搜索: a061987-编号:a061987
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1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972, 1024, 1152, 1296, 1458, 1536, 1728, 1944, 2048, 2187, 2304, 2592, 2916, 3072, 3456, 3888
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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评论
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这个序列很容易与A033845型,它给出了形式为2^i*3^j和i的数字,j>=1。不要简单地说“2^i*3^j形式的数字”,而是指定您所指的序列-N.J.A.斯隆,2024年5月26日
这些数字曾被称为“谐波数”,见Lenstra链接-N.J.A.斯隆2015年7月3日
也可以是既不能被6k-1整除也不能被6k+1整除的数字,只要k>0-罗伯特·威尔逊v2010年10月26日
也对m进行编号,以便Matula-Goebel编号为m的有根树具有m条反链。根树的Matula-Goebel数可以通过以下递归方式定义:对于单顶点树,对应于数字1;对于根阶为1的树T,对应于第T个素数,其中T是通过删除从根发出的边而从T获得的树的Matula-Goebel数;对于根次数为m>=2的树T,对应于T的m个分支的Matula-Goebel数的乘积。有根树的顶点可视为部分有序集,其中u<=v对两个顶点u和v成立,当且仅当u位于v和根之间的唯一路径上。反链是一组相互不可比较的非空顶点。示例:m=4在序列中,因为对应的有根树是\/=ARB(R是根),具有4个反链(A,R,B,AB)-Emeric Deutsch公司2012年1月30日
小于或等于n的项数为Sum_{i=0..floor(log_2(n))}floor(log_3(n/2^i)+1),或Sum_}i=0.floor(对数_3(n),}floor(LO_2(n/3^i)+1),这需要较少的项数进行计算-罗伯特·威尔逊v2012年8月17日
用法语命名为3-fribables-米歇尔·马库斯2013年7月17日
3个光滑数的倒数之和等于3。简证:1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/8+1/9+…=(和{k>=0}1/2^k)*(和{m>=0{1/3^m)=(1/(1-1/2))*(1/1(1-1/3))=(2/(2-1))*-伯纳德·肖特2019年2月19日
对于每个素数p>3的整数k,p^(2k)-1==0(mod 24k)-费德里科·普罗夫维迪2022年5月23日
对于n>1,四个连续项中的一个的指数奇偶校验{奇偶(i),奇偶校验(j)}是{奇数,奇数}。因此,对于n>1,每四个连续项中至少有一个是Zumkeller数(A083207号). 如果奇偶校验为{偶数、奇数}的项的偶数也表示非零,则该项也是Zumkeller数(与四个连续项中的最后一个1296145815361728一样)-伊万·伊纳基耶夫2022年7月10日
除了初始项2、3、4、8、9和16之外,这些是数字k,k^6除以6^k-亚辛,2022年7月21日
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参考文献
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J.-M.De Koninck和A.Mercier,1001 Problèmes en Théorie Classique des Nombres,Probléme 654,第85、287-8页,巴黎椭圆2004。
S.Ramanujan,《论文集》,编辑G.H.Hardy等人,剑桥,1927年;切尔西,纽约,1962年,第xxiv页。
R.Tijdeman,Diophantine近似的一些应用,《数论调查》(Urbana,2000年5月21日)第261-284页,M.A.Bennett等人编辑,Peters,2003年。
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链接
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R.Blecksmith、M.McCallum和J.L.Selfridge,整数的3-光滑表示阿默尔。数学。月刊,105(1998),529-543。
蒂埃里·布什,斯托克梅耶巡回赛Séminaire Lotharingien de Combinatoire 77(2017),第B77d条。
纳塔利亚·达席尔瓦(Natalia da Silva)、塞尔维亚人莱亚努(Raianu)和赫克托尔·萨尔加多(Hector Salgado),调和数的差异与abc猜想,arXiv:1708.00620[math.NT],2017年。
David Eppstein,2048年的变革,arXiv:1804.07396[cs.DM],2018年。
I.Gutman和A.Ivic,关于Matula数,离散数学。,150, 1996, 131-142.
