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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
邮编:A196837 正整数部分幂和的o.g.f.s分子多项式系数表。 13
2、2、2、3、3、-12、11、4、-30、70、-50、5、-60、255、-450、274、6、-105、700、-2205、3248、-1764、7、-168、1610、7840、20370、26264、13068、8、-2523276、3276、22680、89796的22680,89796,-201852,236248,109584,9,-360,60 90,-56700,316365,316365,1077300,21 71040,235400,1026576,10,-495,10560,127050560,946638,451027575,136676767677225225228500,25285228500,2528500,2528500,2528500,2528500,2528507152号,-10628640号 (列表;桌子;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

在数组中,正整数的k次幂具有部分和和和{j=1..n}j^k,列号n>=1A103438号(不在三角形中;请参阅此处给出的示例数组;注意,0^0已设置为0)。

数组的列数n>=1的o.g.fA103438号是通过拉普拉斯变换从e.g.f.中获得的

exp(x)*(exp(n*x)-1)/(exp(x)-1)=和{j=1..n}exp(j*x)

(总和是e.g.f.是微不足道的)。

因此,o.g.f.是Sum{j=1..n}1/(1-j*x),它被重写为P(n,x)/乘积{j=1..n}(1-j*x)。这定义了当前三角形的行多项式P(n,x)。有关详细信息,请参阅链接。

这种e.g.f.-o.g.f.联系通过西蒙·普劳夫. 参见o.g.f.Maple程序,例如。,A001551号(n=4)和A001552号(n=5)。

这个三角形用斯特林2数的第n列来组织前n个正整数的幂和A048993号(参见下面给出的公式和示例以及链接)。

狼牙2011年10月12日:(开始)

用下面给出的公式,我们可以找到n>=1,k>=0,和{j=1..n}j^k=

和{m=0..min(k,n-1)}((n-m)*S1(n+1,n-m+1)*S2(k+n-m,n)),

从斯特林数字S1A048994号和S2来自A048993号(这个公式我在文献中还没有找到)。请参阅链接以获取证据。

对于用斯特林2数的第k行和n中的二项式表示前n个正整数的k次幂和的另外两个公式,请参见下面给出的D.E.Knuth参考A093556号,第页。285

另请参阅下面给定的链接,等式。(11) 和(12)。

(结束)

链接

n=1..55的n,a(n)表。

沃尔夫迪特·朗,证明与前15行多项式

公式

a(n,m)=[x^m]P(n,x),m=0..n-1,行多项式由

(Sum{j=1..n}1/(1-j*x))*乘积{j=1..n}(1-j*x)(见上面给出的注释)。

和{j=1..n}j^k=Sum{m=0..n-1}a(n,m)*S2(k+n-m,n),n>=1,k>=0,带Stirling2三角形A048993号.

狼牙2011年10月12日:(开始)

因此,行多项式P(n,x)为

和{j=1..n}(乘积{k=1..n省略k=j}(1-k*x)),n>=1。这导致:

数字S1-1>=有符号的(1-1>=1-n)A048994号. 有关证据,请参阅链接。

(结束)

类似的多项式出现在1/(n+x)^2的展开式中,分母为阶乘:1/(n+x)^2=-Sum{k>=1}n/(k+1)P(k,1/x)x^(k-1)-马特·马吉奇2019年11月1日

例子

n\m 0 1 2 3 4 5。。。

11

2 2-3个

3 3-12 11

4 4-30 70-50

5 5-60 255-450 274

6 6-105 700-2205 3248-1764

...

n=4个(A001551号=2个*邮编:A196836):行多项式分解为2*(2-5*x)*(1-5*x+5*x^2)。

n=5:1^k+2^k+3^k+4^k+5^k,k>=0(A001552号)以Sum{j=1..5}exp(j*x)表示。o.g.f.是

和{j=1..5}1/(1-j*x),这是

(5-60*x+255*x^2-450*x^3+274*x^4)/产品{j=1..5}(1-j*x)。

n=6个(A001553号):行多项式分解为

(2-7*x)*(3-42*x+203*x^2-392*x^3+252*x^4)。

前n个正整数的幂和用S2表示:

n=4:A001551号(k) =4*S2(k+4,4)-30*S2(k+3,4)+70*S2(k+2,4)-50*S2(k+1,4),k>=0。E、 克,k=3:4*350-30*65+70*10-50*1=100=A001551号(3) 一。

狼牙2011年10月12日:(开始)

n=3的行多项式:P(3,x)=(1-2*x)*(1-3*x)+(1-1*x)*(1-3*x)+(1-1*x)*(1-2*x)=3-12*x+11*x^2。

a(3,2)=+(西格玛2(2,3)+西格玛2(1,3)+西格玛2(1,2))=

2*3+1*3+1*2=11=+1*西格玛2(1,2,3)=+1*| S1(4,4-2)|。

S1,S2 n=4,k=3的幂和公式:

A001551号(3) =和{j=1..n}j^3=1*4*350-3*10*65+2*35*10-1*50*1=100。

(结束)

数学

a[n,m_u]:=(n-m)*斯特林1[n+1,n+1-m];展平[表[a[n,m],{n,1,10},{m,0,n-1}]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2011年12月2日,之后狼牙*)

交叉引用

囊性纤维变性。A103438号,A093556号/A093557型(用于权力总和)。

上下文顺序:A287428 A232933号 A303700型*A275212 A127003号 A211673号

相邻序列:邮编:A196834 邮编:A196835 邮编:A196836*邮编:A196838 邮编:A196839 A196840号

关键字

签名,容易的,

作者

狼牙2011年10月10日

状态

经核准的

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