显示找到的11个结果中的1-10个。
483, 209, 21, 632, 650, 541, 546, 281, 666, 440, 397, 576, 18, 251, 356, 207, 532, 361, 121, 642, 288, 167, 348, 505, 561, 0, 108, 166, 97, 492, 58, 255, 632, 151, 679, 185, 141, 587, 0, 549, 459, 428, 549, 157, 559, 121, 605, 102
数学
Do[f=Mod[DivisorSigma[11，n]，691]；g=Mod[DivisorSigma[11，n+1]，691]；如果[f==g，打印[{n，f}]]，{n，1，10000}]
290217, 477155, 1051085, 1153412, 1409635, 1409636, 1641812, 2056412, 2657865, 2945116, 3724928, 4570784, 5115359, 5187777, 5567783, 5720418, 7836078, 8736807, 8932428, 9618716, 9957630, 10175867, 10447914, 10547421, 10982172, 11359120, 11499876, 11735611, 12651355, 13018169, 13515452, 13867914
数学
Do[f=Mod[DivisorSigma[11，n]，691]；g=Mod[DivisorSigma[11，n+1]，691]；h=Mod[DivisorSigma[11，n+2]，691]；如果[f=g&&g=h，打印[｛n，f｝]]，｛n，1，1500000｝]
1381, 16581, 290217, 1409635, 1118176194, 107792931954, 673751534392, 2587409974788
评论
很可能a（5）=1118176194，因为它是由5个零组成的字符串的起点，但事实上这是最少的数字需要确认。
请注意，的零A046694号（n） 指数等于k*p型算术级数的项，其中素数p属于A134671号因此：a（1）=1381=2*691-1，a（2）=16581=3*5527=3*（8*691-1），a（3）=290217=3*96739=3*。
此外，请注意，所有列出的项的形式都是a（n）=k*p-1，其中素数p是形式为p=2m*691-1的素数，属于A134671号a（1）=2*691-1，a（2）=2*8291-1，a（3）=2*145109-1，a，（4）=4*352409-1，a（5）=5*223635239-1。
MAPLE公司
选项记忆；
如果n=1，则
1381 ;
其他的
对于来自procname（n-1）+1 do的a
wrks:=真；
对于k从a到a+n-1 do
wrks:=假；
断裂；
结束条件：；
结束do：
如果wrks那么
返回a；
结束条件：；
结束do：
结束条件：；
1409635, 74627996, 98011434, 109454388, 153236152, 191545190, 392460356, 427203833, 497768756, 504982791, 538208841, 538565394, 541301742, 549096232, 590970836, 591800035, 623392556, 660872395, 698269314, 779613836, 796944116, 839316232, 884093036, 1045217422, 1118176194
Ramanujan的tau函数（或Ramanujan数，或tau数）。
（原名M5153 N2237）
+10
206
1, -24, 252, -1472, 4830, -6048, -16744, 84480, -113643, -115920, 534612, -370944, -577738, 401856, 1217160, 987136, -6905934, 2727432, 10661420, -7109760, -4219488, -12830688, 18643272, 21288960, -25499225, 13865712, -73279080, 24647168
评论
全模组重量12的尖点形式的系数。
据推测，τ（n）从不为零（这一点已被验证为n<816212624008487344127999，见Derickx，van Hoeij，Zeng参考文献）。
M.J.Hopkins提到，唯一已知的tau（p）==1（mod p）为11、23和691的素数p，决定是否有无穷多这样的p是一个开放的问题，而在35000以下没有其他已知的p。西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）目前已搜索到陶（314747），没有发现其他例子-N.J.A.斯隆2007年3月25日
Martin（1996）表一列出的74个eta商中排名第一。
利用Dedekind的eta函数和判别式Delta，我们可以得到eta（z）^24=Delta（z）/（2*Pi）^12=Sum_{m>=1}τ（m）*q^m，其中q=exp（2*Pi*i*z），z位于复上半平面，其中i是虚单位。Delta是Hecke算子T_n（n>=1）的本征函数，本征值为tau（n）：T_n Delta=tau（n）Delta。由此得出以下公式部分中给出的τ（m）*τ（n）的公式。例如，参见Koecher-Krieg参考文献，Lemma和Satz，第212页。或第114页的Apostol参考文献，等式（3）和第131页的第6.13节第一部分-沃尔夫迪特·朗2016年1月26日
关于a（n）的Dirichlet级数F（s）满足的函数方程，Re（s）>7，见Hardy参考，第173页，（10.9.4）。它是（2*Pi）^（-s）*Gamma（s）*F（s）=。这归因于J.R.Wilton，1929年，第185页-沃尔夫迪特·朗2017年2月8日
参考文献
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S.Ramanujan，《关于某些算术函数》。Srinivasa Ramanujan的论文集，第153页，编辑G.H.Hardy等人，AMS Chelsea 2000。
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链接
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N.J.A.斯隆，我最喜欢的整数序列，arXiv:math/0207175[math.CO]，2002年。
配方奶粉
G.f.：x*Product_{k>=1}（1-x^k）^24=x*A（x）^8，带有A010816美元.