I.Gutman和Yeong-Nan Yeh,从Matula数推导树的性质,出版物。数学研究所。,53 (67), 1993, 17-22.
A.M.Hinz、S.Klavíar、U.Milutinović和C.Petr,河内塔——神话与数学,Birkhäuser 2013。见第252页。图书网站
H.W.Lenstra,Jr.,小。,调和数与ABC猜想,谈话摘要,2001年5月30日[带注释的扫描件]
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配方奶粉
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a(n)的一个渐近公式大致是a(n)~1/sqrt(6)*exp(sqrt(2*log(2)*log,3)*n))-贝诺伊特·克洛伊特2001年11月20日
该序列的特征函数由Sum{n>=1}x^a(n)=Sum{n>=1}moebius(6*n)*x^n/(1-x^n)给出-保罗·D·汉纳2011年9月18日
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MAPLE公司
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A003586美元:=proc(n)选项记忆;如果n=1,则为1;否则从procname(n-1)+1 do numtheory[因子集](a)减去{2,3};如果%={},则返回a;结束条件:;end do:结束if;结束进程:#R.J.马塔尔2011年2月28日
with(numtheory):对于i从1到23328,如果(i/phi(i)=3),则打印(i/6)fiod#加里·德特利夫斯2011年6月28日
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数学
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a[1]=1;j=1;k=1;n=100;对于[k=2,k<=n,k++,如果[2*a[k-j]<3^j,a[k]=2*a[k-j],{a[k]=3^j,j++}]];表[a[i],{i,1,n}](*Hai He(Hai(AT)mathteach.net)和Gilbert Traub,2004年12月28日*)
aa={};Do[If[EulerPhi[6 n]==2 n,AppendTo[aa,n]],{n,1,1000}];美国(*阿图尔·贾辛斯基2008年11月5日*)
fQ[n_]:=联合[MemberQ[{1,5},#]&/@Union@Mod[Rest@Divisors@n,6]]=={False};fQ[1]=真;选择[Range@4000,fQ](*罗伯特·威尔逊v2010年10月26日*)
功率OfTwo=12;选择[嵌套[联盟@加入[#,2*#,3*#]&,{1},powerOfTwo-1],#<2^powerOf Two&](*罗伯特·威尔逊v和T.D.诺伊2011年3月3日*)
fQ[n_]:=n==3 EulerPhi@n;选择[6范围@4000,fQ]/6(*罗伯特·威尔逊v2011年7月8日*)
mx=4000;排序@Flatten@表[2^i*3^j,{i,0,对数[2,mx]},{j,0,Log[3,mx/2^i]}](*罗伯特·威尔逊v2012年8月17日*)
f[n_]:=块[{p2,p3=3^范围[0,楼层@Log[3,n]+1]},p2=2^楼层[Log[2,n/p3]+1];Min[选择[p2*p3,整数Q]];嵌套列表[f,1,54](*罗伯特·威尔逊v2012年8月22日*)
选择[范围@4000, 最后@地图[First,FactorInteger@#]<=3&](*文森佐·利班迪2016年8月25日*)
选择[Range[4000],Max[FactorInteger[#][[All,1]]<4&](*哈维·P·戴尔2017年1月11日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)测试(n)=(p=2,3,而(n%p==0,n/=p));n==1;
对于(n=14000,如果(test(n),print1(n“,”))
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),N);对于(n=0,log(lim\1+.5)\log(3),n=3^n;而(N<=lim,listput(v,N));N<<=1));向量排序(Vec(v))\\查尔斯·格里特豪斯四世2011年6月28日
(PARI)列表(lim)=我的(v=列表(),N);对于(n=0,logint(lim\=1,3),n=3^n;而(N<=lim,listput(v,N));N<<=1));集合(v)\\查尔斯·格里特豪斯四世2018年1月10日
(哈斯克尔)
导入数据。集合(Set、singleton、insert、deleteFindMin)
平滑::设置整数->[Integer]
平滑s=x:平滑(插入(3*x)$插入(2*x)s’)
其中(x,s')=删除查找最小值
a003586_list=平滑(单例1)
a003586 n=a003586_list!!(n-1)
(鼠尾草)
定义为A003586(n):
不返回任何(prime_divisors(n)中d的d!=2和d!=3)
@缓存函数
如果n==1:返回1
而不是A003586(k):k+=1
返回k
(Python)
来自itertools导入计数,takewhile
定义缺陷(lim):
pows2=列表(takewhile(λx:x<lim,(计数(0)中i的2**i))
pows3=列表(takewhile(λx:x<lim,(计数(0)中的i为3**i))
返回已排序的(如果c*d<=lim,则返回pows2中c的c*d,返回pows3中d的c)
(岩浆)[1..4000]|PrimeDivisors(n)子集[2,3]]中的n:n//布鲁诺·贝塞利2012年9月24日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A051037号,A002473号,A051038美元,A080197号,A080681号,A080682号,A117221号,A105420号,A062051型,A117222号,A117220型,A090184号,A131096型,A131097号,A186711号,A186712号,A186771号,A088468美元,A061987号,A080683号(具有其他p值的p-光滑数),A025613号(子序列)。
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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扩展
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删除了此序列是2^n的并集的声明(A000079号)和3^n(A000244号)序列——这不包括非纯幂的术语沃尔特·罗斯切罗(wroscello(AT)comcast.net),2008年11月16日
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状态
