搜索: a111106-编号:a111106
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1、1、2、6、26、158、1282、13158、163354、2374078、39456386、737125446、15279024026、347786765150、8621313613954、231139787526822、6663177374810266、205503866668090750、6751565903597571842
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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配方奶粉
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双阶乘的INVERT变换(A001147号),右移了一个位置,其中g.f.A(x)满足:A(x)=1+x*[d/dx x*A(x,^2]/A(x)^2。
G.f.A(x)满足:A(x)=1+x+2*x^2*[d/dx A(x)]/A(x)(对数导数)。
通用公式:A(x)=1+x+2*x^2/(续分数)。
G.f.:A(x)=1/(1-x/(1-1*x/(1-2*x/。
a(n+1)的g.f.为1/(1-2x/(1-x/(1~4x/(1-3×/(1-6x/(1-……)(连分数))。
a(n)是M^n中的左上项,M=生产矩阵:
1, 1;
1, 1, 2;
1, 1, 2, 3;
1, 1, 2, 3, 4;
1, 1, 2, 3, 4, 5;
…(结束)
另一个生产矩阵Q是:
1, 1, 0, 0, 0, ...
1, 0, 3, 0, 0, ...
1, 0, 0, 5, 0, ...
1, 0, 0, 0, 7, ...
...
序列是通过提取Q的幂的左上项生成的。通过提取Q^n的顶行,我们得到了一个三角形,其序列位于左列,行和=(1,2,6,26,158,…):(1),(1,1),,(2,1,3),(6,2,3,15),(26,6,6,15,105)。。。(结束)
如果n>1,a(n)=(2*n-1)*a(n-1)-和{k=1..n-1}a(k)*a-迈克尔·索莫斯2011年7月23日
G.f.1/(G(0)-x),其中G(k)=1-x*(k+1)/G(k+1)。
G.f.1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1-x*(k+1)/G(k+1)。
通用公式:A(x)=1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1+(2*k+1)*x-x*(2*k+2)/G(k+1)。
G.f.:Q(0),其中Q(k)=1-x*(2*k-1)/(1-x*(2%k+2)/Q(k+1))。
G.f.:2/G(0),其中G(k)=1+1/(1-x/(x+1/(2*k-1)/G(k+1)))。
G.f.:3*x-G(0),其中G(k)=3*x-2*x*k-1-x*(2*k-1)/G(k+1)。
一般公式:1+x*Q(0),其中Q(k)=1-x*(2*k+2)/(x*(2%k+2。(结束)
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示例
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A(x)=1+x+2*x^2+6*x^3+26*x^4+158*x^5+1282*x^6+。。。
1/A(x)=1-x-x^2-3*x^3-15*x^4-105*x^5--A001147号(n) *x^(n+1)-。。。
a(4)=a(3+1)=Sum_{k=0..3}a(k)*A001147号(3-k)=a(0)*5!!+a(1)*3!!+a(2)*1+a(3)*1=1*15+1*3+2*1+6*1=26-迈克尔·波特2016年7月22日
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MAPLE公司
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a_list:=进程(len)局部a,n;A[0]:=1;A[1]:=1;
对于从2到len-1的n,做A[n]:=(2*n-1)*A[n-1]-加(A[j]*A[n-j],j=1..n-1)od;
convert(A,list)end:A_list(19)#彼得·卢什尼2017年5月22日
#备选方案:
T:=proc(n,k)选项记忆;如果k=0,则为1;如果k=n,则为T(n,k-1)
else(n-k)*T(n,k-1)+T(n-1,k)fi-fi结束:
a:=n->T(n,n):seq(a(n),n=0..18)#彼得·卢什尼2023年10月2日
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数学
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a[0]=1;a[n_]:=a[n]=和[a[k]*(2n-2k-3)!!,{k,0,n-1}];表[a[n],{n,0,19}](*罗伯特·威尔逊v,2005年10月12日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=局部(F=1+x+x*O(x^n));对于(i=1,n,F=1+x2*x^2*导数(F)/F);返回(polcoeff(F,n,x))}
(PARI){a(n)=局部(a);如果(n<1,n==0,a=向量(n);a[1]=1;对于(k=2,n,a[k]=(2*k-1)*a[k-1]-和(j=1,k-1,a[j]*a[k]);a[n])}/*迈克尔·索莫斯2011年7月23日*/
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A111146号
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| 三角形T(n,k),按行读取,由[0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,…]DELTA[1,1,0A084938号. |
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+10 14
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1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 4, 0, 0, 2, 5, 8, 0, 0, 6, 15, 17, 16, 0, 0, 24, 62, 68, 49, 32, 0, 0, 120, 322, 359, 243, 129, 64, 0, 0, 720, 2004, 2308, 1553, 756, 321, 128, 0, 0, 5040, 14508, 17332, 11903, 5622, 2151, 769, 256, 0, 0, 40320, 119664
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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设R(m,n,k),0<=k<=n,Riordan数组(1,x*g(x)),其中g(x)是m重阶乘的g.f。然后求和{k,0<=k<=n}=R(m,n,k)=Sum{k,0<=k<=n}T(n,k)*m^(n-k)。
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链接
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配方奶粉
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和{k,0<=k<=n}(-1)^(n-k)*T(n,k)=A000045号(n+1),斐波那契数。
和{k,0<=k<=n}2^(n-k)*T(n,k)=A112934号(n) ●●●●。
T(0,0)=1,T(n,n)=2^(n-1)。
G.f.:A(x,y)=1/(1-x*y*Sum_{j>=0}(y-1+j)/(y-1)*x ^j)-保罗·D·汉纳2005年10月26日
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示例
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三角形开始:
.1;
.0, 1;
.0, 0, 2;
.0, 0, 1, 4;
.0、0、2、5、8;
.0, 0, 6, 15, 17, 16;
.0, 0, 24, 62, 68, 49, 32;
.0、0、120、322、359、243、129、64;
.0, 0, 720, 2004, 2308, 1553, 756, 321, 128;
.0, 0, 5040, 14508, 17332, 11903, 5622, 2151, 769, 256;
.0, 0, 40320, 119664, 148232, 105048, 49840, 18066, 5756, 1793, 512;
....................................................................
