搜索： a079611-编号：a079611-
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1, 4, 7, 16, 18, 27, 36, 42, 55, 63, 70, 79, 87, 95, 103, 112, 120, 129, 138, 146
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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1996年，这些值被列为A079611号Eric Weisttein以前的网页www.gps.caltech.edu/~eww/math/wnode21.html。
仅因历史原因纳入。
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链接
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交叉参考
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关键词
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死去的
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作者
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经核准的
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A002804号
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| （假定）Waring问题的解决方案：g（n）=2^n+floor（（3/2）^n）-2。
（原名M3361 N1353）
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1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, 2102137, 4201783, 8399828, 16794048, 33579681, 67146738, 134274541, 268520676, 536998744, 1073933573, 2147771272, 4295398733, 8590581749
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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g（n）是最小的数s，使得每个自然数最多是自然数的s次幂之和。
众所周知（Kubina和Wunderlich，1990），g（n）=2^n+floor（（3/2）^n）-2代表所有n<=471600000。这个公式被推测对所有n都是正确的（见A174420号).
马勒表明，只有有限多的n是这个公式失败的-山田友弘2017年9月23日
这个序列（对应于Waring的原始猜想）比A079611号对于几乎所有（=足够大的）整数，寻找最小s=G（n）的问题。参见维基百科的一行证明，这个g（n）的值，由J.a.Euler在1772年推测，确实是一个下界；已知2^n*frac（（3/2）^n）+floor（（3/2）^ n）<=2^n是紧的，且此不等式没有反例-M.F.哈斯勒2014年6月29日
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参考文献
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卡尔文·C·克劳森（Calvin C.Clawson），《数学的奥秘：数字的美丽和魔力》（1996年基础图书）252-257。
G.H.Hardy，《论文集》。Vols公司。1-，牛津大学出版社，1966-；见第一卷，第668页。
G.H.Hardy和E.M.Wright，《数论导论》。第三版，牛津大学出版社，1954年，第337页。
S.Pillai，《关于Waring问题》，《印度数学杂志》。《社会学杂志》，第2期（1936年），第16-44页
J.Roberts，《整数的诱惑》，数学。美国协会，1992年，第138页。
P.Ribenboim，《素数记录簿》。Springer-Verlag，纽约州，第二版，1989年，第239页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
R.C.Vaughan和T.D.Wooley，《Waring的问题：一项调查》，第285-324页，《数论调查》（Urbana，2000年5月21日），编辑M.a.Bennett等人，彼得斯，2003年。
爱德华·沃林（Edward Waring），《代数冥想师》（Meditationes algebraicae），坎塔布里亚：典型的学院除外J.大主教，1770年。
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链接
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Brennan Benfield和Oliver Lippard，不是正幂和的整数，arXiv:2404.08193[math.NT]，2024。
A.V.Kumchev和D.I.Tolev，加法数论邀请函，arXiv:math/0412220[math.NT]，2004年。
拉明·塔克鲁-比哈什，几何呢？，《毕达哥拉斯数论导论》，《数学本科生教材》，查姆斯普林格，2018，165-185。
米歇尔·沃尔德施米特，开放丢番图问题，arXiv:math/0312440[math.NT]，2003-2004。
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MAPLE公司
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数学
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a[n_]：=2^n+楼层[（3/2）^n]-2；数组[a，31](*罗伯特·威尔逊v2013年10月29日*）
x[n]：=-（1/2）+（3/2）^n+ArcTan[Cot[（3/2，^n Pi]]/Pi；a[n]：=2^n+x[n]-2；数组[a，31](*弗雷德·丹尼尔·克莱恩2018年1月11日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）[2^n+楼层（（3/2）^n）-2:n in[1..40]]//文森佐·利班迪2015年8月15日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,改变
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作者
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经核准的
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47, 62, 63, 77, 78, 79, 127, 142, 143, 157, 158, 159, 207, 222, 223, 237, 238, 239, 287, 302, 303, 317, 318, 319, 367, 382, 383, 397, 398, 399, 447, 462, 463, 477, 478, 479, 527, 542, 543, 557, 558, 559, 607, 622, 623, 687, 702, 703, 752, 767, 782, 783
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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序列中有96个成员，最大的是13792个，参见Deshouillers等人的参考文献。
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链接
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J.-M.Deshouillers、K.Kawada和T.D.Wooley，关于十六个二象限的和，梅姆。社会数学。法国巴黎，2005年。
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例子
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62是17个4次方的总和，不少于17个，所以62是一个成员。
63是18个第四权力的总和，不少于18个，所以63是一个成员，尽管它不是A046048号.
