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| A055151号 |
| Motzkin多项式系数的三角形阵列。 |
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21
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1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 10, 10, 1, 15, 30, 5, 1, 21, 70, 35, 1, 28, 140, 140, 14, 1, 36, 252, 420, 126, 1, 45, 420, 1050, 630, 42, 1, 55, 660, 2310, 2310, 462, 1, 66, 990, 4620, 6930, 2772, 132, 1, 78, 1430, 8580, 18018, 12012, 1716, 1, 91, 2002, 15015, 42042
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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T（n，k）=长度为n且步长为k的Motzkin路径数。T（n，k）=具有n条边和k+1片叶子的0-1-2棵树的数量，n>0。（0-1-2树是一种有序树，其中每个顶点最多有两个子节点。）例如，T（4,1）=6，因为我们有UDHH、UHDH、UHHD、HHUD、HUHD、HUDH，其中U=（1,1）、D（1，-1）、H（1,0）-Emeric Deutsch公司2003年11月30日
x/（1+H*x+U*D*x^2）与H（1,0）为H颜色、U（1,1）为U颜色、D（1，-1）为D颜色的Motzkin路径对应的级数反演系数-保罗·巴里2005年5月16日
也等于n+1的231个无效置换的数量，其中下降（w）=峰值（w）=k，其中下降量（w）是位置i的数量，使得w[i]>w[i+1]，峰值（w。例如，T（4,1）=6，因为13245、12435、14235、12354、12534、15234是5个元素的唯一231个无效排列，下降（w）=峰值（w）=1-凯尔·彼得森2013年8月2日
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参考文献
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Miklos Bona，《枚举组合数学手册》，CRC出版社（2015），第617页，推论10.8.2
T.K.Petersen，《欧拉数字》，Birkhauser，2015年，第4.3节。
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链接
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N.Alexeev、J.Andersen、R.Penner和P.Zograf，多个区间和弦图的枚举及其不定向类比，arXiv:1307.0967[math.CO]，2013-2014年。
马塞洛·阿蒂奥利（Marcello Artioli）、朱塞佩·达托利（Giuseppe Dattoli）、西尔维娅·利奇亚迪（Silvia Licciardi）和西蒙内塔·帕格努蒂（Simonetta Pagnutti），Motzkin数：一种操作观点，arXiv:1703.07262[math.CO]，2017年。
科林·德凡特，后期订单前置图像，arXiv预印本arXiv:1604.01723[math.CO]，2016。
托马斯·格拉布和弗雷德里克·拉贾塞卡兰，设置分区模式和维度索引，arXiv:2009.00650[math.CO]，2020年。提到这个序列。
E.Marberg，集合分区上的操作和标识，arXiv预印本arXiv:1107.4173[math.CO]，2011-2012。
A.Postnikov、V.Reiner和L.Williams，广义置换面，arXiv:math/0609184[math.CO]，2006-2007年。
塔德·怀特，配额树，arXiv:2401.01462[math.CO]，2024。见第20页。
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公式
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例如，行多项式R（n，y）:exp（x）*BesselI（1,2*x*sqrt（y））/（x*sqrt（y））-弗拉德塔·约沃维奇2003年8月20日
G.f.行多项式R（n，y）：2/（1-x+sqrt（（1-x）^2-4*y*x^2））。
行多项式R（n，x）=Sum_{k=0..n}T（n，k）*x^k开始R（0，x）=1，R（1，x）=1，R（2，x）＝1+x，R（3，x）=3*x。它们与Narayana多项式n（n，x）：=Sum_{k=1..n}（1/n）*C（n，k）*C）^2）=n（n+1，x）。例如，对于n=3，x*（1+x）^3*（1+3*x/（1+x）^2）=x+6*x^2+6*x*^3+x^4，是第四个Narayana多项式。
递归关系：（n+2）*R（n，x）=（2*n+1）*R。（结束）
G.f.：M（x，y）满足：M（x，y）=1+x M（x、y）+y*x^2*M（x和y）^2-杰弗里·克雷策2014年2月5日
O.g.f.：[1-x-sqrt[（1-x）^2-4tx^2]/（2tx^2），从关系到A107131号.
经过重新归纳和签名，这个三角形给出了以下斐波那契多项式的移位o.g.f.的合成逆的行多项式A011973号，x/[1-x-tx^2]=x+x ^2+（1+t）x ^3+（1+2t）x ^4+。（结束）
行多项式为P（n，x）=（1+b.y）^n=和{k=0到n}二项式（n，k）b（k）y^k=y^n M（n，1/y），其中b（k=A126120号（k） ，y=sqrt（x）和M（n，y）是A097610号. -汤姆·科普兰，2016年1月29日
多项式的系数p（n，x）=超几何（[（1-n）/2，-n/2]，[2]，4x）-彼得·卢什尼2018年1月23日
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示例
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不规则三角形T（n，k）开始于：
n\k 0 1 2 3 4 5。。。
0: 1
1: 1
2: 1 1
3: 1 3
4: 1 6 2
5: 1 10 10
6: 1 15 30 5
7: 1 21 70 35
8: 1 28 140 140 14
9: 1 36 252 420 126
10: 1 45 420 1050 630 42
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MAPLE公司
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b： =proc（x，y）选项记忆；
`if`（y>x或y<0，0，`if`（x=0，1，展开(
b（x-1，y）+b（x-1，y+1）+b（x 1，y-1）*t））
结束时间：
T： =n->（p->seq（系数（p，T，i），i=0..度（p）））（b（n，0））：
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数学
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m=（1-x-（1-2x+x^2-4x^2y）^（1/2））/（2x^2 y）；Map[Select[#，#>0&]&，CoefficientList[Series[m，{x，0，15}]，{x，y}]//网格(*杰弗里·克雷策2014年2月5日*）
p[n]：=超几何2F1[（1-n）/2，-n/2，2，4 x]；表[系数列表[p[n]，x]，{n，0，13}]//展平(*彼得·卢什尼2018年1月23日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||2*k>n，0，n！/（（n-2*k）！*k！*（k+1）！）}
（PARI）｛T（n，k）=如果（k<0||2*k>n，0，polcoeff（polcoeff（2/（1-x+sqrt（（1-x）^2-4*y*x^2+x*O（x^n））），n），k）｝/*迈克尔·索莫斯2006年2月14日*/
（PARI）{T（n，k）=n++；如果（k<0||2*k>n，0，polceoff（polceof（serreverse（x/（1+x+y*x^2）+x*O（x^n）），n），k））}/*迈克尔·索莫斯2006年2月14日*/
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交叉参考
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囊性纤维变性。A125181号,A134264号,A088617号,A161642号,A258820型,A003989号,A008315号,A091156美元,A011973号,A097610号,A126120号.
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关键词
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非n,标签,容易的
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作者
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状态
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已批准
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