搜索: a027642-编号:a027643
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1, 1, 1, 16, 1, 36, 1, 64, 27, 100, 1, 144, 1, 196, 75, 256, 1, 324, 1, 400, 49, 484, 1, 576, 125, 676, 243, 784, 1, 900, 1, 1024, 363, 1156, 1225, 1296, 1, 1444, 169, 1600, 1, 1764, 1, 1936, 135, 2116, 1, 2304, 343, 2500, 867, 2704, 1, 2916, 3025, 3136, 361, 3364, 1, 3600, 1, 3844, 1323, 4096, 845, 4356, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,4
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评论
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似乎F(n)的分子是(B(n-1)+1/n)的分子,其中B(k)是第k个伯努利数;如果是这样,对于n>2,F(n)的分子是A174341号(n-1)。如何证明?
猜想:对于n>1,a(n)=1当且仅当n是素数。
这个猜想与Agoh-Giuga猜想等价吗?
定理1。如果p是素数,那么a(p)=1。证明。a(2)=1,所以p是奇素数。根据von Staudt-Clausen定理,如果k是偶数,那么B(k)=A(k)-Sum_{prime q,q-1|k}1/q,其中A(k。则N(p-1)/D。将1/p加到(*)的两边,再乘以p*D(p-1),得到p*N(p-1。现在p|D(p-1),所以p^2|p*D(p-1)在(**)中。(**)右侧的分母都是q<p的形式。因此,p^2将(**)的两侧分开。因此F(p)=N(p-1)/p+D(p-1”/p^2是一个整数,因此a(p)=1-乔纳森·桑多2019年7月14日
定理2。如果n是素数或Carmichael数,则a(n)=A326690型(n) =(和{素数p|n}1/p-1/n)的分母。该证明是定理1的推广。(注意,定理2暗示了定理1,因为如果n是素数,那么(和{素数p|n}1/p-1/n)=1/n-1/n=0/1,所以a(p)=A326690型(n) =1.)对于n个素数或Carmichael数,定理2的一个应用是计算a(n)而不计算可能很大的Bernoulli(n-1);看见A309268和A326690型. -乔纳森·桑多2019年7月19日
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链接
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配方奶粉
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素数p的a(p)=1。
当k>1时,a(2k)=(2k)^2。
猜想:对于k>0,a(2k+1)=(2k+1)^2当2k+1在A121707号.
素数p=2和p=1277的分母(F(p)/p)=1,但没有其他素数p<1.5*10^4。对于任何素数p>1.5*10^4,分母(F(p)/p)=1吗-乔纳森·桑多2019年7月14日
类似地,素数p=1277的和{k=1..p-1}k^(p-1)==-1(modp^2)-托马斯·奥多夫斯基2019年7月15日
a(n)=分母(和{素数p|n}1/p-1/n),如果n是素数或Carmichael数-乔纳森·桑多2019年7月19日
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例子
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F(n)=2/1、0/1、1/1、1/16、1/1,1/36,1/1、1/64、7/27、1/100、1/144、-37/1、1/196、37/75、1/256、-211/1、1/324、2311/1、1/4、-407389/49。。。
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数学
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表[分母[分子[伯努利B[n-1]]/n+分母[伯努利B[n-1]]/n^2],{n,70}](*文森佐·利班迪2019年7月14日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=分母(分子(bernfrac(n-1))/n+分母(bernfrac(n-1))/n^2)\\米歇尔·马库斯2019年7月14日
(岩浆)[分母(分子(伯努利(n-1))/n+分母(伯努里(n-1//文森佐·利班迪2019年7月14日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000040型,A000146号,A002997年,A027641号,A027642号,A110936号,166062英镑,A174341号,A174342号,A309235型,A326690型,A327033型.