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数学
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关键词
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非n,完成,满的,美好的
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作者
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a（25）由368更改为367T.D.诺伊2006年9月7日
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状态
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经核准的
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174406年
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| a（n）=最小的数字u，几乎每个数字都是正数的n次方之和。 |
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评论
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Waring问题的变体。
“几乎所有”意味着例外情况的密度为零。
序列中只有三个其他值已知：a（8）=32、a（16）=64和a（32）=128。Vaughan和Wooley引用的调查表明，G_1（8）=32、G_1。未评估G_1（5）数量，也未评估G_1（6）和G_（7）数量-大卫·科弗特2016年6月29日
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链接
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R.C.Vaughan和T.D.Wooley，Waring的问题：一项调查《千年数论》，第三卷（伊利诺伊州乌尔班纳，2000年），A K Peters，马萨诸塞州纳蒂克，2002年，第301-340页。
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关键词
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非n,坚硬的,更多
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作者
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状态
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经核准的
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1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）最多为4，因为任何数字都可以写成4个平方和（拉格朗日定理），但对于足够大的n，a（n。
a（n）<=a（i）+a（n-i），对于1<=i<=n-1。（为了便于计算，可以选择i的最大值作为楼层（n/2））。a（1991）=4。对于1992年<=k<=20000，没有k使得a（k）=4-大卫·A·科内斯，2016年6月24日[下一个k是25887，参见A113505型-瓦茨拉夫·科特索维奇，2016年6月25日]
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链接
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例子
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a（31）=2，因为31可以写成两个幂的和（31=3^3+2^2=27+4），但不少于两个完全幂。
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数学
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nn=72；t=选择[Range@nn，#==1||GCD@@FactorInteger[#][[All，2]]>1&]；表[Min@Map[Length，Select[Integer Partitions@n，AllTrue[#，MemberQ[t，#]&]&]]，{n，nn}](*迈克尔·德弗利格2016年6月23日之后蚂蚁王在A001597年*)
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黄体脂酮素
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（PARI）列表a（n）={my（v=向量（n））；对于（i=2，sqrtint（n），对于（j=2，logint（n，i），v[i^j]=1）；v[1]=1；v[2]=2；对于（i=3，#v，如果（v[i]=0，v[i]=vecmin（向量（i\2，k，v[k]+v[i-k]）））；v}\\大卫·A·科内斯2016年6月24日；已由更正彼得·肖恩2022年6月9日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A287286号
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| a（n）=最小整数s，使得任意t的整数环modt的每个元素都可以写成s的n次幂之和。 |
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1, 4, 4, 15, 5, 9, 4, 32, 13, 12, 11, 16, 6, 14, 15, 64, 6, 27, 4, 25, 24, 23, 23, 32, 10, 26, 40, 29, 29, 31, 5, 128, 33, 10, 35, 37, 9, 9, 39, 41, 41, 49, 12, 44, 15, 47, 10, 64, 13, 62, 51, 53, 53, 81, 60, 56, 14, 59, 5, 61, 11, 12, 63, 256, 65, 67, 12, 68, 69, 71, 6, 73, 16, 74, 75, 16, 14, 84
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1、2
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评论
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只需检查有限数量的值（取决于功率）。
有关精确的定量信息，请参阅参考文献中的Small论文。
a（2）<=4遵循拉格朗日四平方定理。
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参考文献
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G.H.Hardy和J.E.Littlewood，“数值分区”的一些问题（VIII）：Waring问题中的数字Gamma（k），Proc London Math Soc.28（1928），518-542。[G.H.Hardy，《论文集》，第1-卷，牛津大学出版社，1966-；见第1卷，第406-530页。]
Wladyslaw Narkiewicz，《20世纪的有理数理论：从PNT到FLT》，施普林格科学与商业媒体，2011年，第154-155页。
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链接
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R.C.Vaughan和T.D.Wooley，Waring的问题：一项调查《千年数论》，第三卷（伊利诺伊州乌尔班纳，2000年），A K Peters，马萨诸塞州纳蒂克，2002年，第301-340页。
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例子
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a（3）<=4表示每个整数环modm的每个元素都可以写成4个（或更少）立方体的和。a（3）>=4，因为在Z/9Z中，立方体是{0,1,8}，所以4不是Z/9Z任何三个立方体的和。因此a（3）=4。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A018886号
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| Waring的问题：当表示为正n次幂和时，最小正整数需要最大项数。 |