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经核准的
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13, 5, 11, 7, 1093, 5, 13, 11, 23, 5, 797161, 547, 11, 5, 1871, 7, 1597, 5, 13, 23, 47, 5, 11, 398581, 13, 5, 59, 7, 683, 5, 13, 103, 11, 5, 13097927, 1597, 13, 5, 83, 7, 431, 5, 11, 47, 1223, 5, 491, 11, 13, 5, 107, 7, 11, 5, 13, 59, 14425532687, 5, 603901, 683, 13, 5, 11, 7, 221101, 5, 13, 11
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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3,1
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评论
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Levi-Ben-Gerson(1288-1344)通过证明3^n-l有一个奇素因子,证明了当n>2时,3^n-1=2^m在整数中没有解。他的证明使用了3除以8和2除以8后的余数;请参阅Lenstra和Peterson链接。有关优雅的简短证明,请参阅富兰克林链接桑多
证明它的一种方法是使用同余。模80的3的幂是3,9,27,1,3,9。。。2的幂是2,4,8,16,32,64,48,16,32,64,48,16-阿隆索·德尔·阿特2014年1月20日
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参考文献
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L.E.Dickson,《数字理论史》,第二卷,切尔西,1992年;见第731页。
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链接
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P.Franklin,问题2927阿默尔。数学。《月刊》,30(1923),第81页。
A.Herschfeld,方程式2^x-3^y=d,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,42(1936),231-234。
J.J.O’Connor和E.F.Robertson,列维·本·格森,MacTutor数学史档案,2009年。
I.彼得森,中世纪和谐,《数学迷航》,MAA,2012年。
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配方奶粉
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a(4n)=5等于3^(4n,-1=(3^4)^n-1=81^n-1=(80+1)^n-1==0(mod 5)。
a(6+12n)=7等于3^(6+12 n)-1=(3^6)^(1+2n)-1=729^(1+2n)-1=(728+1)^。
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例子
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3^3-1=26=2*13,所以a(3)=13。
3^4-1=80=2^4*5,所以a(4)=5。
3^5-1=242=2*11^2,所以a(5)=11。
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数学
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表[FactorInteger[3^n-1][[2,1]],{n,3,50}]
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=因子(3^n>>估值(3^n-1,2))[1,1]\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年1月20日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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5, 7, 41, 61, 5, 547, 17, 7, 5, 67, 41, 398581, 5, 7, 21523361, 103, 5, 2851, 41, 7, 5, 23535794707, 17, 61, 5, 7, 41, 523, 5, 6883, 926510094425921, 7, 5, 61, 41, 18427, 5, 7, 17, 33703, 5, 82064241848634269407, 41, 7, 5, 16921, 76801, 547, 5, 7, 41, 78719947, 5, 61, 17, 7, 5, 3187, 41
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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2,1
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评论
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Levi-Ben-Gerson(1288-1344)通过证明3^n+l有一个奇素因子,证明了当n>1时,3^n+1=2^m在整数中没有解。他的证明使用了3除以8和2除以8后的余数;请参阅Lenstra和Peterson链接。有关优雅的简短证明,请参阅Franklin链接。
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参考文献
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L.E.Dickson,《数字理论史》,第二卷,切尔西,1992年;见第731页。
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链接
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菲利普·富兰克林,问题2927阿默尔。数学。《月刊》,30(1923),第81页。
Aaron Herschfeld,方程式2^x-3^y=d,公牛。阿默尔。数学。《社会学杂志》,42(1936),231-234。
J.J.O’Connor和E.F.Robertson,列维·本·格森,MacTutor数学史档案,2009年。
伊瓦斯·彼得森,中世纪和谐,《数学迷航》,MAA,2012年。
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配方奶粉