G.f.是满足f（-1/t）=（t/i）^12f（t）的周期1傅立叶级数，其中q=exp（2pi i t）-迈克尔·索莫斯2011年7月4日
如果p是素数，abs（a（n））=O（n^（11/2+ε）），abs。这些都是Ramanujan推测的，并由Deligne证明。
扎吉尔说：这些公式的证明，如果从头开始写出来的话，估计有2000页；在他的书中，马宁引用了这一比率的可能记录：“证明长度：陈述长度”在整个数学中。
G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u*w*（u+48*v+4096*w）-v^3-迈克尔·索莫斯2004年7月19日
a（n）=τ（n）（τ（0）=0）：τ（m）*tau（n）=Sum_{d|gcd（m，n）}d^11*tau。参见上文注释和Koecher-Krieg参考，第212页，等式（5）-沃尔夫迪特·朗2016年1月21日
Dirichlet级数作为乘积：和{n>=1}a（n）/n^s=product{n>=1}1/（1-a（素数（n））/prime（n）^s+素数（n）^（11-2*s））。请参阅Mordell链接，等式（2）-沃尔夫迪特·朗，2016年5月6日。另见哈代，第164页，等式（10.3.1）和（10.3.8）-沃尔夫迪特·朗2017年1月27日
G.f.eta（z）^24（q=exp（2*Pi*i*z））也是（E_4（q）^3-E_6（q）*2）/1728。参见哈代参考文献，第166页，等式（10.5.3），Q=E_4和R=E_6，见A004009号和A013973号分别是-沃尔夫迪特·朗2017年1月30日
通用公式：x*exp（-24*Sum_{k>=1}x^k/（k*（1-x^k）））-伊利亚·古特科夫斯基2018年2月5日
[-24，-24，-25，-24…]的欧拉变换-西蒙·普劳夫，2018年6月21日
例子
G.f.=q-24*q^2+252*q^3-1472*q^4+4830*q^5-6048*q^6-16744*q^7+84480*q^8-113643*q^9+。。。
35328=（-24）*（-1472）=a（2）*a（4）=a。参见上文关于T_n Delta=τ（n）Delta的注释-沃尔夫迪特·朗2016年1月21日
MAPLE公司
M:=50；t1:=系列（x*mul（（1-x^k）^24，k=1..M），x，M）；A000594号：=n->系数（t1，x，n）；
数学
系数列表[Take[Expand[Product[（1-x^k）^24，{k，1，30}]，30]，x]（*或*）
（*首先做*）需求[“数字理论`Ramanujan`”]（*然后*）表[RamanujanTau[n]，{n，30}](*迪安·希克森2003年1月3日*）
最大值=28；g[k_]：=-BernoulliB[k]/（2k）+和[DivisorSigma[k-1，n-1]*q^（n-1），{n，2，max+1}]；系数列表[系列[8000*g[4]^3-147*g[6]^2，{q，0，max}]，q]//静止(*Jean-François Alcover公司，2012年10月10日，来自模块化表单*）
RamanujanTau[Range[40]]（*函数RamanujanTau现在是Mathematica核心语言的一部分，因此在使用之前不再需要加载NumberTheory `Ramanujian`）(*哈维·P·戴尔2012年10月12日*）
a[n_]：=级数系数[q QPochhammer[q]^24，{q，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2014年5月27日*）
a[n_]：=具有[{t=Log[q]/（2Pi I）}，系列系数[Series[DedekindEta[t]^24，{q，0，n}]，{q、0，n{]]；(*迈克尔·索莫斯2014年5月27日*）
黄体脂酮素
（茱莉亚）
使用Nemo
函数DedekindEta（len，r）
R、 z=多项式环（ZZ，“z”）
e=eta_qexp（r，len，z）
[coeff（e，j）for j in 0:len-1]结束
RamanujanTauList（len）=DedekindEta（len，24）
RamanujanTauList（28）|>打印#彼得·卢什尼2018年3月9日
（Magma）M12：=模形式（Gamma0（1），12）；t1:=基础（M12）[2]；PowerSeries（t1[1]，100）；系数（$1）；
（岩浆）基础（CuspForms（Gamma1（1），12），100）[1]/*迈克尔·索莫斯，2014年5月27日*/
