外径:A(x)=1+x+2*x^2+8*x^3+52*x^4+464*x^5+5184*x^6+。。。
其中A(x)=x/系列_翻转(x+x^2+3*x^3+15*x^4+105*x^5+945*x^6+…)
因此
A(x)=1+x/A(x)+3*x^2/A(x。。。
初始术语说明:
a(2)=2;
a(3)=2*2^2=8;
a(4)=2*3*8+1*2*2=52;
a(5)=2*4*52+1*2*8+2*8*2=464;
a(6)=2*5*464+1*2*52+2*8*8+3*52*2=5184。。。
为了说明公式:[x^(n+1)]A(x)^n=2*n*([x^n]A(x^n)^n),请在A(x)^n中形成x^k的系数表:
n=1:[1、1、2、8、52、464、5184、68928、1057584…];
n=2:[1、2、5、20、124、1064、11568、150912、2283888…];
n=3:[1、3、9、37、222、1836、19412、248256、3703536…];
n=4:[1、4、14、60、353、2824、29032、363696、5345040…];
n=5:[1、5、20、90、525、4081、40810、500480、7241460…];
n=6:[1、6、27、128、747、5670、55205、662460、9431172…];
n=7:[1、7、35、175、1029、7665、72765、854197、11958758…];
n=8:[1、8、44、232、1382、10152、94140、1081080、14876033…]。。。
然后我们可以看到对角线是以如下方式关联的:
[2, 20, 222, 2824, 40810, 662460, 11958758, ...]
= [2*1, 4*5, 6*37, 8*353, 10*4081, 12*55205, 14*854197, ...].
另外,对角线
[1, 5, 37, 353, 4081, 55205, 854197, 14876033, ...]
是双阶乘的g.f.的对数导数。
此外,上表中的主对角线等于:
[1, 2*1, 3*3, 4*15, 5*105, 6*945, 7*10395, 8*135135, ...].
(结束)
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