A027642-编号：A027642-OEIS

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A309132型

a（n）是F（n）的分母=A027641号（n-1）/个+A027642号（n-1）/n^2。

+20
9

1, 1, 1, 16, 1, 36, 1, 64, 27, 100, 1, 144, 1, 196, 75, 256, 1, 324, 1, 400, 49, 484, 1, 576, 125, 676, 243, 784, 1, 900, 1, 1024, 363, 1156, 1225, 1296, 1, 1444, 169, 1600, 1, 1764, 1, 1936, 135, 2116, 1, 2304, 343, 2500, 867, 2704, 1, 2916, 3025, 3136, 361, 3364, 1, 3600, 1, 3844, 1323, 4096, 845, 4356, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1, 4`
	评论	`似乎F（n）的分子是（B（n-1）+1/n）的分子，其中B（k）是第k个伯努利数；如果是这样，对于n>2，F（n）的分子是A174341号（n-1）。如何证明？` `猜想：对于n>1，a（n）=1当且仅当n是素数。` `这个猜想与Agoh-Giuga猜想等价吗？` 定理1。如果p是素数，那么a（p）=1。证明。a（2）=1，所以p是奇素数。根据von Staudt-Clausen定理，如果k是偶数，那么B（k）=A（k）-Sum_{prime q，q-1\|k}1/q，其中A（k。则N（p-1）/D。将1/p加到（）的两边，再乘以pD（p-1），得到pN（p-1。现在p\|D（p-1），所以p^2\|pD（p-1）在（）中。（）右侧的分母都是q<p的形式。因此，p^2将（**）的两侧分开。因此F（p）=N（p-1）/p+D（p-1”/p^2是一个整数，因此a（p）=1-乔纳森·桑多2019年7月14日 `猜想：a（n）是平方自由的复合数n只有Carmichael数A002997号.参见。A309235. -托马斯·奥多夫斯基2019年7月15日` `推测检验为n=101101-阿米拉姆·埃尔达尔2019年7月16日` `定理2。如果n是素数或Carmichael数，则a（n）=A326690型（n） =（和{素数p\|n}1/p-1/n）的分母。该证明是定理1的推广。（注意，定理2暗示了定理1，因为如果n是素数，那么（和{素数p\|n}1/p-1/n）=1/n-1/n=0/1，所以a（p）=A326690型（n） =1.）对于n个素数或Carmichael数，定理2的一个应用是计算a（n）而不计算可能很大的Bernoulli（n-1）；看见A309268和A326690型. -乔纳森·桑多2019年7月19日` `当n为素数时，F（n）的值为A327033型. -乔纳森·桑多2019年8月16日`
	链接	`阿米拉姆·埃尔达尔，n=1..10000时的n，a（n）表` `埃里克·魏斯坦的数学世界，von Staudt-Clausen定理` `维基百科，Agoh-Giuga猜想` `维基百科，伯努利数：相关序列`
	配方奶粉	`素数p的a（p）=1。` `当k>1时，a（2k）=（2k）^2。` `猜想：对于k>0，a（2k+1）=（2k+1）^2当2k+1在A121707号.` `素数p=2和p=1277的分母（F（p）/p）=1，但没有其他素数p<1.510^4。对于任何素数p>1.510^4，分母（F（p）/p）=1吗-乔纳森·桑多2019年7月14日` `类似地，素数p=1277的和{k=1..p-1}k^（p-1）==-1（modp^2）-托马斯·奥多夫斯基2019年7月15日` `a（n）=分母（和{素数p\|n}1/p-1/n），如果n是素数或Carmichael数-乔纳森·桑多2019年7月19日`
	例子	`F（n）=2/1，0/1，1/1，1/16，1/1，1/36，1/1，1/64，7/27，1/100，1/1，1/144，-37/1，1/196，37/75，1/256，-211/1，1/324，2311/1，1/400，-407389/49。。。`
	数学	`表[分母[分子[伯努利B[n-1]]/n+分母[伯努利B[n-1]]/n^2]，{n，70}](文森佐·利班迪2019年7月14日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）a（n）=分母（分子（bernfrac（n-1））/n+分母（bernfac（n-2））\\米歇尔·马库斯2019年7月14日` `（Magma）[分母（分子（伯努利（n-1））/n+分母（伯努利（n-1））/n^2）：[1.70]中的n//文森佐·利班迪2019年7月14日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A000040型,A000146号,A002997号,A027641号,A027642号,A110936号,A166062号,A174341号,A174342号,A309235型,A326690型,A327033型.`
	关键字	`非n,压裂`
	作者	`托马斯·奥多夫斯基2019年7月14日`
	状态	`经核准的`

