和数与ABC猜想,谈话摘要,2001年5月30日[带注释的扫描件]
配方奶粉
a(n)的一个渐近公式大致是a(n)~1/sqrt(6)*exp(sqrt(2*log(2)*log,3)*n))-贝诺伊特·克洛伊特2001年11月20日
该序列的特征函数由Sum{n>=1}x^a(n)=Sum{n>=1}moebius(6*n)*x^n/(1-x^n)给出-保罗·D·汉纳2011年9月18日
MAPLE公司
A003586号:=proc(n)选项记忆;如果n=1,则为1;否则,对于from procname(n-1)+1,执行numtheory[factorset](a)减去{2,3};如果%={},则返回a;结束条件:;end do:结束if;结束进程:#R.J.马塔尔2011年2月28日
with(numtheory):对于i从1到23328,如果(i/phi(i)=3),则打印(i/6)fiod#加里·德特利夫斯2011年6月28日
数学
a[1]=1;j=1;k=1;n=100;对于[k=2,k<=n,k++,如果[2*a[k-j]<3^j,a[k]=2*a[k-j],{a[k]=3^j,j++}]];表[a[i],{i,1,n}](*Hai He(Hai(AT)mathteach.net)和Gilbert Traub,2004年12月28日*)
aa={};Do[If[EulerPhi[6 n]==2 n,AppendTo[aa,n]],{n,1,1000}];美国(*阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日*)
fQ[n_]:=联合[MemberQ[{1,5},#]&/@Union@Mod[Rest@Divisors@n,6]]=={False};fQ[1]=真;选择[Range@4000,fQ](*罗伯特·威尔逊v2010年10月26日*)
功率OfTwo=12;选择[嵌套[联盟@加入[#,2*#,3*#]&,{1},powerOfTwo-1],#<2^powerOf Two&](*罗伯特·威尔逊v和T.D.诺伊2011年3月3日*)
fQ[n_]:=n==3 EulerPhi@n;选择[6范围@4000,fQ]/6(*罗伯特·威尔逊v,2011年7月8日*)
mx=4000;排序@Flatten@表[2^i*3^j,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}](*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*)
f[n_]:=块[{p2,p3=3^范围[0,楼层@Log[3,n]+1]},p2=2^楼层[Log[2,n/p3]+1];Min[选择[p2*p3,整数Q]];嵌套列表[f,1,54](*罗伯特·威尔逊v,2012年8月22日*)
选择[范围@4000, 最后@地图[First,FactorInteger@#]<=3&](*文森佐·利班迪2016年8月25日*)
选择[Range[4000],Max[FactorInteger[#][[All,1]]<4&](*哈维·P·戴尔2017年1月11日*)
黄体脂酮素
(PARI)测试(n)=(p=2,3,而(n%p==0,n/=p));n==1;
对于(n=14000,如果(测试(n),打印1(n“,”))
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),N);对于(n=0,log(lim\1+.5)\log(3),n=3^n;而(N<=lim,listput(v,N);N<<=1));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月28日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),N);对于(n=0,logint(lim\=1,3),n=3^n;而(N<=lim,listput(v,N);N<<=1));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月10日
(哈斯克尔)
导入数据。集合(Set、singleton、insert、deleteFindMin)
平滑::设置整数->[Integer]
平滑s=x:平滑(插入(3*x)$插入(2*x)s’)
其中(x,s')=删除查找最小值
a003586_list=平滑(单例1)
a003586 n=a003586_列表!!(n-1)
(鼠尾草)
定义为A003586(n):
不返回任何(prime_divisors(n)中d的d!=2和d!=3)
@缓存函数
如果n==1:返回1
而不是A003586(k):k+=1
返回k
(Python)
来自itertools导入计数,takewhile
定义缺陷(lim):
pows2=列表(takewhile(λx:x<lim,(计数(0)中i的2**i))
pows3=列表(takewhile(λx:x<lim,(计数(0)中的i为3**i))
返回已排序的(如果c*d<=lim,则返回pows2中c的c*d,返回pows3中d的c)