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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1, -1, 5, -1, 1, 1, -5, -1, 7, 3, -15, -5, 7601, 691, -91, -35, 3617, 3617, -745739, -43867, 3317609, 1222277, -5981591, -854513, 5436374093, 1181820455, -213827575, -76977927, 213745149261, 23749461029, -249859397004145, -8615841276005, 238988952277727, 84802531453387
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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有迹象表明A359738型有理数列反映了恒等式B(z)^2=(z+1)*B(z,-z*B'(z),这可以追溯到Euler,其中B(z-彼得·卢什尼2023年1月23日
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参考文献
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F.N.David,《统计方法的概率论》,剑桥,1949年;见第103-104页。[B_s^{(r)}的重复出现错误。]
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链接
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Madeline Beals-Reid,伯努利数中的二次关系《大学生研究水泵杂志》,6(2023),29-39。
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配方奶粉
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a(n)=分子(Sum_{k=0..n}(-1)^k*k/(k+1)*Sum_{j=0..n-k}C(n,j)*Stirling2(n-j,k)*B(j)),其中B(n)是伯努利数-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年6月2日
a(n)=分子(和{j=0..n}二项式(n,j)*伯努利(n-j)*贝努利(j))-法比安·佩雷拉2020年3月2日
a(n)=-分子(n*B(n-1)+(n-1-彼得·卢什尼2023年5月18日
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例子
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1, -1, 5/6, -1/2, 1/10, 1/6, -5/42, -1/6, 7/30, 3/10, -15/22, -5/6, 7601/2730, 691/210, -91/6, -35/2, 3617/34, 3617/30, -745739/798, -43867/42, ... =A100615号/A100616号.
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MAPLE公司
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S: =系列((x/(exp(x)-1))^2,x,41):
seq(数字(系数(S,x,j)*j!),j=0..40)#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日
#第二个程序:
a:=n->如果n=0,则1其他数字(-n*bernoulli(n-1)-(n-1
seq(a(n),n=0..33)#彼得·卢什尼2023年5月18日
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数学
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表[如果[n==0,1,-分子[n*BernoulliB[n-1]+(n-1)*BernowliB[n]],{n,0,33}](*彼得·卢什尼2023年5月18日*)
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黄体脂酮素
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(最大值)a(n):=总和((-1)^k*k/(k+1)*sum(二项式(n,j)*stirling2(n-j,k)*bern(j),j,0,n-k),k,0,n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年6月2日*/
(PARI)a(n)=分子(总和(j=0,n,二项式(n,j)*bernfrac(n-j)*bernfrac\\米歇尔·马库斯2020年3月3日
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交叉参考
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关键词
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签名,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 6, 2, 10, 6, 42, 6, 30, 10, 22, 6, 2730, 210, 6, 2, 34, 30, 798, 42, 330, 110, 46, 6, 2730, 546, 6, 2, 290, 30, 14322, 462, 510, 170, 2, 6, 54834, 51870, 6, 2, 4510, 330, 1806, 42, 690, 46, 94, 6, 46410, 6630, 66, 22, 530, 30, 798, 798, 174, 290, 118, 6, 56786730
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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参考文献
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F.N.David,《统计方法的概率论》,剑桥,1949年;见第103-104页。[B_s^{(r)}的重复出现错误。]
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链接
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配方奶粉
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a(n)=分母(和{j=0..n}二项式(n,j)*伯努利(n-j)*贝努利(j))-法比安·佩雷拉2020年3月2日
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例子
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1, -1, 5/6, -1/2, 1/10, 1/6, -5/42, -1/6, 7/30, 3/10, -15/22, -5/6, 7601/2730, 691/210, -91/6, -35/2, 3617/34, 3617/30, -745739/798, -43867/42, ... =A100615号/A100616号.