A100615号

设N（N）（x）为中定义的Nörlund多项式A001898号，N（N）（1）等于通常的伯努利数A027641号/A027642号序列给出了N（N）（2）的分子。

+20
8

1, -1, 5, -1, 1, 1, -5, -1, 7, 3, -15, -5, 7601, 691, -91, -35, 3617, 3617, -745739, -43867, 3317609, 1222277, -5981591, -854513, 5436374093, 1181820455, -213827575, -76977927, 213745149261, 23749461029, -249859397004145, -8615841276005, 238988952277727, 84802531453387 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0, 3`
	评论	`有迹象表明A359738型有理数列反映了恒等式B（z）^2=（z+1）B（z，-zB'（z），这可以追溯到Euler，其中B（z-彼得·卢什尼2023年1月23日`
	参考文献	`F.N.David，《统计方法的概率论》，剑桥，1949年；见第103-104页。[B_s^{（r）}的重复出现错误。]`
	链接	`罗伯特·伊斯雷尔，n=0..575时的n、a（n）表` `Madeline Beals-Reid，伯努利数中的二次关系《大学生研究水泵杂志》，6（2023），29-39。`
	配方奶粉	`例如：（x/（exp（x）-1））^2-弗拉德塔·乔沃维奇2006年2月27日` `a（n）=分子（和{k=0..n}（-1）^kk/（k+1）Sum_{j=0..n-k}C（n，j）Stirling2（n-j，k）B（j）），其中B（n）是伯努利数-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年6月2日` `a（n）=分子（和{j=0..n}二项式（n，j）伯努利（n-j）贝努利（j））-法比安·佩雷拉2020年3月2日` `a（n）=-分子（n*B（n-1）+（n-1-彼得·卢什尼2023年5月18日`
	例子	`1, -1, 5/6, -1/2, 1/10, 1/6, -5/42, -1/6, 7/30, 3/10, -15/22, -5/6, 7601/2730, 691/210, -91/6, -35/2, 3617/34, 3617/30, -745739/798, -43867/42, ... =A100615号/A100616号.`
	MAPLE公司	`S： =系列（（x/（exp（x）-1））^2，x，41）：` `seq（数字（系数（S，x，j）j！），j=0..40）#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日` `#第二个程序：` `a:=n->如果n=0，则1个其他数字（-nbernoulli（n-1）-（n-1）*bernoulli（n））fi：` `seq（a（n），n=0..33）#彼得·卢什尼2023年5月18日`
	数学	`表[分子@NorlundB[n，2]，{n，0，32}](阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年10月22日）` `表[如果[n==0，1，-分子[nBernoulliB[n-1]+（n-1）BernowliB[n]]，{n，0，33}](彼得·卢什尼2023年5月18日）`
	黄体脂酮素	`（最大值）a（n）：=总和（（-1）^kk/（k+1）和（二项式（n，j）stirling2（n-j，k）bern（j），j，0，n-k），k，0，n）/弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年6月2日/` `（PARI）a（n）=分子（总和（j=0，n，二项式（n，j）bernfrac（n-j）bernfrac\\米歇尔·马库斯2020年3月3日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A001898号,A027641号,A027642号,A100616号,A359738型.`
	关键字	`签名,压裂`
	作者	`N.J.A.斯隆2004年12月3日`
	状态	`经核准的`