(Python)
从sympy导入integer_log
定义平分(f,kmin=0,kmax=1):
而f(kmax)>kmax:kmax<<=1
当kmax-kmin>1时:
kmid=kmax+kmin>>1
如果f(kmid)<=kmid:
kmax=kmid
其他:
kmin=kmid
返回kmax
定义f(x):返回n+x-sum((x//3**i).bit_length(),用于范围内的i(integer_log(x,3)[0]+1))
返回二分(f,n,n)#柴华武2024年9月15日
(Python)#序列的初始段速度更快
导入heapq
从itertools导入islice
def A003586gen():#术语生成器
v、 oldv,h,psmooth_primes,=1,0,[1],[2,3]
为True时:
v=堆q堆pop(h)
如果v!=旧版本:
产量v
oldv=v
对于psmooth_primes中的p:
堆堆(h,v*p)
打印(列表(islice(A003586gen(),65))#迈克尔·布拉尼基2024年9月17日
(岩浆)[1..4000]|PrimeDivisors(n)子集[2,3]]中的n:n//布鲁诺·贝塞利2012年9月24日
交叉参考
囊性纤维变性。A051037号,A002473号,A051038号,A080197号,A080681号,A080682号,A117221号,A105420号,A062051型,A117222号,A117220型,A090184号,A131096型,A131097号,A186711号,A186712号,A186771号,A088468号,A061987号,A080683号(具有其他p值的p-光滑数),A025613号(子序列)。
扩展
删除了此序列是2^n的并集的声明(A000079号)和3^n(A000244号)序列——这不包括非纯幂的术语沃尔特·罗斯切罗(wroscello(AT)comcast.net),2008年11月16日
13, 5, 11, 7, 1093, 5, 13, 11, 23, 5, 797161, 547, 11, 5, 1871, 7, 1597, 5, 13, 23, 47, 5, 11, 398581, 13, 5, 59, 7, 683, 5, 13, 103, 11, 5, 13097927, 1597, 13, 5, 83, 7, 431, 5, 11, 47, 1223, 5, 491, 11, 13, 5, 107, 7, 11, 5, 13, 59, 14425532687, 5, 603901, 683, 13, 5, 11, 7, 221101, 5, 13, 11
评论
Levi-Ben-Gerson(1288-1344)通过证明3^n-l有一个奇素因子,证明了当n>2时,3^n-1=2^m在整数中没有解。他的证明使用了3除以8和2除以8后的余数;请参阅Lenstra和Peterson链接。有关优雅的简短证明,请参阅富兰克林链接桑多
证明这一点的一种方法是使用同余。模80的3的幂是3,9,27,1,3,9。。。2的幂是2,4,8,16,32,64,48,16,32,64,48,16-阿隆索·德尔·阿特2014年1月20日
参考文献
L.E.Dickson,《数字理论史》,第二卷,切尔西,1992年;见第731页。
链接
P.富兰克林,问题2927,美国。数学。《月刊》,30(1923),第81页。
A.Herschfeld,方程式2^x-3^y=d,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,42(1936),231-234。
J.J.O’Connor和E.F.Robertson,列维·本·格森《MacTutor数学史档案》,2009年。
I.彼得森,中世纪和谐《数学迷航》,MAA,2012年。
配方奶粉
a(4n)=5等于3^(4n,-1=(3^4)^n-1=81^n-1=(80+1)^n-1==0(mod 5)。
a(6+12n)=7等于3^(6+12 n)-1=(3^6)^(1+2n)-1=729^(1+2n)-1=(728+1)^。
例子
3^3-1=26=2*13,所以a(3)=13。
3^4-1=80=2^4*5,所以a(4)=5。
3^5-1=242=2*11^2,所以a(5)=11。
数学
表[FactorInteger[3^n-1][[2,1]],{n,3,50}]
黄体脂酮素
(PARI)a(n)=因子(3^n>>估值(3^n-1,2))[1,1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年1月20日
5, 7, 41, 61, 5, 547, 17, 7, 5, 67, 41, 398581, 5, 7, 21523361, 103, 5, 2851, 41, 7, 5, 23535794707, 17, 61, 5, 7, 41, 523, 5, 6883, 926510094425921, 7, 5, 61, 41, 18427, 5, 7, 17, 33703, 5, 82064241848634269407, 41, 7, 5, 16921, 76801, 547, 5, 7, 41, 78719947, 5, 61, 17, 7, 5, 3187, 41