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（x*eta（x+x*O（x^n））^24，n））}；
（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（x*（总和（i=1，（平方（8*n-7）+1））\2，（-1）^i*（2*i-1）*x^（（i^2-i）/2），O（x^n）））^8，n））}；
（PARI）拉紧（p，e）={
如果（e==1，
（65*西格玛（p，11）+691*西格马（p，5）-691*252*总和（k=1，p-1，sigma（k，5）*sigma
,
my（t=拉紧（p，1））；
总和（j=0，e\2，
（-1）^j*二项式（e-j，e-2*j）*p^（11*j）*t^（e-2*j）
)
)
};
a（n）=我的（f=系数（n））；触头（i=1，#f[，1]，拉紧（f[i，1]、f[i、2]）；
（PARI）单独计算术语（Douglas Niebur，Ill.J.Math.，191975）：
a（n）=n^4*σ（n）-24*和（k=1，n-1，（35*k^4-52*k^3*n+18*k^2*n^2）*sigma（k）*simma（n-k））；
向量（33，n，a（n））\\乔格·阿恩特2015年9月6日
（鼠尾草）CuspForms（Gamma1（1），12，prec=100）.0#迈克尔·索莫斯2013年5月28日
（鼠尾草）列表（delta_qexp（100））[1:]#更快彼得·卢什尼2016年5月16日
（红宝石）
定义s（n）
s=0
如果n%i==0}，则为（1..n）.each{|i|s+=i
秒
结束
ary=[1]
a=[0]+（1..n-1）.map{i|s（i）}
（1..n-1）.每个{i|ary<<（1..i）.注入（0）{s，j|s-24*a[j]*ary[-j]}/i}
ary系列
结束
（红宝石）
ary=[0,1]
（2..n）每个{|i|
s、 t，u=0，1，0
（1..n）.每个{|j|
t+=9*j
u+=j
如果i<=u，则中断
s+=（-1）**（j%2+1）*（2*j+1）*（i-t）*ary[-u]
}
元<<s/（i-1）
}
数组[1..-1]
结束
（Python）
从symy导入divisorsigma
定义A000594号（n） ：返回n**4*除数sigma（n）-24*（（m:=n+1>>1）**2*#柴华武2022年11月8日
a（n）＝sigma_11（n），n的除数的第11次幂的和。
+10
19
1, 2049, 177148, 4196353, 48828126, 362976252, 1977326744, 8594130945, 31381236757, 100048830174, 285311670612, 743375541244, 1792160394038, 4051542498456, 8649804864648, 17600780175361, 34271896307634, 64300154115093, 116490258898220, 204900053024478
评论
如果n到素数幂的标准因式分解是p^e（p）的乘积，那么sigma_k（n）=product_p（（p^（（e（p（p）+1）*k））-1）/（p^k-1）。
配方奶粉
通用公式：和{k>=1}k^11*x^k/（1-x^k）-贝诺伊特·克洛伊特2003年4月21日
Dirichlet g.f.：zeta（s-11）*zeta（s）-伊利亚·古特科夫斯基，2016年9月10日
与a（p^e）相乘=（p^（11*e+11）-1）/（p^11-1）。
和{k=1..n}a（k）=zeta（12）*n^12/12+O（n^13）。（结束）
数学
表[DivisorSigma[11，n]，{n，30}](*文森佐·利班迪，2016年9月10日*）
黄体脂酮素
（Sage）[范围（1，18）中n的σ（n，11）]#零入侵拉霍斯，2009年6月4日
（PARI）我的（N=99，q='q+O（'q^N））；Vec（总和（n=1，n，n^11*q^n/（1-q^n））\\阿尔图·阿尔坎，2016年9月10日
（岩浆）[DivisorSigma（11，n）：[1..20]]中的n//文森佐·利班迪，2016年9月10日
（Python）
从symy导入divisorsigma
对k进行编号，使tau（k）=tau（k+1）mod 691，其中tau是Ramanujan的tau函数A000594号.