A100616号

设B（n）（x）为中定义的伯努利多项式A001898年，B（n）（1）等于通常的伯努利数A027641号/A027642号序列给出了B（n）（2）的分母。

+20
5

1, 1, 6, 2, 10, 6, 42, 6, 30, 10, 22, 6, 2730, 210, 6, 2, 34, 30, 798, 42, 330, 110, 46, 6, 2730, 546, 6, 2, 290, 30, 14322, 462, 510, 170, 2, 6, 54834, 51870, 6, 2, 4510, 330, 1806, 42, 690, 46, 94, 6, 46410, 6630, 66, 22, 530, 30, 798, 798, 174, 290, 118, 6, 56786730 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0, 3`
	参考文献	`F.N.David，《统计方法的概率论》，剑桥，1949年；见第103-104页。[B_s^{（r）}的重复出现错误。]`
	链接	`罗伯特·伊斯雷尔，n=0..1000时的n，a（n）表`
	配方奶粉	`例如：（x/（exp（x）-1））^2-弗拉德塔·乔沃维奇2006年2月27日` `a（n）=分母（和{j=0..n}二项式（n，j）伯努利（n-j）贝努利（j））-法比安·佩雷拉2020年3月2日`
	例子	`1, -1, 5/6, -1/2, 1/10, 1/6, -5/42, -1/6, 7/30, 3/10, -15/22, -5/6, 7601/2730, 691/210, -91/6, -35/2, 3617/34, 3617/30, -745739/798, -43867/42, ... =A100615号/A100616号.`
	MAPLE公司	`S： =系列（（x/（exp（x）-1））^2，x，101）：` `seq（denom（coeff（S，x，n）*n！），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日`
	数学	`表[分母@NorlundB[n，2]，{n，0，59}](阿尔卡迪乌斯·韦索洛夫斯基2012年10月22日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）a（n）=分母（总和（j=0，n，二项式（n，j）bernfrac（n-j）bernfrac\\米歇尔·马库斯2020年3月3日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A001898号,A027641号,A027642号,A100615号.`
	关键字	`非n,压裂`
	作者	`N.J.A.斯隆2004年12月3日`
	状态	`经核准的`

A166120型

a（n）=A027642号（n-1）/A089026号（n） ●●●●。

+20
4

1, 1, 2, 1, 6, 1, 6, 1, 30, 1, 6, 1, 210, 1, 6, 1, 30, 1, 42, 1, 330, 1, 6, 1, 2730, 1, 6, 1, 30, 1, 462, 1, 510, 1, 6, 1, 51870, 1, 6, 1, 330, 1, 42, 1, 690, 1, 6, 1, 46410, 1, 66, 1, 30, 1, 798, 1, 870, 1, 6, 1, 930930, 1, 6, 1, 510, 1, 966, 1, 30, 1, 66, 1, 1919190, 1, 6, 1, 30, 1, 42, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,3`
	评论	`如中所示A166062号，偏移量相当任意。` `序列包含类似210的数字，这些数字不在A006954号.` `也可以考虑除以A027642号而不是A089026号，它生成1、1、2、1、6、1、5、1、1。。。作为替代版本。` `这些是基于n的真除数的克劳森数，而经典的克劳森数字A160014型基于n的所有除数。（适当的除数是n小于n的除数。）-彼得·卢什尼2022年8月20日`
	链接	`n=1..80时的n，a（n）表。`
	MAPLE公司	`A027642号：=proc（n）denom（bernoulli（n））；结束时间：` `A089026号：=proc（n），如果是素数（n）则为n；其他1；结束条件：；结束进程：` `A166120型：=进程（n）A027642号（n-1）/A089026级（n）；结束进程：seq(A166120型（n），n=1..80）#R.J.马塔尔2010年3月25日` `#第二个程序，假设偏移量为0：` `子句：=proc（n）如果irem（n，2）=1，则1其他numtheory[除数]（n）减去{n}；` `地图（i->i+1，%）；选择（i质数，%）；mul（i，i=%）fi端：` `seq（克劳森（n），n=0..79）#彼得·卢什尼2022年8月20日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A027642号,A089026号,A160014型.`
	关键字	`非n`
	作者	`保罗·柯茨2009年10月7日`
	扩展	`由扩展R.J.马塔尔2010年3月25日`
	状态	`经核准的`

A181722号

（1/n-伯努利数）的分子A164555号（n）/A027642号（n））。

+20
4

0, 0, 1, 1, 7, 1, 5, 1, 13, 1, 1, 1, 901, 1, -11, 1, 3647, 1, -43825, 1, 1222387, 1, -854507, 1, 1181821001, 1, -76977925, 1, 23749461059, 1, -8615841275543, 1, 28267510484519, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`1,5`
	评论	`自序列是一个序列，其逆二项式变换是有符号序列。在整数中，最古老的例子是斐波那契A000045号.分数，A164555号/A027642号通过Akiyama-Tanigawa算法是1/n的子；孙子是(A174110号/A174111号) = 1/2, 2/3, 1/2, 2/15, ...; 看见A164020号。请参阅A174341号/A174342号都来自同一个家庭。`
	链接	`G.C.格鲁贝尔，n=1..625时的n，a（n）表` `OEIS Wiki，自动排序.`
	例子	`分数为0、0、1/6、1/4、7/30、1/6，5/42、1/8、13/90、1/10、1/66、1/12、901/2730。。。`
	数学	`a[n]：=如果[n<=2，0，分子[1/n-伯努利B[n-1]]]；` `表[a[n]，{n，1，34}](Jean-François Alcover公司，2017年6月7日）`
	黄体脂酮素	`（马格玛）` `A181722号：=func<n\|n le 2选择0 else分子（1/n-Bernoulli（n-1））>；` `[A181722号（n）：[1..40]]中的n//G.C.格鲁贝尔2024年3月25日` `（SageMath）` `定义A181722号（n）：如果n<3 else分子（1/n-bernoulli（n-1）），则返回0` `[A181722号（n）对于范围（1，41）中的n#G.C.格鲁贝尔2024年3月25日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A000045号,A027642号,A164020号,A164555号,A174110号,A174111号,A174341号,A174342号.`
	关键字	`签名,压裂`
	作者	`保罗·柯茨2010年11月17日`
	状态	`经核准的`