评论
Levi-Ben-Gerson(1288-1344)通过证明3^n+l有一个奇素因子,证明了当n>1时,3^n+1=2^m在整数中没有解。他的证明使用了3除以8和2除以8后的余数;请参阅Lenstra和Peterson链接。有关优雅的简短证明,请参阅Franklin链接。
参考文献
L.E.Dickson,《数字理论史》,第二卷,切尔西,1992年;见第731页。
链接
菲利普·富兰克林,问题2927,美国。数学。《月刊》,30(1923),第81页。
Aaron Herschfeld,方程式2^x-3^y=d,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,42(1936),231-234。
J.J.O’Connor和E.F.Robertson,列维·本·格森《MacTutor数学史档案》,2009年。
伊瓦斯·彼得森,中世纪和谐《数学迷航》,MAA,2012年。
配方奶粉
a(2+4n)=5等于3^(2+4n)+1=(3^2)*(3^4)^n+1=9*81^n+1=9*(80+1)^n+1==9+1==0(mod 5)。
a(3+6n)=7等于3^(3+6n)+1=(3^3)*(3^6)^n+1=27*729^n+1=27*(728+1)^n+1==27+1==0(mod 7),但27*729 ^n+1==2*(-1)^n+1!==0(修订版5)。
数学
表[FactorInteger[3^n+1][[2,1]],{n,2,50}]
黄体脂酮素
(岩浆)[原分母(3^n+1)[2]:[2.60]]中的n//文森佐·利班迪2019年3月16日
方阵A(n,k)=A(n-1,k)+A(n-1,floor(k/2))+A。
+10 7
1, 0, 3, 0, 2, 9, 0, 1, 8, 27, 0, 0, 6, 26, 81, 0, 0, 4, 23, 80, 243, 0, 0, 3, 20, 76, 242, 729, 0, 0, 3, 17, 72, 237, 728, 2187, 0, 0, 1, 17, 66, 232, 722, 2186, 6561, 0, 0, 1, 11, 66, 222, 716, 2179, 6560, 19683, 0, 0, 1, 11, 54, 222, 701, 2172, 6552, 19682, 59049
配方奶粉
A(n,k)=A(n-1,k)+A。
T(n,k)=A(k,n-k)。
例子
数组开头为:
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...;
3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, ...;
9, 8, 6, 4, 3, 3, 1, ...;
27, 26, 23, 20, 17, 17, 11, ...;
81, 80, 76, 72, 66, 66, 54, ...;
243, 242, 237, 232, 222, 222, 202, ...;
729, 728, 722, 716, 701, 701, 671, ...;
反对角线行的开头为:
1;
0, 3;
0, 2, 9;
0, 1, 8, 27;
0, 0, 6, 26, 81;
0, 0, 4, 23, 80, 243;
0, 0, 3, 20, 76, 242, 729;
0, 0, 3, 17, 72, 237, 728, 2187;
0, 0, 1, 17, 66, 232, 722, 2186, 6561;
数学
A[n_,k_]:=A[n,k]=如果[n==0,Boole[k==0],A[n-1,k]+A[n-1,Floor[k/2]]+A[n-1,Floor[k/3]]];
T[n_,k_]:=A[k,n-k];
表[A[n,k],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年6月18日*)
黄体脂酮素
(SageMath)
@缓存函数
定义A(n,k):
如果(n==0):返回0^k
否则:返回A(n-1,k)+A(n-1,(k//2))+A
定义T(n,k):返回A(k,n-k)
压扁([[T(n,k)代表k in(0..n)]代表n in(0..12)])#G.C.格鲁贝尔2022年6月18日
a(n)=1+a([n/2])+a([n/3]),a(0)=0。
+10 7
0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 47
评论
如果n=2^a*3^b,则a(n)-a(n-1)=C(a+b,a)-大卫·沃瑟曼2005年11月17日
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a061984 n=a061984_列表!!n个
a061984_list=0:map(+1)(zipWith(+)
(地图(a061984。(`div`2))[1..])