+10
9
184, 2103, 3421, 3638, 4342, 5181, 6029, 6233, 8323, 8628, 8721, 9658, 9905, 11322, 11774, 11888, 12410, 12774, 12811, 13063, 13484, 14744, 14906, 15065, 15247, 16581, 16610, 18248, 18396, 18703, 19514, 20476, 20479, 21657, 22089, 22984
评论
相应的Ramanujan tau编号mod 691列于A121734号（n）=A046694号（a（n））。A121734号开始483、209、21、632、650、541、546、281、666、440、397、576、18、251、356、207、532、361、121、642、288、167、348、505、561、0、108、166、97、492、58、255、632、151、679、185、141、587、0。。。。
数学
选择[Range[30000]，Mod[Divisor Sigma[11，#1]，691]==Mod[divisor Sigram[11，#1+1]，691]&]
黄体脂酮素
（PARI）是（n）=（拉马努贾套（n）-拉马努加套（n+1））%691==0\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年2月8日
Ramanujan tau三元组的值为mod 691，因此三个连续的Ramanujian tau数是mod 691。
+10
7
0, 276, 91, 79, 0, 0, 0, 0, 76, 349, 212, 355, 662, 227, 342, 616, 182, 641, 105, 0, 21, 33, 0, 0, 316, 436, 346, 109, 468, 557, 261, 512, 299, 532, 565, 214, 72, 218, 436, 0, 166, 532, 0, 591, 0, 144, 0, 544, 257, 0, 0, 0, 422, 0, 0, 488, 0, 0, 0, 488, 0, 233, 371, 0, 380, 28, 0, 641, 414, 331, 0, 487, 0, 666, 130, 14, 0, 0, 321, 620, 0, 339, 533
数学
Do[f=Mod[DivisorSigma[11，n]，691]；g=Mod[DivisorSigma[11，n+1]，691]；h=Mod[DivisorSigma[11，n+2]，691]；如果[f==g&&g==h，打印[{n，f}]]，{n，1，1500000}]
选择[Partition[Table[Mod[DivisorSigma[11，n]，691]，{n，10000000}]，3，1]，Length[Union[#]]==1&][[All，1]](*哈维·P·戴尔2020年1月31日*）
1381, 5527, 8291, 12437, 22111, 29021, 30403, 34549, 37313, 42841, 51133, 53897, 58043, 62189, 70481, 92593, 96739, 105031, 120233, 134053, 145109, 167221, 179659, 182423, 186569, 187951, 192097, 194861, 212827, 216973, 233557, 281927
评论
请注意，的所有零A046694号（n） 指数等于k*p型所有算术级数的项，其中素数p属于a（n）。因此A046694号对于所有整数k>0，（k*a（n））=0。
例子
a（1）=1381=2*691-1是2m*691-1形式的第一素数。
数学
选择[2*691*Range[1000]-1，PrimeQ[#]&]
选择[表[1382 n-1，{n，0，300}]，PrimeQ](*文森佐·利班迪2014年11月7日*）
黄体脂酮素
（岩浆）[0..250]|IsPrime（a）中的[a:n，其中a为1382*n-1]//文森佐·利班迪2014年11月7日
（PARI）列表（lim）=我的（v=列表（））；对于primestep（p=1381，lim，Mod（-1，1382），listput（v，p））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2022年9月9日
交叉参考
囊性纤维变性。A046694号=Ramanujan tau数字mod 691=除数mod 691的11次幂之和。
囊性纤维变性。121733英镑=数字n，使得两个连续的Ramanujan tau数字等于mod 691。
囊性纤维变性。A121742号=数字n，使得三个连续的Ramanujan tau数字是相同的mod 691。
囊性纤维变性。A121743号=Ramanujan tau三元组mod 691的值，使得三个连续的Ramanujian tau数是mod 691。
评论
对于每个例外素数p，Ramanujan的tau函数tau（n）=A000594号（n） 满足一个简单的同余模p。
参考文献
H.P.F.Swinnerton-Dyer，τ（n）的同余性质，G.E.Andrews等人第289-311页，编辑，Ramanujan Revisited。纽约学术出版社，1988年。
链接
H.P.F.Swinnerton-Dyer，模形式系数的l-adic表示与同余《一元模函数III》（Antwerp 1972），第1-55页，Lect。数学笔记。，350, 1973.
例子
691是一个例外素数，因为tau（n）==n mod 691的除数的11次方的和（参见A046694号).
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