A285863型

伯努利数3^n*B（n）的分子，带B（n=A027641号（n）/A027642号（n） ●●●●。

+20
4

1, -3, 3, 0, -27, 0, 243, 0, -2187, 0, 98415, 0, -122408577, 0, 11160261, 0, -51899996619, 0, 5664991530321, 0, -202943637014337, 0, 8938507796555139, 0, -22252066887294301257, 0, 7246946747292751629, 0, -181103830292539169071623 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,2`
	评论	`分母如所示A285068型.` `一般来说，数字B（d；n）=d^nB（n），对于n>=0，有f.dx/（exp（dx）-1）。它们也是广义伯努利数B[d，a]（n）与序列{（-a）^n}_{n>=0}的指数卷积。请参阅中的评论A157817号对于B[4,1]和B[4,3]示例。` `这些数字B（d；n）及其多项式B（d，n，x）=和{m=0..n}二项式=SP（1,0；k，m），n>=0，m>=0，并且0^0:=1。` `Faulhaber公式是：SP（d，a；n，m）=（1/（d（n+1）））[B（d；n+1，x=a+d（m+1））-B（d；n+1，x=d）-B。这里[n=0]是Kronecker delta_{n，0}符号：如果n=0，则为1，否则为0。` `Faulhaber公式的一个更简单的版本是对于A=0：对于n>=1，SP（d，0；0，m）=m+1和SP（d，0；n，m）=d^n（1/（n+1））（B（n+1，x=m+1）-B（n+1，x=1））；对于整数>=1：Sum_{k=0..n}二项式（n，k）A^（n-k）d^k（1/（k+1））（B（k+1，x=m+1）-B（k+1，x＝1））。这里B（n，x）=B（1；n，xA196838号/A196839号或A053382号/A053383号.`
	链接	`因德拉尼尔·戈什，n=0..300时的n，a（n）表` `沃尔夫迪特·朗，算术级数的幂和与广义Stirling、Euler和Bernoulli数，arXiv:1707.04451[math.NT]，2017年。`
	配方奶粉	`a（n）=分子（r（n）），r（nA027641号（n）/A027642号（n），n>=0。` `例如{r（n）}_{n>=0}:3x/（exp（3*x）-1）。`
	MAPLE公司	`seq（数字（3^n*bernoulli（n）），n=0..28）#彼得·卢什尼2017年7月17日`
	数学	`表[分子[3^nBernoulliB[n]]，{n，0，100}](因德拉尼尔·戈什2017年7月18日*）`
	黄体脂酮素	`（Python）` `来自sympy import bernoulli` `def a（n）:return（3*nbernoulli（n））.numerator（）` `打印（[a（n）代表范围（51）中的n]）#因德拉尼尔·戈什2017年7月18日` `（PARI）a（n）=分子（3^n*bernfrac（n））\\路德·范托尔（Ruud H.G.van Tol）2024年1月31日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A027641号/A027642号,A144845号,A285068型.`
	关键字	`签名,容易的,压裂`
	作者	`沃尔夫迪特·朗2017年4月29日`
	状态	`经核准的`

A138243号

按行读取三角形：行产品给出A027642号.

+20
三

1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,2`
	评论	`除了第一列，第n个素数出现在A006093号（n） -第行，从A000040型（n） -第n行，第n列。`
	链接	`米歇尔·马库斯，三角形的行数n=0..100，展平`
	配方奶粉	`T（n，k）=A000040型（k）如果A027642号（n）模块A000040型（k） =0，否则为1。`
	例子	`前几行的行积为：` `1 = 1` `21 = 2` `231 = 6` `1111 = 1` `23511 = 30` `111111 = 1` `2317111 = 42` `11111111 = 1` `235111111 = 30`
	MAPLE公司	T： =（n，k）->（p->`如果`（irem（denom（bernoulli（n），p）=0，p，1））（ithprime（k））： `seq（seq（T（n，k），k=1..n+1），n=0..20）#阿洛伊斯·海因茨2017年8月27日`
	数学	`表[{p=Prime@k}，pBoole[Divisible[Denominator@BernoulliB[n-1]，p]]/。0->1，{n，14}，{k，n}]//展平(迈克尔·德弗利格2017年8月27日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）tabl（nn）={对于（n=0，nn，dbn=分母（bernfrac（n））；对于（k=1，n+1，如果（！（dbn%质数（k）），w=质数（k），w=1）；print1（w，“，”）；）；}\\米歇尔·马库斯2017年8月27日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A006093号,A027642号.`
	关键字	`非n,表格`
	作者	`Mats Granvik公司2008年3月8日`
	扩展	`偏移校正者阿洛伊斯·海因茨2017年8月27日`
	状态	`经核准的`