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1、7、23、79、223、703、2175、6399、19455、58367、176127、528383、1589247、4767743、14319615、42991615、129105919、387186687、1161822207、3486515199、10458497023、31377588223、94136958975、282427654143、847282962431、2541815332863
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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a（n）=（Q-1）*（2^n）+（2^n-1）*（1^n）是Q+2^n-2项之和，Q=trunc（3^n/2^n）。
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参考文献
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G.H.Hardy和E.M.Wright，《数字理论导论》，第5版，牛津大学出版社，1979年，第393页。
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链接
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P.Pollack，解析和组合数论课程笔记，练习7.1.1。第277页。
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配方奶粉
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例子
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a（3）=23=16+7=2*（2^3）+7*（1^3）是9个立方体的总和；
a（4）=79=64+15=4*（2^4）+15*（1^4）是19个二次方的和。
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MAPLE公司
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2^n*层（（3/2）^n）-1
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数学
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a[n_]：=-1+2^n*楼层[（3/2）^n]
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黄体脂酮素
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（Python）
定义a（n）：返回（3**n//2**n-1）*2**n+（2**n-l）
打印（[a（n）代表范围（1，27）中的n]）#迈克尔·布拉尼基2021年12月17日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A040004号
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| a（n）=最小整数s，这样对于所有i，所有素数p和所有m都是同余（x_1）^n+…+（x_s）^n==m（mod p^i）有一个本原解。 |
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1, 4, 4, 16, 5, 9, 4, 32, 13, 12, 11, 16, 6, 14, 15, 64, 6, 27, 4, 25, 24, 23, 23, 32, 10, 26, 40, 29, 29, 31, 5, 128, 33, 10, 35, 37, 9, 9, 39, 41, 41, 49, 12, 44, 15, 47, 10, 64, 13, 62, 51, 53, 53, 81, 60, 56, 14, 59, 5, 61, 11, 12, 63, 256, 65, 67, 12, 68, 69
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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原解是一种解，其中并非所有x_i都是0（mod p）。
这个量通常用伽马（n）表示。
A287286号仅在n=4时不同：由于任何四次幂等于0或1（mod 16），并且至少需要一个奇数四次幂，因此需要16个奇数4次幂，因为0（mod十六），但如果允许所有偶数幂，15就足够了。
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参考文献
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G.H.Hardy和J.E.Littlewood，“数字部分”的一些问题，第四，数学。宙特。，12 (1922), 161-168. [G.H.Hardy，《论文集》，第1-卷，牛津大学出版社，1966-；见第1卷，第466页。]
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链接
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配方奶粉
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对于k>2：
如果k=2^t，t>1，则a（k）=4*k=2^（t+2）；
如果k=3*2^t，t>1，则a（k）=2^（t+2）；
如果k=p^t*（p-1），其中p是奇素数且t>0，则a（k）=p^（t+1）；
如果k=p^t*（p-1）/2，则a（k）=（p^（t+1）-1）/2，除非k=p=3；
否则，如果k=p-1，则a（k）=k+1=p；
否则，如果k=（p-1）/2，则a（k）=k=（p-1）/2；
在其他情况下，3<a（k）<=k。
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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Sekigawa&Koyama论文中的更多术语和一（30）项由安德烈·扎博洛茨基2017年5月31日
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状态
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经核准的
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A356037型
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| 可以推测，a（n）是最小的数字m，因此每个自然数最多是m个n个单纯形数的和。 |
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1、2
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评论
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n个单纯形数是{二项式（k，n）；k>=n}。
这个问题是Waring问题的单纯形数模拟。
Kim给出了a（4）=8、a（5）=10、a（6）=13和a（7）=15（未证明）。
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链接
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Hyun Kwang Kim，关于正则多面体数，程序。阿米尔。数学。Soc.131（2003），第65-75页。
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例子
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2-单形数是{二项式（k，2）；k>=2}={1,3,6,10，…}，三角形数。3是最小的数字m，因此每个自然数最多是m个三角形数的和。所以a（2）=3。
3-单纯形数是{二项式（k，3）；k>=3}={1,4,10,20，…}，四面体数。5被假定为最小的数m，使得每个自然数是至多m个四面体数的和。所以a（3）=5。
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交叉参考
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关键词
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非n,坚硬的,更多
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作者
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状态
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经核准的
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