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MAPLE公司
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S: =系列((x/(exp(x)-1))^2,x,101):
seq(denom(系数(S,x,n)*n!),n=0..100)#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日
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数学
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=分母(总和(j=0,n,二项式(n,j)*bernfrac(n-j)*bernfrac\\米歇尔·马库斯2020年3月3日
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 2, 1, 6, 1, 6, 1, 30, 1, 6, 1, 210, 1, 6, 1, 30, 1, 42, 1, 330, 1, 6, 1, 2730, 1, 6, 1, 30, 1, 462, 1, 510, 1, 6, 1, 51870, 1, 6, 1, 330, 1, 42, 1, 690, 1, 6, 1, 46410, 1, 66, 1, 30, 1, 798, 1, 870, 1, 6, 1, 930930, 1, 6, 1, 510, 1, 966, 1, 30, 1, 66, 1, 1919190, 1, 6, 1, 30, 1, 42, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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这些是基于n的真除数的克劳森数,而经典的克劳森数字A160014型基于n的所有除数。(适当的除数是n的小于n的除数。)-彼得·卢什尼2022年8月20日
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MAPLE公司
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A089026号:=proc(n),如果是素数(n)则为n;其他1;结束条件:;结束进程:
#第二个程序,假设偏移量为0:
子句:=proc(n)如果irem(n,2)=1,则1其他numtheory[除数](n)减去{n};
地图(i->i+1,%);选择(i质数,%);mul(i,i=%)fi端:
seq(克劳森(n),n=0..79)#彼得·卢什尼2022年8月20日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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0, 0, 1, 1, 7, 1, 5, 1, 13, 1, 1, 1, 901, 1, -11, 1, 3647, 1, -43825, 1, 1222387, 1, -854507, 1, 1181821001, 1, -76977925, 1, 23749461059, 1, -8615841275543, 1, 28267510484519, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,5
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评论
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例子
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分数为0、0、1/6、1/4、7/30、1/6,5/42、1/8、13/90、1/10、1/66、1/12、901/2730。。。
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数学
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a[n_]:=如果[n<=2,0,分子[1/n-伯努利B[n-1]];
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黄体脂酮素
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(岩浆)
A181722号:=func<n|n le 2选择0 else分子(1/n-Bernoulli(n-1))>;
(SageMath)
定义A181722年(n) :如果n<3 else分子(1/n-bernoulli(n-1)),则返回0
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交叉参考
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关键词
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签名,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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1, -3, 3, 0, -27, 0, 243, 0, -2187, 0, 98415, 0, -122408577, 0, 11160261, 0, -51899996619, 0, 5664991530321, 0, -202943637014337, 0, 8938507796555139, 0, -22252066887294301257, 0, 7246946747292751629, 0, -181103830292539169071623
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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一般来说,数字B(d;n)=d^n*B(n),对于n>=0,有f.d*x/(exp(d*x)-1)。它们也是广义伯努利数B[d,a](n)与序列{(-a)^n}_{n>=0}的指数卷积。请参阅中的评论2017年1月17日对于B[4,1]和B[4,3]示例。
这些数字B(d;n)及其多项式B(d,n,x)=和{m=0..n}二项式=SP(1,0;k,m),n>=0,m>=0,并且0^0:=1。
Faulhaber公式为:SP(d,a;n,m)=(1/(d*(n+1))*[B(d;n+1,x=a+d*(m+1))-B(d;n+1,x=d)-B(d;n+1,x=a)+B(d;n+1,x=0)+d^(n+1)*[n=0]]。这里[n=0]是Kronecker delta_{n,0}符号:如果n=0,则为1,否则为0。
Faulhaber公式的一个更简单的版本是,对于A=0:SP(d,0;0,m)=m+1和SP(d、0;n,m)=d^n*(1/(n+1))*(B(n+1,x=m+1)-B(n/1,x=1)),对于n>=1的整数:和{k=0..n}二项式(n,k)*A^(n-k)*d^k*(1/(k+1)))*B(k+1,x=1))。这里B(n,x)=B(1;n,xA196838号/A196839号或A053382/A053383号.