A164869号

n个*A027642号（n） ●●●●。

+20
三

0, 2, 12, 3, 120, 5, 252, 7, 240, 9, 660, 11, 32760, 13, 84, 15, 8160, 17, 14364, 19, 6600, 21, 3036, 23, 65520, 25, 156, 27, 24360, 29, 429660, 31, 16320, 33, 204, 35, 69090840, 37, 228, 39, 541200, 41, 75852, 43, 30360, 45, 12972, 47, 2227680, 49, 3300, 51, 82680 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,2`
	链接	`n=0..52时的n、a（n）表。`
	配方奶粉	`a（n）=A164558号（n）-A164555号（n） ●●●●。` `a（n）=A027642号（n）*A001477号（n） ●●●●。`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A164877号（二等分）。`
	关键字	`非n`
	作者	`保罗·柯茨2009年8月29日`
	扩展	`由扩展R.J.马塔尔，2009年9月3日`
	状态	`经核准的`

A165226号

1的分子-A164555号（n）/A027642号（n） ●●●●。

+20
三

0, 1, 5, 1, 31, 1, 41, 1, 31, 1, 61, 1, 3421, 1, -1, 1, 4127, 1, -43069, 1, 174941, 1, -854375, 1, 236366821, 1, -8553097, 1, 23749461899, 1, -8615841261683, 1, 7709321041727, 1, -2577687858361, 1, 26315271553055396563, 1, -2929993913841553, 1 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0, 3`
	评论	`如果n！=1，也是1-Bernoulli（n）的分子。分母为A027642号.` `（分数中没有要取消的公因数。）` `1-Bernoulli（n）的分子从0、3、5、1、31……开始。。。仅在n=1时与此序列不同。` `例如，对于有理数r（n）=a（n）/A027642号（n） =1-A164555号（n）/A027642号（n）：exp（x）*（1-x/（exp（x）-1））-沃尔夫迪特·朗2017年8月7日`
	链接	`n=0..39时的n、a（n）表。`
	配方奶粉	`\|a（2n）\|=A162173号（n+1）。` `a（2n+1）=1。`
	例子	`有理数r（n）开始于：0，1/2，5/6，1，31/30，1，41/42，1，31.30，1，61/66，1，3421/2730，1-沃尔夫迪特·朗2017年8月7日`
	MAPLE公司	`A165226号：=proc（n），如果n=1，则1+bernoulli（n）；否则为1-伯努利（n）；结束条件：；数字（%）；结束过程：#R.J.马塔尔2011年1月16日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。162173美元,A164555号,A027642号.`
	关键字	`压裂,容易的,签名`
	作者	`保罗·柯茨2009年9月9日`
	状态	`经核准的`

A172282号

伯努利数分母的平方A027642号.

+20
三

1, 4, 36, 1, 900, 1, 1764, 1, 900, 1, 4356, 1, 7452900, 1, 36, 1, 260100, 1, 636804, 1, 108900, 1, 19044, 1, 7452900, 1, 36, 1, 756900, 1, 205119684, 1, 260100, 1, 36, 1, 3683290256100, 1, 36, 1, 183060900, 1, 3261636, 1, 476100, 1, 79524, 1, 2153888100, 1, 4356, 1, 2528100 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,2`
	评论	`将示例中的顺序与A120083号.`
	链接	`安蒂·卡图恩，n=0..4096时的n，a（n）表`
	配方奶粉	`a（n）=A027642号（n） ^2。`
	黄体脂酮素	`（PARI）A172282号（n） =（分母（bernfrac（n））^2）\\安蒂·卡图恩，2018年12月19日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A120083号,A172298号.`
	关键字	`非n,容易的`
	作者	`保罗·柯茨2010年1月30日`
	扩展	`编辑和扩展人R.J.马塔尔2010年2月2日`
	状态	`经核准的`

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