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a(2+4n)=5等于3^(2+4n)+1=(3^2)*(3^4)^n+1=9*81^n+1=9*(80+1)^n+1==9+1==0(mod 5)。
a(3+6n)=7等于3^(3+6n)+1=(3^3)*(3^6)^n+1=27*729^n+1=27*(728+1)^n+1==27+1==0(mod 7),但27*729 ^n+1==2*(-1)^n+1!==0(修订版5)。
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例子
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3^2+1=10=2*5,所以a(2)=5。
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数学
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表[FactorInteger[3^n+1][[2,1]],{n,2,50}]
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黄体脂酮素
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(岩浆)[原分母(3^n+1)[2]:[2.60]]中的n//文森佐·利班迪2019年3月16日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A061980型
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| 方阵A(n,k)=A(n-1,k)+A(n-1,floor(k/2))+A。 |
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+10 7
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1, 0, 3, 0, 2, 9, 0, 1, 8, 27, 0, 0, 6, 26, 81, 0, 0, 4, 23, 80, 243, 0, 0, 3, 20, 76, 242, 729, 0, 0, 3, 17, 72, 237, 728, 2187, 0, 0, 1, 17, 66, 232, 722, 2186, 6561, 0, 0, 1, 11, 66, 222, 716, 2179, 6560, 19683, 0, 0, 1, 11, 54, 222, 701, 2172, 6552, 19682, 59049
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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链接
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配方奶粉
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A(n,k)=A(n-1,k)+A。
T(n,k)=A(k,n-k)。
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例子
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数组开头为:
1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...;
3、2、1、0、0、0、0、。。。;
9, 8, 6, 4, 3, 3, 1, ...;
27, 26, 23, 20, 17, 17, 11, ...;
81, 80, 76, 72, 66, 66, 54, ...;
243, 242, 237, 232, 222, 222, 202, ...;
729, 728, 722, 716, 701, 701, 671, ...;
反对角线行的开头为:
1;
0, 3;
0, 2, 9;
0, 1, 8, 27;
0, 0, 6, 26, 81;
0, 0, 4, 23, 80, 243;
0, 0, 3, 20, 76, 242, 729;
0, 0, 3, 17, 72, 237, 728, 2187;
0, 0, 1, 17, 66, 232, 722, 2186, 6561;
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数学
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A[n_,k_]:=A[n,k]=如果[n==0,Boole[k==0],A[n-1,k]+A[n-1,Floor[k/2]]+A[n-1,Floor[k/3]]];
T[n_,k_]:=A[k,n-k];
表[A[n,k],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*G.C.格鲁贝尔2022年6月18日*)
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黄体脂酮素
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(SageMath)
@缓存函数
定义A(n,k):
如果(n==0):返回0^k
否则:返回A(n-1,k)+A(n-1,(k//2))+A
定义T(n,k):返回A(k,n-k)
压扁([[T(n,k)代表k in(0..n)]代表n in(0..12)])#G.C.格鲁贝尔2022年6月18日
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A061984号
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| a(n)=1+a([n/2])+a([n/3]),a(0)=0。 |
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+10 7
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0, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 47
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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如果n=2^a*3^b,则a(n)-a(n-1)=C(a+b,a)-大卫·沃瑟曼2005年11月17日
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链接
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a061984 n=a061984列表!!n个
a061984_list=0:map(+1)(zipWith(+)
(地图(a061984。(`div`2))[1..])