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链接
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配方奶粉
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例如{r(n)}_{n>=0}:3*x/(exp(3*x)-1)。
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MAPLE公司
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seq(数字(3^n*bernoulli(n)),n=0..28)#彼得·卢什尼2017年7月17日
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数学
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表[分子[3^n*BernoulliB[n]],{n,0,100}](*因德拉尼尔·戈什2017年7月18日*)
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黄体脂酮素
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(Python)
来自sympy import bernoulli
定义a(n):返回(3**n*bernoulli(n)).numerator()
(PARI)a(n)=分子(3^n*bernfrac(n))\\路德·H·G·范托尔2024年1月31日
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交叉参考
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关键词
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签名,容易的,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 7, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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例子
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前几行的行积为:
1 = 1
2*1 = 2
2*3*1 = 6
1*1*1*1 = 1
2*3*5*1*1 = 30
1*1*1*1*1*1 = 1
2*3*1*7*1*1*1 = 42
1*1*1*1*1*1*1*1 = 1
2*3*5*1*1*1*1*1*1 = 30
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MAPLE公司
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T: =(n,k)->(p->`如果`(irem(denom(bernoulli(n),p)=0,p,1))(ithprime(k)):
seq(seq(T(n,k),k=1..n+1),n=0..20)#阿洛伊斯·海因茨2017年8月27日
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数学
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表[{p=Prime@k},pBoole[Divisible[Denominator@BernoulliB[n-1],p]]/。0->1,{n,14},{k,n}]//展平(*迈克尔·德·维利格2017年8月27日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)tabl(nn)={对于(n=0,nn,dbn=分母(bernfrac(n));对于(k=1,n+1,如果(!(dbn%质数(k)),w=质数(k),w=1);print1(w,“,”););}\\米歇尔·马库斯2017年8月27日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 2, 12, 3, 120, 5, 252, 7, 240, 9, 660, 11, 32760, 13, 84, 15, 8160, 17, 14364, 19, 6600, 21, 3036, 23, 65520, 25, 156, 27, 24360, 29, 429660, 31, 16320, 33, 204, 35, 69090840, 37, 228, 39, 541200, 41, 75852, 43, 30360, 45, 12972, 47, 2227680, 49, 3300, 51, 82680
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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链接
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配方奶粉
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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0, 1, 5, 1, 31, 1, 41, 1, 31, 1, 61, 1, 3421, 1, -1, 1, 4127, 1, -43069, 1, 174941, 1, -854375, 1, 236366821, 1, -8553097, 1, 23749461899, 1, -8615841261683, 1, 7709321041727, 1, -2577687858361, 1, 26315271553055396563, 1, -2929993913841553, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,3
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评论
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(分数中没有要取消的公因数。)
1-Bernoulli(n)的分子从0、3、5、1、31……开始。。。仅在n=1时与此序列不同。
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链接
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配方奶粉
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a(2n+1)=1。
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例子
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有理数r(n)开始于:0,1/2,5/6,1,31/30,1,41/42,1,31.30,1,61/66,1,3421/2730,1-沃尔夫迪特·朗2017年8月7日
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MAPLE公司
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A165226号:=proc(n),如果n=1,则1+bernoulli(n);其他1-bernoulli(n);结束条件:;数字(%);结束进程:#R.J.马塔尔2011年1月16日
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交叉参考
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关键词
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压裂,容易的,签名
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作者
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状态
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经核准的
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1, 4, 36, 1, 900, 1, 1764, 1, 900, 1, 4356, 1, 7452900, 1, 36, 1, 260100, 1, 636804, 1, 108900, 1, 19044, 1, 7452900, 1, 36, 1, 756900, 1, 205119684, 1, 260100, 1, 36, 1, 3683290256100, 1, 36, 1, 183060900, 1, 3261636, 1, 476100, 1, 79524, 1, 2153888100, 1, 4356, 1, 2528100
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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配方奶粉
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黄体脂酮素
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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