1, 2, 3, 4, 6, 12, 15, 20, 30, 32, 36, 60, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 288, 324, 384, 432, 576, 648, 864, 1152, 1296, 1728, 2592, 3456, 5184, 10368, 11259, 13344, 15012, 17792, 20016, 22518, 26688, 30024, 40032, 45036, 53376
数学
s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];DeleteDuplicates@FoldList[Max,Differences@Union[s]](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*)
DeleteDuplicates[Differences[Select[Range[10^6],Max[FactorInteger[#][[All,1]]<5&]],GreaterEqual](*哈维·P·戴尔2022年11月22日*)
1, 4, 9, 12, 18, 36, 81, 108, 162, 256, 288, 324, 512, 576, 648, 768, 864, 1024, 1152, 1296, 1536, 1728, 2304, 2592, 3072, 3456, 4608, 5184, 6912, 9216, 10368, 13824, 20736, 27648, 41472, 82944, 165888, 196608, 221184, 262144, 294912, 331776
数学
s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];s=联合[s];d=差异@s;v=DeleteDuplicates@FoldList[Max,d];地图[s[[First@位置[d,#]]]&,v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔,2020年1月30日*)
2, 6, 12, 16, 24, 48, 96, 128, 192, 288, 324, 384, 576, 648, 729, 864, 972, 1152, 1296, 1458, 1728, 1944, 2592, 2916, 3456, 3888, 5184, 5832, 7776, 10368, 11664, 15552, 23328, 31104, 46656, 93312, 177147, 209952, 236196, 279936, 314928
数学
s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];s=联合[s];d=差异@s;v=DeleteDuplicates@FoldList[Max,d];地图[s[[1+First@位置[d,#]]]&,v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*)
1, 4, 7, 8, 10, 14, 19, 21, 24, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 46, 50, 51, 53, 54, 58, 59, 63, 67, 68, 72, 78, 82, 88, 99, 110, 113, 115, 118, 120, 122, 125, 127, 133, 135, 138, 140, 146, 148, 154, 160, 162, 168, 175, 176, 177, 183, 190, 191, 192
数学
s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];s=联合[s];d=天差异@s; v=DeleteDuplicates@FoldList[Max,d];Map[First@Position[d,#]&,v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*)
1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 6, 3, 1, 4, 12, 6, 2, 8, 9, 3, 12, 4, 16, 18, 6, 24, 27, 1, 32, 36, 12, 48, 54, 2, 64, 72, 81, 3, 96, 108, 4, 128, 144, 162, 6, 192, 216, 8, 1, 9, 288, 324, 12, 384, 432, 16, 2, 18, 576, 648, 24, 3, 27, 864, 32, 4, 36, 1152, 1296, 48, 6, 54, 1728, 64, 8, 72, 9, 81, 2592, 96, 12
数学
S3=选择[Range[3*10^4],FactorInteger[#][[-1,1]]<=3&];表[GCD[S3[[n]],S3[[n+1]],{n,1,长度[S3]-1}](*Jean-François Alcover公司2018年2月2日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a186711 n=a186711_list!!(n-1)
a186711_list=zipWith gcd a003586_list$tail a003586列表
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