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 4, 6, 12, 15, 20, 30, 32, 36, 60, 64, 72, 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 288, 324, 384, 432, 576, 648, 864, 1152, 1296, 1728, 2592, 3456, 5184, 10368, 11259, 13344, 15012, 17792, 20016, 22518, 26688, 30024, 40032, 45036, 53376
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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1,2
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链接
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配方奶粉
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数学
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s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];DeleteDuplicates@FoldList[Max,Differences@Union[s]](*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*)
DeleteDuplicates[Differences[Select[Range[10^6],Max[FactorInteger[#][[All,1]]<5&]],GreaterEqual](*哈维·P·戴尔2022年11月22日*)
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交叉参考
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非n
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经核准的
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1, 4, 9, 12, 18, 36, 81, 108, 162, 256, 288, 324, 512, 576, 648, 768, 864, 1024, 1152, 1296, 1536, 1728, 2304, 2592, 3072, 3456, 4608, 5184, 6912, 9216, 10368, 13824, 20736, 27648, 41472, 82944, 165888, 196608, 221184, 262144, 294912, 331776
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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配方奶粉
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s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];s=联合[s];d=差异@s;v=DeleteDuplicates@FoldList[Max,d];映射[s[[First@Position[d,#]]&,v]//压扁(*阿米拉姆·埃尔达尔,2020年1月30日*)
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2, 6, 12, 16, 24, 48, 96, 128, 192, 288, 324, 384, 576, 648, 729, 864, 972, 1152, 1296, 1458, 1728, 1944, 2592, 2916, 3456, 3888, 5184, 5832, 7776, 10368, 11664, 15552, 23328, 31104, 46656, 93312, 177147, 209952, 236196, 279936, 314928
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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链接
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配方奶粉
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数学
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s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];s=并集[s];d=差异@s;v=DeleteDuplicates@FoldList[Max,d];地图[s[[1+First@位置[d,#]]]&,v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*)
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经核准的
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1, 4, 7, 8, 10, 14, 19, 21, 24, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 46, 50, 51, 53, 54, 58, 59, 63, 67, 68, 72, 78, 82, 88, 99, 110, 113, 115, 118, 120, 122, 125, 127, 133, 135, 138, 140, 146, 148, 154, 160, 162, 168, 175, 176, 177, 183, 190, 191, 192
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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数学
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s={};m=13;Do[n=3^k;While[n<=3^m,AppendTo[s,n];n*=2],{k,0,m}];s=联合[s];d=天差异@s; v=DeleteDuplicates@FoldList[Max,d];Map[First@Position[d,#]&,v]//展平(*阿米拉姆·埃尔达尔2020年1月30日*)
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 6, 3, 1, 4, 12, 6, 2, 8, 9, 3, 12, 4, 16, 18, 6, 24, 27, 1, 32, 36, 12, 48, 54, 2, 64, 72, 81, 3, 96, 108, 4, 128, 144, 162, 6, 192, 216, 8, 1, 9, 288, 324, 12, 384, 432, 16, 2, 18, 576, 648, 24, 3, 27, 864, 32, 4, 36, 1152, 1296, 48, 6, 54, 1728, 64, 8, 72, 9, 81, 2592, 96, 12
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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数学
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S3=选择[Range[3*10^4],FactorInteger[#][[-1,1]]<=3&];表[GCD[S3[[n]],S3[[n+1]],{n,1,长度[S3]-1}](*Jean-François Alcover公司2018年2月2日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a186711 n=a186711_list!!(n-1)
a186711_list=zipWith gcd a003586_list$tail a003586列表
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