当y=2:Sum_{k=0..n}2^k*T(n,k)时=A113327号(n) 其中(1+2*x+8*x^2+36*x^3++A113327号(n) *x^n+..)=1/(1-2/1!*x*(1!+2!*x+3!*x2+4!*x^3+..))。
当y=3:Sum_{k=0..n}3^k*T(n,k)=A113328号(n) 其中(1+3*x+18*x^2+117*x^3++A113328号(n) *x^n+..)=1/(1-3/2!*x*(2!+3!*x+4!*x2+5!*x^3+..))。
当y=4:Sum_{k=0..n}4^k*T(n,k)=A113329号(n) 其中(1+4*x+32*x^2+272*x^3++A113329号(n) *x^n+..)=1/(1-4/3!*x*(3!+4!*x+5!*x2+6!*x^3+..))。
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数学
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T[n_,k_]:=模[{x=x+x*O[x]^n,y=y+y*O[y]^k},A=1/(1-x*y*Sum[x^j*积[y+i,{i,0,j-1}],{j,0,n}]);系数[系数[A,X,n],Y,k]];
表[T[n,k],{n,0,10},{k,0,n}]//展平(*让-弗朗索瓦·奥尔科弗2019年5月26日,PARI*)
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黄体脂酮素
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(PARI){T(n,k)=局部(x=x+x*O(x^n),y=y+y*O(y^k));A=1/(1-x*y*sum(j=0,n,x^j*prod(i=0,j-1,y+i)));返回(polceoff(polcoff(A,n,x),k,y))}(Hanna)
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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113129英镑
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| 与k次阶乘卷积相关的多项式P_n(x)系数的三角T(n,k),0≤k≤n。 |
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1, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 6, 0, 0, 0, 10, 24, 0, 0, 0, 4, 82, 120, 0, 0, 0, 0, 84, 672, 720, 0, 0, 0, 0, 27, 1236, 5820, 5040, 0, 0, 0, 0, 0, 930, 16328, 54288, 40320, 0, 0, 0, 0, 0, 248, 20850, 211080, 548496, 362880, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 12452, 396528, 2775432
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设R(m,n,k),0<=k<=n,Riordan数组(1,x*g(x)),其中g(x)是m重阶乘的g.f。则R(m,n,k)=R(m、n-1,k-1)+和{j,0<=j<=n-1-k}R(m;n-1,k+j)*P_m(j),R(m),n,0)=0^n,如果k>n,R(m,0,k)=0。
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链接
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配方奶粉
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P_0(x)=1,P_1(x。
P_n(x)=和{k,0<=k<=n}T(n,k)*x^k。
T(2*n+1,n+1)=A000699号(n+1)(具有2n+2个节点的不可约图的数量)。
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示例
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三角形开始:
.1;
.0, 1;
.0, 0, 2;
.0, 0, 1, 6;
.0, 0, 0, 10, 24;
.0, 0, 0, 4, 82, 120;
.0, 0, 0, 0, 84, 672, 720;
.0, 0, 0, 0, 27, 1236, 5820, 5040;
.0, 0, 0, 0, 0, 930, 16328, 54288, 40320;
.0,0,0,0,0,0,248,20850,211080,548496,362880;
.0, 0, 0, 0, 0, 0, 12452, 396528, 2775432, 6003360, 362880;
.0, 0, 0, 0, 0, 0, 2830, 38732, 7057308, 37831752, 71019360, 39916800;
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作者
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经核准的
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1, 1, 3, 17, 155, 2025, 34819, 743329, 18937707, 560071193, 18844479635, 710440531665, 29654234779771, 1357326276747721, 67589738142784803, 3637403230889380097, 210358430818676801675, 13009719599952748481145
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配方奶粉
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通用公式:1/(1-x-2x^2/(1-6x-24x^2/-(1-14x-80x^2//(1-22x-168x^2/(1-30x-288x^2)/(1-……(连分数))。
a(n)=M^n的左上项,M=无限平方生产矩阵,如下所示:
1, 1, 0, 0, 0, 0, ...
2, 2, 2, 0, 0, 0, ...
4, 4, 4, 4, 0, 0, ...
6, 6, 6, 6, 6, 0, ...
8, 8, 8, 8, 8, 8, ...
...
G.f.A(x)=1+x/(G(0)-x),其中G(k)=1-x*(2*k+2)/G(k+1));(连续馏分,1步)-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年10月28日
a(n)~2^(2*n-3/2)*n^(n-1)/exp(n)-瓦茨拉夫·科特索维奇2024年1月23日
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数学
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nmax=20;系数列表[1+x*系列[1/(1-x+连续分数k[-2*k*x,1,{k,1,nmax}]),{x,0,nmax{],x](*瓦茨拉夫·科特索维奇,2024年1月23日*)
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容易的,非n
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